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Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme"1

Equations locales de l'éléctromagnétisme

Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide

Objectif :

Equations de Maxwell dans le vide

Cas de l'ARQS

Energie électromagnétique

1. Introduction

On recherche les équations régissant l'évolution du champ électromagnétique dans le cas des régimes variables.

Rappel: Dans le chapitre I:Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanentnous avons montré

que le champ électromagnétique véri!e en régime permanent les quatre équations suivantes :

En régime permanent :

rotE=0 C

E.d\b=0Eest à circulation conservative

divE= 0 S E.dS= 1 0 Q int avec Q int V (P)dthéorème de Gauss rotB=µ 0 j C

B.d\b=µ

0 I enlac´e 0 S j.dSthéorème d'Ampère divB=0 S

B.dS=0Best à'ux conservatif

Dans le cas d'un régime quelconque, la loi de conservation de la charge s'écrit : div j+ t=0équation locale de conservation de la charge V (M,t) td= S j.dSéquation intégrale de conservation de la charge On remarque que ces équations ne sont pas compatibles : rotB=µ 0 jdivrotB =div 0 j

0=µ

0 divjincompatible avecdivj= texcepté en régime permanent Il est donc nécessaire de généraliser les équations précédentes.

2. Généralisation des équations locales

2.1. Equation de Maxwell-Gauss

On admet quel'équation de Maxwell-GaussdivE=

0 , qui traduit le théorème de Gauss, se généralise au cas des régimes variables.

2.2. Equation de$ux magnétique

On admet quel'équation du$ux magnétiquedivB=0, qui traduit le traduit le caractère conservatif du$ux

du champ magnétostatique, se généralise au cas des régimes variables. Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide2

2.3. Equation de Maxwell-Faraday

Expérimentalement, on constate que la force électromotrice induite dans un circuit!liforme ferméCévoluant dans une région

de l'espace où règne le champ magnétiqueBvariable dans le temps, est donnée par laloi de Faraday:

e(t)=d(t) dtavec(t)= S

B(P,t).dS

De plus, dans un circuit)xela force électromotrice induite est (cf. cours sur l'induction) : e(t)= C E.d\b en identi!ant les deux expressions précédentes, on obtient C

E.d\b=d

dt S B.dS S B t.dScarSest!xe soit S rotE.dS= S B t.dSth de Stokes-Ampère S rotE+B t\b .d S rotE+B t=0carSest une surface quelconque s'appuyant surC rotE=B t

Cette équation, appeléeéquation de Maxwell-Faraday, est la généralisation aux régimes variables de l'équation localerotE=0.

2.4. Equation de Maxwell-Ampère

D'après le paragraphe 1. l'équationrotB=µ 0 jne convient pas dans le cas des régimes variables. On se propose, à l'aide d'un exemple, de trouver un terme supplémentaire homogène àj.

2.4.1. Etude d'une sphère radioactive

On considère une sphère de matière radioactive, initialement neutre, de rayonRsu+sament faible par rapport aux autres

dimensions pour que cette sphère soit confondue avec son centreO.

A partir de l'instantt=0, cette sphère émet par désintégration, de manière isotrope, des particules de chargeqanimées

d'une vitessev 0 =v 0 e r constante. Soit le nombre de particules émises par unité de temps ( =cste).

Il apparaît donc dans l'espace au voisinage de la sphère un courant de charges. Si le/ux de particules est su+sament intense,

on peut adopter une description continue : soit alorsj(M,t)le vecteur densité de courant volumique.

Détermination dej=

m v 0 - Symétrie du problème

La vitesse des particules chargées estv

0 =v 0 e r ,onadoncj(r,",#,t)=j(r,",#,t)e r

L'émission est isotrope

m ne dépend donc que de(r,t)etjaussi :j(r,",#,t)=j(r,t) Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide3

On a donc

m (r,",#,t)= m (r,t)etj(r,",#,t)=j(r,t)e r m (r,t)v 0 e r - Détermination de m sir>v 0 til n'y a aucune particule enMet on a donc m (r>v 0 t,t)=0 sirtla charge&Qcomprise à l'instanttentre les sphères de centreOet de rayonretr+dra été émise

enOentre les instantst 1 =tr/v 0 ett 2 =t(r+dr)/v 0 soit pendant une duréedt=t 2 t 1 =dr/v 0 ;on a donc &Q= dtq= qdr v 0 m (r0sir>v 0 t q 4(1r 2 e r sirDétermination deB:

Tous les plans passant par le pointMet par le centre de la sphère sont des plans de symétrie de la distribution de

courant ; le champ magnétiqueB, étant un vecteur axial, est donc perpendiculaire à tous ces plans, il est donc nulB=0.

Insu,sance de l'équationrotB=µ

0 j

Pourr 0 tles résultats ne sont pas compatibles avec l'équation localerotB=µ 0 j.

On doit donc compléter cette équation par un terme s'annulant en régime permanent. On recherche alors un terme

homogène à une densité de courant volumique s'annulant en régime permanentrotB=µ 0 j+j Recherche d'un terme homogène à une densité de courant volumique - Recherche du champ électriqueE:

La distribution de charges ne dépend que der, le champ électrique ne dépend donc que der:E(r,",#,t)=

E(r,t);

La droiteDpassant parMet par le centre de la sphère est une droite de symétrie de la distribution de charges

; le champ électrique en tout point de cette droite est donc porté par cette droite :E(r,",#,t)=E(r,",#,t)e

r en regroupant les deux expressions précédentes on obtient

E(r,",#,t)=E(r,t)e

r Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide4

On peut alors déterminer le champ électrique par application du théorème de Gauss (cf. 2.1.) :

S

E.dS=1

0 V (P)d=Q(r,t) 0 S

E(r,t)e

r .dSe r =Q(r,t) 0

E(r,t)

S dS=Q(r,t) 0 4(r 2

E(r,t)=Q(r,t)

0

Q(r,t)représente la charge totale présente à l'instanttdans le sphère de centreOet de rayonr;ilnefaut

pas oublier la charge de la sphère égale à l'opposée de la charge émise depuist=0(principe de conservation

de la charge) :

Q(r,t)=

0sir>v

0 t qt+ r 0 (r,t)4(r 2 dr= qt+ r 0q 4v0 1 r 2 4(r 2 drsirQ(r,t)=

0sir>v

0 t qt+ q v0 rsirE(r,t)=

0sir>v

0 t 1 4( 0 qr v 0 t1 r 2 e r sirE(r,t) t=j(r,t) 0

Le terme(

0

E(r,t))

tapparaît donc comme une densité de courant volumique.

2.4.2. Courant de déplacement de Maxwell et équation de Maxwell-Ampère

L'idée de Maxwell fut d'écrire l'équation locale rotB=µ 0 jsous la forme rotB=µ 0 j+j D avecj D 0 E)) t soit rotB=µ 0 j+µ 0 0 E t

Exercice n

01:Véri!er que

0

E(r,t))

t est bien homogène à une densité de courant volumique. Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide5

3. Equations de Maxwell (1864)

3.1. Les postulats de l'électromagnétisme

L'objet de l'électromagnétisme est de décrire les interactions qui s'exercent à l'intérieur d'un système de particules chargées.

Les postulats de l'électromagnétisme sont :

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