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G.P.Électromagnétisme Sup2013

ÉLECTROMAGNÉTISME SUP

Sommaire

I.Définition des champs électrique E et magnétique B....................................................................3

II.Formules historiques : COULOMB et BIOT-SAVART................................................................4

A.Calcul de E en électrostatique, connaissant la répartition de charges.....................................4

1.Répartition discrète de charges..............................................................................................4

2.Distribution continue de charges...........................................................................................4

B.Calcul de B en magnétostatique, connaissant la répartition de courants.................................5

1.Loi de BIOT-SAVART...........................................................................................................5

2.Exemple 1: champ sur l'axe d'une spire de courant...............................................................5

III.Propriétés de symétrie des champs..............................................................................................7

A.E est un vrai vecteur................................................................................................................7

1.Il existe un plan de symétrie..................................................................................................7

2.Il existe un plan d'antisymétrie..............................................................................................8

B.B est un pseudo vecteur...........................................................................................................8

1.Il existe un plan de symétrie..................................................................................................8

2.Il existe un plan d'antisymétrie..............................................................................................9

IV.Propriétés de E en électrostatique et de B en magnétostatique....................................................9

A.Propriétés intégrales................................................................................................................9

1.Champ électrostatique...........................................................................................................9

a.Le champ électrostatique est à circulation conservative.................................................9

b.Le théorème de GAUSS...............................................................................................10

2.Champ magnétostatique......................................................................................................10

a.Le champ magnétostatique est à flux conservatif.........................................................10

b.Le théorème d'AMPÈRE..............................................................................................10

1.Exemple 2: champ électrostatique créé par une boule uniformément chargée...................10

a.Symétries et invariances:..............................................................................................11

b.Théorème de GAUSS:..................................................................................................11

2.Exemple 3: champ magnétique créé par un fil cylindrique parcouru par du courant..........12

a.Symétries et invariances:..............................................................................................12

b.Théorème d'AMPÈRE:.................................................................................................13

3.Utilisations du théorème de GAUSS et du théorème d'AMPÈRE......................................14

C.Propriétés locales dans les cas particuliers de l'électrostatique et de la magnétostatique.....14

D.Le potentiel V en électrostatique...........................................................................................15

1.Existence du potentiel..........................................................................................................15

2.Expression du potentiel.......................................................................................................15

a.Expression connaissant la répartition de charge...........................................................15

b.Lien champ-potentiel-charges......................................................................................16

3.Exemple 4: potentiel créé par une boule uniformément chargée........................................16

a.Symétries et invariances:..............................................................................................16

E.L'énergie potentielle en électrostatique.................................................................................18

1.Définition et intérêt..............................................................................................................18

1/26

G.P.Électromagnétisme Sup2013

3.Le cas de deux charges en interaction.................................................................................18

V.Équations de passage ou de continuité........................................................................................19

A.Relations de passage..............................................................................................................19

1.Champ E..............................................................................................................................19

2.Champ B..............................................................................................................................19

1.Exemple 5: plan infini uniformément chargé......................................................................20

2.Exemple 6: nappe plane infinie de courant surfacique uniforme........................................20

VI.Lignes de champ........................................................................................................................21

1.Champ E..............................................................................................................................21

2.Champ B..............................................................................................................................21

VII.Dipôle (électrostatique)............................................................................................................22

B.Potentiel et champ créés par un dipôle..................................................................................23

3.Champ créé par un dipôle ...................................................................................................25

C.Actions subies par un dipôle dans un champ uniforme extérieur..........................................25

Mis à jour 01/2013

2/26

G.P.Électromagnétisme Sup2013

I.Définition des champs électrique E et

magnétique B Une chargeq0subit dans un champ électromagnétique une forceFdont l'écriture dans un repère cartésien fait intervenir six grandeurs notées ici a1,a2,a3,b1,b2,b3: Fx q0 =a1b3vy-b2vzFy q0=a2b1vz-b3vx Fz q0=a3b2vx-b1vy ou: Fx q0 Fy q0 Fz q0= a1 a2 a30b3-b2 -b30b1 b2-b10vx vy vzLe terme indépendant de la vitesse de la particule a1 a2 a3est un tenseur de rang 1. On obtient ici le vecteur champ électriqueEde coordonnées en repère cartésien: a1,a2,a3.

Le terme en lien avec la vitesse de la particule

0b3-b2 -b30b1 b2-b10est un tenseur antisymétrique de rang 2 faisant intervenir trois grandeurs en repère cartésien: b1,b2,b3. Définir un autre objet

mathématique appelé tourneur ou rotateur était sans doute une bonne idée, mais les physiciens, en

l'absence de mathématiciens, ont fait deb1,b2,b3un vecteurBqui n'en était pas un tout à fait...

Il a fallu introduire des conventions de trièdre direct et définir un produit intérieur entre vecteurs ou

produit vectoriel. Remarquons enfin qu'en France la symbole du produit vectoriel est:∧( hélas

le même symbole que pour le produit extérieur ) alors que dans tous les autres pays, on utilise le

symbole:

Finalement, la force de LORENTZ s'écrit:

3/26 G.P.Électromagnétisme Sup2013F=q0Ev×Ben France: F=q0Ev∧Bdans laquelle Eest un " vrai vecteur » ou vecteur polaire. Unité:Vm-1(Volt/mètre) dans laquelleBest un " pseudo vecteur » ou vecteur axial. Unité:

T(Tesla)

II.Formules historiques : COULOMB et BIOT-

SAVART

A.Calcul de E en électrostatique, connaissant la répartition de charges On utilise l'expression du champ issue de la loi de COULOMB (le champ créé par une charge est en 1 r2)

1.Répartition discrète de charges

EM=1 PiM PiM∥3

2.Distribution continue de charges

EM=1 PM PM∥3 avec dq: élément de charge (ou parfois charge élémentaire) unité:

C(Coulomb)

possède trois expressions selon que la charge est volumique, surfacique, linéique: dq= d dS dl :densitédechargevolumique :densitédechargesurfacique :densitédechargelinéique enC/m3 enC/m2 enC/m4/26

G.P.Électromagnétisme Sup2013

pour faire le calcul : déterminer les trois coordonnées dePMdans une base fixe en utilisant les coordonnées deMet celles deP. D'où ∥PM∥. D'où, trois intégrales à calculer pour obtenir les

trois coordonnées deE. On remarquera qu'une étude préalable de symétrie peut rendre

inutile le calcul de certaines de ces intégrales. B.Calcul de B en magnétostatique, connaissant la répartition de courants

1.Loi de BIOT-SAVART

On utilise la loi de BIOT-SAVART

BM=0

4∫Domainedecourants

dCP∧PM ∥PM∥3avecdC: élément de courant (et non pas courant élémentaire noté dI) unité:

A×m(AMPÈRE×mètre)

possède trois expressions selon que le courant est volumique, surfacique, linéique: dC=jd jSdS jS:densitésurfaciquedecourant

I:intensitéducourantenA/m2

enA/m enA pour faire le calcul : déterminer les trois coordonnées de PMdans une base fixe en utilisant les coordonnées de

Met celles deP. D'où∥PM∥. D'où, trois intégrales à calculer pour obtenir les

trois coordonnées deB. On remarquera qu'une étude préalable de symétrie peut rendre

inutile le calcul de certaines de ces intégrales.

2.Exemple 1: champ sur l'axe d'une spire de courant

5/26 G.P.Électromagnétisme Sup2013BM=0

4I∮P∈spire

dl∧PM ∥PM∥3avec: OM=zuz OP=Rur dl=dOP=Rdu PM=zuz-Ruret

2

BM=0I

4R2z23

2∮P∈spire

R2duzla deuxième intégrale vaut

2R2uzalors que la première intégrale est nulle

(on pouvait le prévoir sachant que Mappartient à une infinité de plans d'antisymétrie contenant

Ozdonc le champ enMest selonOz)

(on peut l'obtenir par calcul en travaillant dans une base fixe avec BM=0I

4R2z23

2

2R2uz6/26+z

PM IOR

G.P.Électromagnétisme Sup2013

BM=0I 2R2 R2z23

2uz

ce qui donne la formule connue: B=0I

2Rsin3uz

(est l'angle sous lequel du pointMon voit un rayon).

III.Propriétés de symétrie des champs

A.E est un vrai vecteur

1.Il existe un plan de symétrie

Le plan est un plan de symétrie si:

Cette propriété sera intéressante pour établir la parité ou l'imparité des coordonnées du champ par

rapport aux coordonnées de l'espace.

7/26Plan de symétrieM

M'E

G.P.Électromagnétisme Sup2013

Dans le cas particulier oùM=M'appartient au plan de symétrie, on en déduit:

Le champ

Een un pointMd'un plan de symétrie se trouve dans le plan de symétrie

2.Il existe un plan d'antisymétrie

Le plan est un plan d'antisymétrie si:

jM'symétriquedeM/plan=-jMOn a :

Dans le cas particulier où

M=M'appartient au plan d'antisymétrie, on en déduit:

Le champ

Een un pointMd'un plan d'antisymétrie est perpendiculaire au plan d'antisymétrie

B.B est un pseudo vecteur

1.Il existe un plan de symétrie

BM'symétriquedeM/plan=-symétriquedeBM/plan8/26Plan de symétrieME

Plan de symétrieM

M'B

G.P.Électromagnétisme Sup2013

Cette propriété sera intéressante pour établir la parité ou l'imparité des coordonnées du champ par

rapport aux coordonnées de l'espace. Dans le cas particulier oùM=M'appartient au plan de symétrie, on en déduit:

Le champ

Ben un pointMd'un plan de symétrie est perpendiculaire au plan de symétrie

2.Il existe un plan d'antisymétrie

On a :

Dans le cas particulier où

M=M'appartient au plan d'antisymétrie, on en déduit:

Le champ

Ben un pointMd'un plan d'antisymétrie se trouve dans le plan d'antisymétrie IV.Propriétés de E en électrostatique et de B en magnétostatique

A.Propriétés intégrales

1.Champ électrostatique

a.Le champ électrostatique est à circulation conservative

Loi de FARADAY appliquée à l'électrostatique: (analogies avec la mécanique des fluides: ici pas de

source de rotation -" type batteur »-qui fait circuler le fluide)

La circulation de

Esur toute courbe fermée est nulle ∮Edl=0

9/26Plan de symétrieMB

G.P.Électromagnétisme Sup2013

d'où∫AB

Edl=-VB-VAne dépend que du point de départ et du point d'arrivée et existence d'un

potentiel. b.Le théorème de GAUSS Le flux sortant deEà travers une surface fermée est égal à la charge intérieure sur ∯EdS=qintérieure

2.Champ magnétostatique

a.Le champ magnétostatique est à flux conservatif (analogies: pas de source émettant du fluide...) Le flux deBà travers toute surface fermée est nul ∯BdS=0 d'où ∬S BdS=∮C Adl(cours de maths spé) ne dépend que du contour sur lequel s'appuie une surface ouverte b.Le théorème d'AMPÈRE

La circulation de

Bsur une courbe fermée orientée est égale à l'intensité (algébrique) enlacée multipliée par

(analogies: les sources sont des sources de rotation-" type batteur »-qui font circuler le fluide)

B.Exemples

1.Exemple 2: champ électrostatique créé par une boule uniformément chargée

10/26

G.P.Électromagnétisme Sup2013

Boule de rayonR, de centreO, chargée parQ.

a.Symétries et invariances:

Un point

Mquelconque appartient à une infinité de plans de symétrie contenantOM(selon un diamètre) donc Eest selonOM: E=Er,,urL'invariance en rotation selon etpermet alors d'écrire: E=Erurb.Théorème de GAUSS: On applique le théorème de GAUSS à une surface ferméepassant par le point M: EdS=Qintérieur

PuisqueEest selon

ur, il faut considérer une surface élémentaire telle quedS=dSuralors: ∯EdS=∯EdS. Puisque En'est fonction que der, il faut considérer une surface telle que r=Ctealors:∯ dS=ErS. La surface de GAUSS à choisir est donc une sphère de centreOpassant parM.

Mà l'extérieur de la boule

Pour la région (

rR) le théorème de GAUSS à la sphère de rayonrdonne:

E×4r2=Q

E=Q E=Qr ErR=QOM

Mà l'intérieur de la boule

Pour la région (rR) le théorème de GAUSS à une sphère de rayonrdonne: 11/26

G.P.Électromagnétisme Sup2013

E×4r2=Qintérieur

avec, la charge intérieure étant proportionnelle au volume,Qintérieur=Qr

R3d'où:

E=Qr E=Qr ErR=QOM Msur la surface de la bouler=Rn'est pas à traiter en particulier.

On constate que la limite à gauche (

Er=R-) et la limite à droite (Er=R+) sont les mêmes. L'expression du champ en r=Rest doncEr=R=Q

2.Exemple 3: champ magnétique créé par un fil cylindrique parcouru par du courant

Fil cylindrique de rayonR, d'axe

Oz, parcouru parI.

a.Symétries et invariances:

Un point

Mquelconque appartient à un plan de symétrie contenantOzdoncB(pseudo- vecteur) est perpendiculaire à ce plan: B=Br,,zuL'invariance en rotation selon et l'invariance en translation selonz(cylindre infini)

12/26E(r)/E(R)

r/R1

1Courbe en 1/r2

G.P.Électromagnétisme Sup2013

permettent alors d'écrire: B=Bru b.Théorème d'AMPÈRE: On applique le théorème d'AMPÈRE à une courbe ferméeCpassant par le pointM: ∮C Bdl=0Ienlacé.

PuisqueBest selon

u, il faut considérer un déplacement élémentaire tel quedl=dlu

alors:∮CBdl=∮CBdl. Puisque Bn'est fonction que der, il faut considérer une courbe telle que r=Ctealors:∮C

Brdl=Br∮C

dl=BrL. La courbe d'AMPÈRE à choisir est un cercle centré sur l'axe Oz, dans un planz=csteet passant parM. On oriente le plan contenant le cercle par uzde sorte que pour l'intégrationvarie de0à2et non l'inverse.

Mà l'extérieur du fil

Pour la région (rR) le théorème d'AMPÈRE pour un cercle de rayonrdonne:

B×2r=0Id'où:

BrR=0I

2ru-

Mà l'intérieur du fil

Pour la région (rR) le théorème d'AMPÈRE pour un cercle de rayon

rdonne:

B×2r=0Ienlacé

avec, le courant enlacé étant proportionnel à la surface,

Ienlacé=I

r

R2

d'où: BrR=0Ir

2R2u- le casMsur la surface du fil

r=Rn'est pas à traiter en particulier.

On constate que la limite à gauche (Br=R-) et la limite à droite (Br=R+) sont les

mêmes. L'expression du champ enr=Rest donc Br=R=0I

2Ru.

13/26

G.P.Électromagnétisme Sup2013

3.Utilisations du théorème de GAUSS et du théorème d'AMPÈRE

On utilise le théorème de GAUSS dans des problèmes de " haute symétrie »

-problème à symétrie sphérique :=r,thêta,phi-problème à symétrie cylindrique :=r,thêta,z

-problème à symétrie plane : =x,y,zLa partie de la surface passant par

Mest choisie telle que∬EdS=ESOn utilise le théorème d'AMPÈRE dans des problèmes de " haute symétrie »

-problème à symétrie cylindrique : j=jr,thêta,zuz ou :

j=jr,thêta,zu-problème à symétrie plane :j=jx,y,zuy

-problème à symétrie torique

La partie de la courbe passant par

Mest choisie telle que ∫Bdl=BLC.Propriétés locales dans les cas particuliers de

l'électrostatique et de la magnétostatique (cours de maths spé) NomÉquation locale vue en spéÉquation intégrale vue en sup

Équation de MAXWELL-FARADAY

rotME=0∮Edl=0Équation de MAXWELL-GAUSSdivME=M

∯EdS=qintérieure r/R1

1Courbe en 1/r

G.P.Électromagnétisme Sup2013

Équation de MAXWELL-fluxdivMB=0∯BdS=0

Équation de MAXWELL-AMPÈRErotMB=0jM∮Bdl=0Ienlacé

D.Le potentiel V en électrostatique

1.Existence du potentiel

En lien avec

∮Edl=0, on sait queEdérive d'un gradient ( le gradient de la fonction de point :-VM). On rappelle les différentes propriétés: •Edérive d'un gradient:

EM=-gradMV•La circulation élémentaire deEest une différentielle de fonction:Edl=-dV

•La circulation de Eentre deux points ne dépend pas de la courbe suivie mais uniquement du point de départ et du point d'arrivée ∫AB Edl=-VB-VA=-V•La circulation de Ele long d'une courbe fermée est nulle carEest à circulation conservative ∮Edl=0•(programme spé) rotME=02.Expression du potentiel a.Expression connaissant la répartition de charge - On part de l'expression du potentiel pour une charge ponctuelle placée enP

VM=1

q ∥PM∥On retrouve ce résultat en partant de dV=-Edl avec:E=1

Finalement:

dV=-1 r2et 15/26

G.P.Électromagnétisme Sup2013V=1

q rConstante. La constante est choisie nulle, ce qui revient à faire

Vnul à l'infini, une façon de se dire que

l'effet de la charge " ne se fait plus sentir à l'infini... ». - Répartition discrète de charges

VM=1

∑i qi

∥PiM∥(expression obtenue par superposition à partir de la formule pour une charge. Cette expression

supposeVnul à l'infini et donc absence de charge à l'infini). - Distribution continue de charges

VM=1

∫Domainechargé dqP ∥PM∥(Cette expression suppose Vnul à l'infini et donc un domaine chargé borné). b.Lien champ-potentiel-charges Dans les exercices de maths sup, on pourrait vouloir déterminer le potentiel (grandeur scalaire

donc plus simple qu'un vecteur) connaissant les charges puis en déduire le champ par

EM=-

gradMV. Il faudrait, pour apprécier le gradient en un point, déterminer l'évolution du

potentiel dans toutes les directions par des calculs d'intégrales ou par exemple déterminer l'expression générale du potentiel en un point quelconque...Difficile semble-t-il.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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