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Un memento sur les coniques

On se place dans un plan euclidien orient´eE. La distance de deux pointsA,Best not´ee AB.

1 D´efinition par foyer et directrice

SoitDune droite,Fun point,F /?Deteun r´eel>0. On appelleconiquededirectrice D, defoyerFet d"excentricit´eel"ensembleCdes pointsMdeEqui v´erifientMF=eMH (Hd´esigne la projection deMsurD). Lorsque 0< e <1 on dit queCest uneellipse, lorsquee= 1 uneparabole, lorsquee >1 unehyperbole.

SoitKla projection deFsurD. On ´ecrit

l"´equation deCdans le rep`ere orthonorm´e d"ori- gineKet dont les axes sont port´es parKFetD, voir Figure 1. On poseF= (d,0), avecd?R. On a alors, siM= (x,y),MF2= (x-d)2+y2= e

2MH2=e2x2doncx2(1-e2)+y2-2dx+d2= 0.

On constate queCest donn´ee par une ´equation de la formef(x,y) = 0 avecfpolynˆome de degr´e 2. D y x K

F (d,0)

M (x,y)

HFigure 1

Dans le cas de la parabole on a l"´equationy2-2dx+d2. SoitS= (0,d/2) le point d"intersection deCavec l"axe desx(lesommetde la parabole). Il est commode de faire le changement de rep`ereX=x-d/2 etY= yqui met l"origine au sommet. On a alors l"´equation Y

2-2dX= 0. L"axe desyest tangent `aCenS, voir

Figure 2.

D y x K F

SFigure 2

2 D´efinition bifocale

2.1 L"ellipse

On se donne deux points distinctsF,F?et un nombrea >0. On consid`ere l"ensembleC des pointsMqui v´erifientMF+MF?= 2a. On note que si 2a < FF?,Cest vide et que si

2a=FF?,Cest le segment [FF?]. On suppose d´esormais 2a > FF?.

2.1 Proposition.L"ensembleCest une ellipse.

Le plus simple est d"´ecrire l"´equation dans le rep`ere centr´e enOmilieu deFF?et dont les axes sontFF?et la perpendiculaire `aFF?enO. On poseF= (c,0),F?= (-c,0) (on a

0< c < a) et on a, siM= (x,y),MF2= (x-c)2+y2,MF?2= (x+c)2+y2, d"o`uMF?2-MF2=

4cx= (MF?-MF)(MF+MF?) = 2a(MF?-MF). On en d´eduitMF?-MF= 2cx/aet,

avec la somme :MF=a-cx/a, d"o`u, en ´elevant au carr´ex2(1-c2/a2) +y2=a2-c2ou encorex2/a2+y2/(a2-c2) = 1. Soit alorsDla perpendiculaire `aFF?en le pointK= (a2/c,0). On v´erifie queCest l"ellipse de foyerF, de directriceDet d"excentricit´ee=c/a. (Faire le changement de rep`ere X=x-a2/c,Y=yet poserd= (c2-a2)/c). On notera que la mˆeme chose marche avec le foyerF?et la directriceD?sym´etrique deDpar rapport `aO. On dit queFetF?sont les foyersdeCetD,D?sesdirectrices.

2.2 Description deC

On poseb=⎷a

2-c2. On ab < a. L"´equation deCest alors :

(?)x2a 2+y2b 2= 1. On note queCadmet les axes de coordonn´ees comme axes de sym´etrie etOcomme centre de sym´etrie. Le pointOest lecentrede l"ellipse. L"ellipse coupe l"axe desxenA= (a,0) et A ?= (-a,0) et l"axe desyenB= (0,b) etB?= (0,b?). Ces quatre points sont lessommetsde C. Le segment [A?A] est legrand axe, le segment [BB?] lepetit axe. On retrouve la relation a

2=b2+c2en ´ecrivantBF+BF?= 2aet en appliquant Pythagore au triangleBOF.

La figure 3 r´esume la plupart des propri´et´es de l"ellipse. D D'

F (c,0)

a y x O

A (a,0)

B (0,b)

B' A'F' M K (a 2 /c,0)

HFigure 3

2.3 L"hyperbole

On se donne encore deux points distinctsF,F?et un nombrea >0. On consid`ere cette fois l"ensembleCdes pointsMqui v´erifient|MF-MF?|= 2a. On note que si 2a > FF?,Cest vide et que si 2a=FF?,Cest la r´eunion de deux demi-droites. On suppose d´esormais 2a < FF?.

2.2 Proposition.L"ensembleCest une hyperbole.

On travaille dans le mˆeme rep`ere que pour l"ellipse (avec toujoursF= (c,0),F?= (-c,0)) et le calcul est analogue (il faut distinguer selon queMF≥MF?ou non). On trouve encore l"´equationx2(1-c2/a2) +y2=a2-c2qui s"´ecrit cette fois : x

2/a2-y2/(c2-a2) = 1 (on ac > a).

SiDest la perpendiculaire `aFF?en le pointK= (a2/c,0) on v´erifie comme dans le cas de l"ellipse queCest l"hyperbole de foyerF, de directriceDet d"excentricit´ee=c/a >1. L`a encore, la mˆeme chose marche avec le foyerF?et la directriceD?sym´etrique deDpar rapport `aO. On dit queFetF?sont lesfoyersdeCetD,D?sesdirectrices.

2.4 Description deC

On poseb=⎷c

2-a2. L"´equation deCest alors :

(??)x2a 2-y2b 2= 1. On note queCadmet les axes de coordonn´ees comme axes de sym´etrie etOcomme centre de sym´etrie. Le pointOest lecentrede l"hyperbole. L"hyperbole coupe l"axe desxenA= (a,0) etA?= (-a,0) mais ne coupe pas l"axe desy. Les pointsAetA?sont lessommetsdeC. L"hyperbole admet les droitesy=±(b/a)xcommeasymptotes(´ecrire l"´equation sous la forme y=±(b/a)⎷x

2-a2). Ces asymptotes sont perpendiculaires si et seulement sia=b(ou encore

sie=⎷2). On dit alors que l"hyperbole est´equilat`ere. Si on rapporte l"hyperbole `a un rep`ere

port´e par ses asymptotes son ´equation devientXY= 1. Attention, ce rep`ere n"est orthonorm´e

que si l"hyperbole est ´equilat`ere. La figure 4 r´esume la plupart des propri´et´es de l"hyperbole. x y D' D O

A (a,0)

F (c,0)

A' F'

KFigure 4

3 R´eduction des ´equations

On suppose maintenantE=R2. On consid`ere une courbe Γ d"´equationf(x,y) = 0 avec f(x,y) =ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey+f. On supposea,b,cnon tous nuls (sinon la courbe est une droite).

3.1 Proposition.Il existe un rep`ere orthonorm´e dans lequelΓa pour ´equationAX2+BY2+

2CX+ 2DY+E= 0avecAetBnon tous deux nuls.

D´emonstration.On consid`ere la forme quadratiqueax2+ 2bxy+cy2, de matrice

Q=?a b

b c? Il existe une base orthonorm´ee deR2dans laquelle cette matrice est diagonale, comme en- domorphismeetcomme forme quadratique. Dans cette base on a, siX,Ysont les nouvelles coordonn´ees,ax2+ 2bxy+cy2=AX2+BY2et la courbe a l"´equation cherch´ee. On ´etudie maintenant les courbes donn´ees par une ´equation : AX

2+BY2+ 2CX+ 2DY+E= 0.

1) SiAB= 0, disons, par exemple,A?= 0 etB= 0. Il y a deux cas :

a)D= 0. L"´equation estAX2+ 2CX+E= 0. Elle d´efinit deux droites parall`eles `a l"axe desy(resp. une droite double, resp. le vide) selon que le discriminantC2-AEest>0 (resp. nul, resp.<0). b)D?= 0. L"´equation s"´ecritA(X+C/A)2+2D(Y+((EA-C2)/2AD)) = 0 et un changement de variables imm´ediat montre que Γ est une parabole.

2) SiAB?= 0. On ´ecrit l"´equation sous la forme

A(X+C/A)2+B(Y+D/B)2+E-C2/A-D2/B= 0.

En changeant l"origine en (-C/A,-D/B), l"´equation devient de la formeAX2+BY2=ket quitte `a multiplier tous les coefficients par-1 on peut supposerA >0. a)B >0. Sik <0, Γ est vide. Sik= 0, Γ est r´eduit `a l"origine. Sik >0 la courbe est une ellipse (et si on posea2=k/A,b2=k/Bl"´equation est de la forme (?)). b)B <0. Sik= 0 on trouve la r´eunion de deux droites passant par l"origine. Sik?= 0, Γ est une hyperbole et son ´equation est de la forme (??) avec (sik >0),a2=k/Aetb2=-k/B.

4 Equation en polaires

On travaille dansR2avec les coordonn´ees polaires (ρ,θ). On a doncx=ρcosθ,y=ρsinθ.

4.1 Proposition.SoitCla conique de foyerF= (0,0), de directriceDd"´equationx=het

d"excentricit´ee >0. La coniqueCa pour ´equation cart´esiennex2+y2=e2(x-h)2et pour ´equation polaire, au choix, l"une des deux suivantes :

ρ=ehecosθ+ 1ouρ=ehecosθ-1.

D´emonstration.SoitM= (x,y) un point du plan. Il est surCsi et seulement si on aMF= eMH, ce qui ´equivaut `aMF2=e2MH2et donne l"´equation cart´esienne. NotonsE+(resp.E-) l"ensemble des pointsM= (x,y) = (ρcosθ,ρsinθ) qui v´erifient la

premi`ere ´equation polaire (resp. la seconde). On note d"abord (et c"est le point essentiel) qu"on

aE+=E-. En effet, si le point de coordonn´ees polaires (ρ,θ) est surE+, ce point a aussi

comme syst`eme de coordonn´ees polaires (-ρ,θ+π) et on voit qu"il est surE-et inversement.

Montrons queE+est contenu dansC. SiM= (x,y) = (ρcosθ,ρsinθ) v´erifieρ=ehecosθ+ 1,

on aρ+ex=eh, d"o`uρ=e(h-x) et, en ´elevant au carr´e, on aMF2=e2MH2. Montrons queCest contenu dansE+?E-=E+. SiM= (x,y) = (ρcosθ,ρsinθ) v´erifie x

2+y2=e2(x-h)2, ou encoreρ2=e2(ρcosθ-h)2, on aρ=e(ρcosθ-h) ouρ=e(h-ρcosθ).

Dans le premier casMest dansE-, dans le second il est dansE+.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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