[PDF] Espace et géométrie cycle 2 et cycle 3

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Espaceetgéométriecycle2etcycle3

BernadetteNGONO

1 • Marie-LisePeltier,LaboratoireA.RevuzUniversitéParis7; • JoëlBriand,DAESTUniversitéBordeaux2;• BernadetteNgono,LaboratoireCIRNEF,

UniversitédeRouen;

• DanielleVergnes,LaboratoireA.Revuz

UniversitéParis;

• MarcSampo,Professeurdesécoles. 2

Cadrethéoriquedel'intervention

• Approchesocio-constructivistedel'apprentissage(Piaget,Vygotsky,Bruner...) • Approchedidactiqueentreenseignementet 3 4

Obstacles-difficultés

5

Mafalda-Quino)

• Ellespermettentd'illustrerdeslieuxdecertainesdifficultéspourlesélèves • Etd'envisagerdesactivitésspécifiquesdèsle cycle2 • Enliaisonaveclesprogrammesetlesocle commundesconnaissances. 6

EvaluationsnationalesCE2

7

Desdifficultés

• Résultats51,3% gauche»...) 8

Exemple2.CE2-2005a.89,81%b.49,18%

Difficultés:

- avoirunereprésentationde cequ'estunrectangle,etle"voir »globalementpar sessommetsdanslespointscandidats. - lerectangleestpenché,

positioninhabituellequiobligeàeff ectuerune rotationmentale,enangledroit(dontil fautaussiavoirune bonnereprésentation.)

• a.Relieenrougetroispointsalignés. • b.Quatrepointspermettentde 9

Exemple3Leserreursrepérées:

- Erreurdedénombrementde carreauxpourconst ruirelecarrémaisrespectdela contrainte"à l'intérieurde» - Nonpriseencomptedela

contrainte"lestroisdoiventêtreàl'intérieurd'unseulcarré »etconstructionde3carrésouautrespolygonesrenfermantcesfigures,

- Nonpriseencomptedesnoeuds duquadrillage,etc. 10

Lequadrillage

• Unautreob stacleestcel uidelacompréhension del'expression"surce quadrillage».Selon lescas,àl'école,dessinersurquadrillage peutsignifierdifférenteschoses:

quadrillage; duquadrillage. 11

Exemple4-Aucycle3etaucollège

BC=10cm,AB=8cm.

ACDEestuncarréavec

CD=6cm.Quelleestlelongueurdu

segment[AC]? réponses

10ans12ans14ans

Correcte-utilisationdepropriétés

36,4%71,8%66,9%

Correcte-utilisationd'unthéorème

-----------------18,5%

Fausse-mesureàlarègle

8,4%2,1%-------

Fausse-opérationsarithmétiques

6%4,8%2,4%

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Analyse

• Pourréussir,lesélèvesdoivent: - (a)identifier,danslafigure - (b)"voir»quelesegment - (c)serappeleretappliquerla (Gagatsis,INRP,2010) 13

Trouvelalongueurdu

segment[EB.]Expliquetaréponse réponses

10ans12ans14ans

Correcte-utilisationdepropriétés

15,1%33,3%51,9%

Fausse-perceptionvisuelle(1)

6,6%16,5%9,3%

Fausse-perceptionvisuelle(2)

8,7%11,1%9%

Fausse-algorithmes

10,2%5,4%0,9%(Gagatsis,INRP,2010)

14

Ex5-LessituationsdecommunicationCM1

15

Desquestionsd'élèves

• "Commentfairepourdireà"L»quelecarrén'estpasdroit?» • "Commentças'appelleça(enpointantle diamètre)?Jenem'enrappelleplus». • "Jen'arrivepasàdécrirecetteéquerre» 16 (Extraitsdetravauxd'unestagiaireM2)

L'élèveJdécrit,Lconstruit

17

CdécritetFconstruit

18

PdécritetMconstruit

19 20

Conclusionprovisoire

• Lesconnaissan cesquedoiventmobiliserlesélèves s'effectuentdansl'espacedelafeuilledepapier.

• Or,ellessupposentdescompétencesspatialesnonprises encompteparlesprogrammesavant2002. • Depuislesprogrammes 2002,l'acce ntestmissurla

nécessitédetravaillerlesc oncepts spatiauxetgéométriquesenprenantencomptelesrésultatsdelarecherche.

• Parailleur sdesélèvesà lafindel'écolepri mair e

continuentàconcevoirlagéométriecommeportantsurdesobjetsmaté rielsoudesimpl esdessinsplutôtquecommesurdesobjetsthéoriquesavecdespropriétésspécifiques.(M.-H.Salin)

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22

Extraitsdesprogrammes

Cycle2Cycle3

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• Lemicro-espaceou"espacedesinteractionsliéesàlamanipulationdespetitsobjets» • Leméso-espaceou"espacedesdéplacementsdu • Lemacro-espaceou"espaceaccessibleuniquement 24

• leurgenèses'effectuedifféremment.• cesontlesproblèmesspatiauxquiontdonnénaissanceàlagéométrie.• Lesconnaissancesg éométriquessontdesoutilspourla résolutionde sproblème sspatiaux.

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Géométriesnonaxiomatiques

- Selonlanaturedesobjets:objetsphysiques,dessins,figures- Selonlesmodesdevalidation:perceptionglobale,instrumentée,ouraisonnement- Selonlelangageutilisé(Houdement,Kuzniak1999)

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Géométriesaxiomatiques

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Deuxaspectsàprendreencompte

• Deuxaspectsdoiventêtretravaillésprogressivement. 28
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- Lerepéragedansl'espace- Lesrelationsgéométriques

Lerepéragedansl'espace

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DèsleCP

• Aiderlesélèvesàlamaitrisedel'espaceàl'aidedejeux("Jacquesadit»,"oùestmaplace?»...)

• Passerdel'espacevécuàl'espacereprésenté 31
(OpérationMaths,Hatier2019) 32

Phase3-Passerdel'espaceauplan

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Autressituations

• Positionsrelatives(devant,derrière,àsadroite,àsagauche,sur,sous,entre...) • quadrillages:coderdesdéplacements(jeu desobjetscachés) 34
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Jeudesobjetscachésdansunquadrillage

Phase2

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Pourdécriredespointsdevue

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Reproduireenrepérantlesnoeuds

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Importancedulangage

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Encoreimportantaucycle3

GestiondedonnéesProportionnalité

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Lesrelationsgéométriques

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• Alignementdepoints

• Angledroit,perpendicularité• Egalitédelongueurs• Milieu• Parallélisme• Axedesymétried'unefigure

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Intérêtsdutracéàmainlevée

• Lestracésàm ainlevéeparticip ent àlaconstructiond'imagesmentalesnécessaires pourpouvoirr econnaîtreetide ntifierdiversespropriétés(alignements, anglesdroits,égalitésdelongueurs,etc.).

• Ilsconstituentsouventunepremièreétape avantlestracésàl'aidederègles. 47

Apprendreàutiliserlarègle

48
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Uneprogression

• Cesrelationsgéométriquesetlesconceptsfondamentauxsontétudiés:

-D'aborddansl'espaceenvironnant(méso-espace)àpartirdelaperception,aucoursdejeux.- Puisdansl'espaceplandelafeuilledepapier(micro-espace)

- Enfin,ilssontutilisésdansl'analyse,lareproductionoula pointdevuesurcesobjets. 50

DèsleCE1

• L'alignementdepointsestunepropriétégéométriquefondamentale,dontlamaîtriseconditionnelacompréhensiondesconceptsdedroite,desegment,demilieuetcontribueàl'analysepertinentedesfiguresgéométriques

51

Lejeude"puissance4»

(OpérationMathsCE1-Hatier2017) 52
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Notiondedistance-CE2premièreapproche

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Milieud'unsegment(CE2)

• Etape1:jeudubéretdanslacour. 56

Stratégiespossibles

• 1.Pourtracerlesegment: leuralignement; trace;

-etc.• 2.Pourrechercherlemilieu:-mesurage;-pliageendeuxdelaficelle;-utilisationdespiedsmisboutàbout;-recherchevisuelleàl'oeil,puisapproximationssuccessives;-etc.

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Micro-espace:lemilieuenCE2

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L'angledroit,laperpendicularité

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DèsleCE1

• AuCE1,lesélèvesapprennentàconstruireunangledroitpardoublepliageetàutilisercetteéquerreenpapierouuneéquerreducommercepourrepérerdesanglesdroitsd'unefigure.

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Apprendreàutiliseruneéquerre(CE1)

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Découverteducodagedel'angledroit(CE2)

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Desconceptionserronées

• "Deuxlignesquisecoupentformentunangledroit.» • "Deuxlignesdontl'uneestsoitverticaleou soithorizontaleformentunangledroit.» • Uneligneverticaleestune"perpendiculaire»• Desdéfinitionslacunairesduesaussiàla 65

Nécessitédeséquences

• Pourmettreenévidencelesconceptionsdesélèves; • Leurpermettrederemettreencauseleurs conceptionserronées; • Leurpermettrededévelopperunecertaine expertiseenreconnaissancedel'angledroit, • Enrencontrantunediversitéde configurations. 66

Unediversitédeconfigurations

Prendreencomptedesvariables:- Figuresouvertesoufermées- Anglesisolésouàisoler- Orientationdel'angle.Lesupportpeutêtreuniouquadrillé.

67
• auconceptd'angledroit; • auconceptdedistance:- distanced'unpointàunedroite• auconceptdeparallélisme(droites • Auconceptdesymétrieaxiale.• théorèmedePythagoredansuntriangle rectangle(collège) 68
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Droitesperpendiculaires

70
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Maisaussi

• L'ensembledespointssitués àunemêm edistanced'unedroite(d)estdéfinipardeuxdroitesparallèlesà(d) situéesdepartetd'autrede(d).(implicitedanslesactivités).

(CM) 72

Conception1

73
• Définitionlacunaire: ettraitdessiné; parallèles» 74

Exempled'activitédanslacour(CM1)

• Matériel-pargroupe: - Unecorde;30jetons- Unerègleetuneéquerregrandformat;unmètreruban • Dessinersurlesoldelacourunelignedroited(entre5et 10m). • Lesélèvesdoiventplacerleplusvitepossible30jetons 75
(OpérationMaths-CM1-Hatier2016) 76
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Lasymétrieaxiale

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Lasymétrieaxiale

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Compléterunefigureparsymétrie

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Uneprogression

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Aucycle2:Deuxvisionsd'unefigure

• Lesassemblagesétudiéspeuventêtreconstitués: - Depiècessuperposées,lareconnaissancedes - Lavisionparjuxtapositions'avèreunobstacleau cycle3. 85

Illustration

Visionpuzzle(parjuxtaposition)

Visionparsuperposition

VuecommeVuecomme

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AssemblagedesurfacesenCP

• parjuxtaposition:dansunefigure,onpeutvoirautantdeformesquedecontoursfermés. • Parsuperposition:dans formeseffectivement reconnues. 87

AssemblagesdesurfacesenCP

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Tracéàmainlevée

• DèsleCP • But:favoriserlaréflexiondel'élèvesurl'activitéavantutilisationdesinstruments • Exemple:"Reproduisce 89

OpérationMathsCE1Hatier2017

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Reconnaîtreunefigure

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Lesjeuxdeportrait

• Situationdecommunication • Buts:- aiderlesélèvesàcomprendrequ'unefigure - favoriserlamiseenplaceetl'emploid'un 95

Exemples

• "C'estuntriangle.Ilaunangledroit.C'estlafigure...» • "C'estunquadrilatère.Ilaquatreanglesdoits 96

Lejeuxde"quiest-ce»

Matériel:uneplanchedefigures

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DèsleCE2

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Intérêtdujeude"quiest-ce?»

• Ilnécessite:-d'analyserlesfiguresafind'identifierlespropriétéséventuelles-deposerdesquestionsrelativesàcespropriétés-d'écouterlesquestionsdesautres-d'écouterlesréponsesauxquestions-deserappelerlesquestionsposéesetlesréponsesprécédentes-decombinercesinformationsentreellespourréduirelenombredepossibilités-depenseràunenouvellequestion.

• Cetteactivitéestdoncaprioricomplexe:analyse 99

Avecdessolides

100
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Distinction

• Restaurationdefigure:ondisposed'unmodèle,c'estreproduireunefiguresuperposableàunefiguredonnéeouàuneéchelledifférente;ondisposedéjàd'unepartiedelafigure.

• Reproduction:ondisposed'unmodèle,on 102

Lesupportpapierquadrillé

• Ilprésentel'avantagededévelopperchezlesélèvesdescompétencesenrepéragedecasesoudenoeuds,etl'inconvénientdeprivilégierlesdirectionshorizontalesetverticales,

• cequirésoutàlaplacedel'élèveleproblèmedes • Ilestprivilégiéjusqu'enCE2.EnCM,ilestune aideàl'analyse. 103
CE1 104

Analyserunefigure:2emevoie

• Lespropriétésgéométriquesconnuesprennentlepassurlesformesvisuellementreconnuespouranalyserunefigure.

• Lareprésentationvisuelledevient 105

3emevoie

• Celledesinstrumentstrèsvariésquipeuventêtreutiliséspourreproduireoupourconstruireunefigure:l'analysedelafiguredépenddesprocéduresdereproductionoudeconstructionquel'instrumentutiliséimpose.

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DèsleCE1

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But surpapierunienutilisantlesinstruments. 108

• analyser:identifierlesprincipauxélémentsquicomposentlafigure,fairedeshypothèsessurleurspositions,puislescontrôleravecdesinstruments.

109

AlignementsutilisablesCM2

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Pourquoi?

Difficulté:lesélèvesnepensentpasspontanémentàagirsurlafigurepourrepérerlesrelationsentreseséléments.Ilestnécessairedepasserpardesactivitésconsistantàretrouvercequiaétéeffacéetquiaserviàconstruirelafigure:-prolongerdessegments,- Relierdespoints,- tracerdesdiagonales,desmédianes,descercles,etc..- Envuederepérerdesalignements,desmilieux,desanglesdroits....

111

CM1-OpérationMaths

• ABCDestuncarré.a.VérifiequelepointFestlemilieu b.Àvued'oeil,quelpointdela figureteparaitalignéavecAetF?

Quelpointdelafigureteparait

alignéavecAetG? 112

Décrireunefigure-suite

113

Décriredespolygones-CE1

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Dictéesoralesdefigures

Ou 115

Dictéedefigures

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Variables

• Onpeutexploiterdesvariablesliées: - àlatâchedel'élèveet- àlaformedeladescription. 117

Latâchedel'élève

• Apartirdeladescription,l'élèvepeutavoirà: - construirelafigureàmainlevéeouaux instruments, - acheveruneconstruction. 118

Laformedeladescription

• ladescriptiondesfigurespeutêtreglobale,oucorrespondreàunprogrammedeconstructiontraditionnel.

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