Chapitre 8 – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle on appelle cosinus d'un angle aigu le rapport du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse. Exemple et notation : cos a =.
LE COSINUS
3) Retrouvons la mesure de l'angle . Taper : MODE DEG COS. Dans le triangle ABC rectangle en A cos. = = On a
Cosinus dun angle aigu dans un triangle rectangle
Le cosinus d'un angle aigu est le quotient de deux longueurs donc de deux nombres positifs de plus on divise par l'hypoténuse qui est le plus grand côté.
Chapitre 10 – Cosinus dun angle aigu
Propriété : Dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de
Cosinus dun angle aigu - Cours
ˆ sera appelée le cosinus de l'angle BOA. ˆ et sera notée cos BOA. ˆ . Définition et remarques : Soit ABC un triangle rectangle en A.
7. Trigonométrie
Dans un triangle rectangle on note ?A un des angles aigus
Cours cosinus dun angle aigu dans un triangle rectangle (élève)
On appelle cosinus de l'angle ABC le quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle ABC par la longueur de l'hypoténuse. On note cos ABC =.
Table trigonométrique (de cosinus) - angles ( ) cosinus 22 5 0
Table trigonométrique (de cosinus) angles (? ) cosinus. 0 0?. 1
4ème Cours : triangle rectangle et cosinus
Ce quotient ne dépend que de l'angle. On note cos dB = AB. BC. Remarque : Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre
La trigonométrie regroupe diverses notions liées à la mesure et au
des angles et des longueurs des côtés d'un triangle. Elle permet de Pour calculer la mesure d'un angle avec le cosinus on utilise l'inverse du cosinus.
Cosinus d'un angle aigu - Cours
Définition : Cosinus d’un angle Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A le cosinus de l’angle aigu ABˆC( noté cos ABˆC) est défini par hypoténuse côté adjacent cos A Bˆ C = ( = BC AB) Dans l’exemple précédent nous cherchons à calculer dans le triangle MNP rectangle en N le cosinus de l’angle MPˆN Nous avons : MP NP
Cosinus - maths et tiques
1) Calculer le cosinus de 12° ; 20° ; 45° ; 60° ; 90° ; 0° Donner un arrondi au millième cos 12° 0978 ; cos 20° 094 ; cos 45° 0707 ; cos 60° = 05 cos 90° = 0 ; cos 0° = 1 2) Trouver les mesures arrondies au degré des angles et tels que : cos = 08 ; cos = 01 ; cos = 042 ; cos = 13
EXERCICES D’APPLICATION SUR LE COSINUS - maths et tiques
On donnera les mesures d’angles arrondies au dixième de degré et les longueurs au dixième de centimètre 1) Calculer 621’ 2) Calculer AC 3) Calculer CE EXERCICE 15 Dans la figure ci-contre AB = 5 cm et BC = 6 cm 1) a) Calculer la mesure au degré près de l'angle 268’ b) En déduire la mesure de l'angle 286’ puis &28’
Cours de trigonométrie (troisième) - Automaths
I Cosinus Sinus et Tangente d'un angle aigu Dans un triangle ABC rectangle en A on définit le sinus le cosinus et la tangente de l’angle aigu ABC de la manière suivante : sin ABC = coté opposé à ABC hypoténuse = AC BC cos ABC = coté adjacent à ABC hypoténuse = AB BC
4ème Cours : triangle rectangle et cosinus 1 Cosinus d’un
Le cosinus est un outil mathématique qui permet de calculer des longueurs de segments et des mesures d’angle Dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient : Longueur du côté adjacent à l’angle _____ longueur de l’hypoténuse Ce quotient ne dépend que de l’angle On note cos dB= AB BC Remarque : Le
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CHAPITRE COSINUS D'UN ANGLE AIGU 4 ÈME 1) É crire la relation liant angle et longueurs à l'aide du cosinus À connaître : Dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse
Remarque préliminaire :
Considérons quatre nombres a , b , c et d non nuls .Nous savons que :
bc ad alors , d c b a Si== ( et réciproquement ) (1) Divisons les deux membres de cette dernière égalité par cd.Nous avons :
cd bc cd ad alors , bc ad Si==En simplifiant , nous obtenons :
d b c a alors , bc ad Si== (2) Les deux affirmations (1) et (2) permettent donc d"écrire : d b c a alors , d c b a Si==En regardant cette dernière écriture, nous constatons que les nombres b et c ont été intervertis ( tout
en conservant une égalité ) En opérant de la même manière, nous pourrions démontrer que : alors , d c b a Si= ad = bc ou d b c a= ou a c b d= ou c b ad= ou d bc a= ou ...Remarque ( peu rigoureuse )
Lorsque deux fractions sont égales, nous pouvons " passer » le numérateur de l"une dans l"autre membre
en le " plaçant » au dénominateur. De même pour les dénominateurs qui seront placés dans l"autre
membre au numérateur.Introduction :
Considérons deux droites sécantes en O ( deux demi-droites sont suffisantes )THEME :
COSINUS
D"UN ANGLE Aigu
Ces deux droites définissent un angle. Considérons deux droites perpendiculaires à l"un des côtés de cet angle.Dans les triangles OAB et OMN,
Le point B est sur [ON). Le point A est sur [ON).Les droites (AB) et (MN) sont parallèles ( Deux droites perpendiculaires à une même troisième
sont parallèles )Donc d"après le théorème de Thalès :
MNAB ON
OB OM
OA ==Considérons les rapports : ON
OB OM
OA= D"après la remarque préliminaire, nous pouvons écrire : ONOM OB
OA = Nous constatons que, quelles que soient les positions des points A et B ( ou M et N ) le rapport OB OA reste constant. ... OQOP ODOC ONOM OBOA====Ces rapports sont égaux. La valeur commune ne dépend que de la position relative des droites, c"est à
dire de l"angle que forment ces droites.Cette valeur qui dépend de l"angle
BOAˆsera appelée le cosinus de l"angle BOAˆet sera notée cos BOAˆ .Définition et remarques :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Ce triangle possède deux angles aigus
BCA et CBAˆˆ
( que nous pouvons également appeler C et B ˆˆ)Choisissons un de ces angles.
Choix de l"angle : Angle CBAˆ
Le côté [BC] , côté opposé à l"angle droit s"appelle l"hypoténuse.Pour l"angle
CBAˆ, le côté [AB] s"appelle le côté adjacent.Choix de l"angle : Angle BCAˆ
Le côté [BC] , côté opposé à l"angle droit s"appelle toujours l"hypoténuse.Pour l"angle
BCAˆ, le côté [AC] s"appelle le côté adjacent.Remarque : Dans un triangle rectangle , l"hypoténuse est le côté opposé à l"angle droit. Il est
indépendant du choix de l"angle aigu . ( C"est également le côté le plus long du triangle rectangle )Par contre , le côté adjacent n"est défini qu"après avoir choisi un angle aigu de ce triangle rectangle .
Définition : Cosinus d"un angle
Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A , le cosinus de l"angle aigu CBAˆ( noté cos CBAˆ) est défini par le rapport du côté adjacent par l"hypoténuse , c"est à dire : BCAB CBA cos=ˆ
Remarque : Le cosinus d"un angle n"est défini ainsi que dans un triangle rectangle.Remarque : La définition précédente du cosinus d"un angle fait intervenir les différents sommets du
triangle rectangle. Si le triangle étudié est le triangle MNP rectangle en N, comment retrouver la
formule définissant le cosinus de l"angleNPMˆ par exemple ?
Il est préférable d"apprendre la définition du cosinus sous la formeDéfinition : Cosinus d"un angle
Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A , le cosinus de l"angle aiguCBAˆ( noté cos CBAˆ) est défini par
hypoténuse adjacent côté CBA cos=ˆ ( = BC AB ) Dans l"exemple précédent, nous cherchons à calculer, dans le triangle MNP rectangle en N , le cosinus de l"angleNPMˆ. Nous avons :
MP NP hypoténuseadjacent côté NPM cos==ˆA ne pas écrire , dans la
rédaction.Remarque : Le cosinus d"un angle n"est défini, avec cette définition, que pour les angles aigus du triangle
rectangle. En aucun cas, on ne définira le cosinus de l"angle droit de ce triangle. Remarque : Soit ABC un triangle rectangle en A. Exprimons cos CBAˆ et cos BCAˆ.Nous avons
BC AB hypoténuseadjacent côté CBA cos==ˆ et BC AC hypoténuseadjacent côté BCA cos==ˆRemarque
: Dans une écriture fractionnaire, si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors cette
écriture fractionnaire est inférieure à 1. Inversement, si le numérateur est supérieur au dénominateur,
alors cette écriture fractionnaire est supérieure à 1.Dans un triangle rectangle, le côté dont la mesure est la plus grande est l"hypoténuse. Donc le côté
adjacent est inférieur, en longueur, à l"hypoténuse. Comme le cosinus d"un angle est défini par le rapport hypoténuse adjacent côté, le cosinus d"un angle est inférieur à 1.Remarque : L"écriture BC
AB cos= n"a aucun sens .
Calcul du cosinus à l"aide d"une calculatrice :# Avant d"utiliser sa machine pour calculer le cosinus d"un angle , il faut s"assurer que la machine est
en mode degré. Un caractère D ou les trois lettres DEG doivent apparaître dans la fenêtre d"affichage. Sinon, suivant le type de la machine, changer le mode ou utiliser la touche I # Calcul de cos 30° : Selon la machine utilisé ( logique directe ou non ) , taper30cou c(30=
Nous obtenons : ÙÂwxoaeúØ3ïÙïçß¹Þ÷çç:½µv
EI Q BT /R49 20.1103 Tf0.999415 0 0 1 235.2 316.64 Tm
AB cos=
Cosinus de quel angle ?
Donc, une valeur approchée de cos 30° à 10 -3 près est 0,866 . # Calcul de cos 45° : En tapant 45c ou c(45= , nous obtenons dans la fenêtre d"affichage : # Calcul de cos 60° : En tapant 60c ou c(60= , nous obtenons dans la fenêtre d"affichage : # Calcul de cos 27° : En tapant 27c ou c(27= , nous obtenons dans la fenêtre d"affichage :Remarque : Nous constatons, dans ces quatre exemples que le cosinus est un nombre positif inférieur à
1. Nous pouvons également déterminer la valeur de l"angle dont le cosinus est connu. Par exemple, quel est l"angle dont le cosinus est 0,5 ? D"après les calculs précédents ( 3ème calcul ), nous
constatons que cet angle a pour mesure 60°. # Quel angle a pour cosinus 0,54 ? cos ? = 0,54 Pour déterminer cet angle, nous utiliserons la touche U. Cette touche est très souvent associée à c et est située au dessus c. Pour utiliser cette nouvelle fonction, il est nécessaire de taper sur une des touches _ou ` ou $ avant d"appuyer sur c ( voir le mode d"emploi de votre calculatrice )En tapant donc 0,54_c ou _c(0,54= , nous obtenons
Soit, au dixième de degré près , 57,3° # Quel angle a pour cosinus 1,32 ? cos ? = 1,32 En utilisant la calculatrice, nous nous apercevons en tapant :1,32_c ou _c(1,32=
0,707106
0,8660254
0,50.8910065
sin-1 cos-1 tan-1 S c t57,316361
que, dans la fenêtre d"affichage, apparaît le motCette réponse est normale, puisque nous avons démontré précédemment que le cosinus d"un angle était
nécessairement inférieur à 1. Il n"existe donc pas d"angle dont le cosinus soit égal à 1,32
Remarque : Calculons et disposons dans un tableau les différentes valeurs du cosinus pour des angles
compris entre 0° et 90° ( angles à valeurs entières ) Angle Cosinus Angle Cosinus Angle Cosinus Angle Cosinus0 1 23 0,92050485 46 0,69465837 69 0,35836795
1 0,99984770 24 0,91354546 47 0,68199836 70 0,34202014
2 0,99939083 25 0,90630779 48 0,66913061 71 0,32556815
3 0,99862953 26 0,89879405 49 0,65605903 72 0,30901699
4 0,99756405 27 0,89100652 50 0,64278761 73 0,29237170
5 0,99619470 28 0,88294759 51 0,62932039 74 0,27563736
6 0,99452190 29 0,87461971 52 0,61566148 75 0,25881905
7 0,99254615 30 0,86602540 53 0,60181502 76 0,24192190
8 0,99026807 31 0,85716730 54 0,58778525 77 0,22495105
9 0,98768834 32 0,84804810 55 0,57357644 78 0,20791169
10 0,98480775 33 0,83867057 56 0,55919290 79 0,19080900
11 0,98162718 34 0,82903757 57 0,54463904 80 0,17364818
12 0,97814760 35 0,81915204 58 0,52991926 81 0,15643447
13 0,97437006 36 0,80901699 59 0,51503807 82 0,13917310
14 0,97029573 37 0,79863551 60 0,5 83 0,12186934
15 0,96592583 38 0,78801075 61 0,48480962 84 0,10452846
16 0,96126170 39 0,77714596 62 0,46947156 85 0,08715574
17 0,95630476 40 0,76604444 63 0,45399050 86 0,06975647
18 0,95105652 41 0,75470958 64 0,43837115 87 0,05233596
19 0,94551858 42 0,74314483 65 0,42261826 88 0,03489950
20 0,93969262 43 0,73135370 66 0,40673664 89 0,01745241
21 0,93358043 44 0,71933980 67 0,39073113 90 0
22 0,92718385 45 0,70710678 68 0,37460659
Nous constatons, que la calculatrice a donné des valeurs pour cos O° et cos 90°, valeurs impossibles à
définir avec la définition proposée ci dessus ( un triangle rectangle ne peut pas avoir, en plus de son
angle droit, un angle nul ou un autre angle droit ! )Considérons un repère. Sur l"axe des abscisses, graduons de 0° à 90° et sur l"axe des ordonnées
graduons de 0 à 1. Plaçons alors, dans ce repère, tous les points dont l"abscisse est une valeur de l"angle
( lignes colorées du tableau ) et pour ordonnée la valeur correspondante au cosinus de cet angle.
ERRORPar exemple, plaçons le point de coordonnées ( 0 ; 1 ), le point de coordonnées ( 1 ; 0,99984770 ) , le
point de coordonnées ( 2 ; 0,99939083 ) , jusqu"au point de coordonnées ( 90 ; 0 )Nous obtenons donc le dessin ci-dessous :
Nous constatons que les différentes valeurs du cosinus ne sont pas disposées n"importe comment. Si
l"angle est petit, le cosinus est proche de la valeur 1 et si l"angle croit ( du verbe croître : grandir,
augmenter ), le cosinus décroît ( du verbe décroître : diminuer progressivement ) et devient de plus en
plus petit. Nous reviendrons, dans un complément, sur ce graphique . Utilisation du cosinus - Exemples et rédaction :Exemple 1 :
Soit EFG un triangle rectangle en E tel que GF= 6 (cm) et35 GFEˆ
Quel est, au dixième de centimètre, la longueur EF ? Dans le triangle EFG, le côté [FG] s"appelle l"hypoténuse.Pour l"angle
GFEˆ, le côté [EF] s"appelle le côté adjacent. Le cosinus de cet angleGFEˆ permet de lier la mesure du côté
adjacent et la mesure de l"hypoténuse.Ecrivons donc ce rapport.
Croître : Grandir, se développer, pousser.Le peuplier croît plus vite que le chêne.
Augmenter en nombre, en importance, en durée.
Les jours croissent.
Décroître : Diminuer progressivement.
Les adjectifs associés à ces verbes sont croissant et décroissant. Ces mots ont déjà été utilisés dans certains exercices où il était demandé de ranger par ordre croissant ( du plus petit au plus grand ) ou par ordre décroissant (du plus grand au plus petit ) une série de nombres. EI Q EI Qquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] sujet de mémoire droit
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