[PDF] En avant les espaces vectoriels

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En avant les espaces vectoriels

Une introduction à l"algèbre linéaire (Première édition)

Thierry Giordano, Barry Jessup et Monica Nevins

Traduit en français par Abdelkrim El basraoui

©Première édition française, août 2021

Traduction du livre : "Vector Spaces First : An Introduction to Linear Algebra» (4th Edition), 2021

Thierry Giordano, email : giordano@uottawa.ca

Barry Jessup, email : bjessup@uottawa.ca

Monica Nevins, email : mnevins@uottawa.ca

Abdelkrim El basraoui, email : aelbasra@uottawa.ca

CE DOCUMENT EST DISPONIBLE AUX ENDROITS SUIVANTS:

https://github.com/uottawa-mathstat/linear-algebra-oerSauf indication contraire, ce livre est mis à disposition dans le cadre d"une licence Creative Commons de

type Attribution - Pas d"Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International

Les photos utilisées dans les titres des chapitres sont reproduites avec la permission de l"artiste,

PréfaceCe volume constitue la traduction française de la quatrième édition du livre " Vector Spaces First »

de Thierry Giordano, Barry Jessup et Monica Nevins, lequel est né de la mise en commun de notes du

coursIntroduction à l"algèbre linéaireenseigné à l"Université d"Ottawa. Ce livre est destiné à servir de

manuel ou de compagnon pour compléter le cours. L"approche que nous adoptons dans ce livre n"est pas standard : contrairement aux approches

usuelles, nous introduisons les espaces vectoriels très tôt et nous ne traitons les systèmes linéaires

qu"après une telle introduction approfondie des espaces vectoriels. Nous agissons ainsi pour au moins deux raisons. D"une part, après avoir enseigné ce cours de

diverses manières à plusieurs milliers d"étudiants sur près de vingt-cinq ans, nous sommes maintenant

en mesure d"observer que les outils relatifs aux espaces vectoriels sont généralement mal vécus par les

étudiants car ils représentent la partie la plus difficile du cours et trouvent pourtant traditionnellement

leur place à la fin. Dans un cours dispensé en seulement douze semaines, le fait que la matière la plus

difficile se trouve à la fin ne laisse pas à la plupart des étudiants suffisamment de temps pour s"attaquer

aux concepts (apparemment) nouveaux que l"on peut rencontrer lorsque l"on s"attaque aux espaces vectoriels pour la première fois.

À l"opposé, notre expérience nous montre que le fait d"aborder les espaces vectoriels dès les deux

premières semaines permet aux étudiants de bien mieux appréhender les deux " grandes » idées de

l"algèbre linéaire : la notion de combinaison linéaire d"une famille de vecteurs, qui donne lieu à ce que

l"on appelle "enveloppe linéaire», et la notion d""indépendance linéaire» d"une famille de vecteurs.

Ces deux notions sont au cœur de l"algèbre linéaire et sont généralement ressenties comme nouvelles,

abstraites et difficiles par les étudiants lorsqu"elles sont rencontrées pour la première fois. Le mieux est

donc sans doute d"introduire ces notions le plus tôt possible pour pouvoir ensuite les utiliser et ainsi

définir par exemple les notions debaseet dedimension, lesquelles sont utiles à la fois dans le reste

du cours et dans différents autres contextes. Aussi, toujours d"après notre expérience, la plupart des

étudiants semblent préférer aborder les concepts difficiles le plus tôt possible afin d"avoir le temps de

4se familiariser avec des idées vraisemblablement nouvelles et différentes de ce qu"ils avaient vu dans

l"enseignement secondaire.

D"autre part, une autre raison justifiant notre organisation est d"alerter les étudiants sur le fait qu"il

y a réellement des concepts à la fois nouveaux et différents dans ce cours! En effet, si l"on commençait

le cours avec les systèmes linéaires que beaucoup d"étudiants ont déjà étudiés auparavant (en petite

dimension du moins), il serait alors facile de se reposer sur l"idée qu"au final peu de nouvelles notions

seront abordées dans ce cours, si bien que les étudiants seraient pris au dépourvu plus tard lorsque les

espaces vectoriels sont introduits... Au contraire, si l"on commence avec des concepts nouveaux mais

abordables, les étudiants sont stimulés pour aller de l"avant. D"où notre choix d"organisation pour cet

ouvrage.

Remerciements

Remerciements des auteurs de la version anglaiseLes auteurs tiennent à remercier toutes celles et ceux qui ont contribué à la réalisation de ce livre,

consciemment ou non. Ce livre est en quelque sorte la compilation de diverses notes pour un cours

qui était destiné à des élèves de première année à l"Université d"Ottawa. Sur cette longue période

d"enseignement, les auteurs ont été influencés par plusieurs manuels aussi excellents et complets les uns

que les autres, comme ceux de Howard Anton, W. Keith Nicholson, David C. Lay, Seymour Lipschutz

ou encore Marc Lipson (voir les références à la fin de l"ouvrage). Au fil des années, les auteurs ont

également consulté les ouvrages de Tom M. Apostol, Otto Brestcher et Gilbert Strang.

Les auteurs expriment leur gratitude envers leurs collègues qui ont su déceler les inévitables et

innombrables erreurs de la première édition. Ils remercient tout particulièrement Anne Broadbent,

Saeid Molladavoudi ainsi que Charles Starling qui ont non seulement dressé des listes d"erreurs, mais

aussi suggéré d"excellentes modifications.

Ce livre a été utilisé pour la première fois comme manuel de cours à l"automne 2015. Les auteurs

sont reconnaissants envers les dizaines d"étudiants de la section MAT1341 qui ont lu le livre et qui ont

eu la bienveillance de faire savoir les erreurs qu"ils rencontraient.

Ceci étant dit, les erreurs qui subsistent encore malgré tout sont entièrement dues aux auteurs!

Thierry Giordano, Barry Jessup & Monica Nevins

Janvier 2015

Université d"Ottawa

Remerciements de l"auteur de la version française

Je tiens à remercier toutes celles et ceux qui ont contribué à la naissance de cette première version

française. En particulier, je remercie Anne Broadbent pour tout le travail qui ne se limite pas uniquement

6au lancement et à la réalisation de ce projet, mais qui est aussi allé plus en profondeur. Un remerciement

spécial doit aussi être accordé à Monica Nevins pour son soutient, ses commentaires et surtout la mise en

page de ce livre. Des remerciements se doivent aussi à Tanya Schmah pour la mise à notre disposition de

l"outil "Polymath» et les efforts fournis pour la traduction. Je remercie également Ralph Nevins pour les

photos mises à notre disposition. J"aimerais également faire part de ma gratitude envers les concepteurs

également remercier l"Université d"Ottawa qui a soutenu ce projet de traduction par l"entremise du

programme de subvention pour les Ressources Éducatives Libres (REL), et particulièrement Mme

Mélanie Brunet pour son support et son accompagnement. Je me joins à Anne et Monica pour remercier

chaleureusement Pierre Botteron pour la relecture et correction très attentive de cette version. Enfin,

je tiens à remercier les membres de ma petite famille pour leur patience et leur soutien lors de la

réalisation de ce projet.

Version française : Abdelkrim El basraoui

Août 2021

Université d"Ottawa

Table des matières

Préface.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Acronymes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IAlgèbre et géométrie

1Nombres complexes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1 Définition des nombres complexes

19

1.2 Algèbre des nombres complexes

21

1.3 Géométrie des nombres complexes

23

1.4 Forme polaire d"un nombre complexe

24

1.5 Multiplication de nombres complexes sous forme polaire

25

1.6 Le Théorème fondamental de l"algèbre

26

1.7 Réflexions sur le Théorème fondamental de l"algèbre

26

Exercices

27

2Géométrie vectorielle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Vecteurs deRn29

2.2 Manipulation des vecteurs deRn30

2.3 Combinaisons linéaires (concept important!)

31

2.4 Propriétés de l"addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire32

2.5 Plus de géométrie : le produit scalaire dansRn32

2.6 Orthogonalité

33

2.7 Angles entre vecteurs dansRn33

2.8 Projection orthogonale sur une droite dansRn34

Exercices

36

3Droites, plans.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Description des droites

37

3.2 Remarques sur la géométrie des droites

39

3.3 Description des plans dansR339

3.4 Géométrie des plans dansR341

3.5 Produit vectoriel dansR342

3.6 Application : les vecteurs normaux

43

3.7 Application : volume d"un parallélépipède

43

3.8 Remarques finales : les droites, les plans, et plus encore

44

Exercices

44 IIEspaces vectoriels

4Espaces vectoriels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Un premier exemple

51

4.2 Alors, de quoi avons-nous vraiment besoin?

53

4.3 Exemples d"espaces vectoriels

54

Exercices

58

5Sous-espaces, ensembles générateurs.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1 Sous-espaces d"un espace vectoriel

63

5.2 Exemples

64

Exercices

67

6Enveloppe linéaire dans un espace vectoriel.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1 Ré-écriture d"un ensemble de la forme (1) à la forme (2)

72

6.2 Description d"un ensemble infini avec un nombre fini de vecteurs

72

6.3 Définition d"une enveloppe linéaire

72

6.4 Le THÉORÈME IMPORTANT sur les enveloppes linéaires

73

6.5 Application du Théorème 6.4.1 pour identifier plus de sous-espaces

74

6.6 Alors, quels sont tous les sous-espaces vectoriels deRn?76

6.6.1 Sous-espaces deR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.6.2 Sous-espaces deR2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.6.3 Sous-espaces deR3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.7 Reflexions finales sur les enveloppes linéaires & quelques difficultés

78

Exercices

79

7Dépendance et indépendance linéaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.1 Difficulté avec les enveloppes linéaires, I

84

7.2 Difficulté avec les enveloppes linéaires, II

84

7.3 Version algébrique de " 2 vecteurs sont colinéaires »

85

7.4 Version algébrique de " 3 vecteurs sont coplanaires »

85

7.5 Dépendance linéaire

8 6

7.6 La contraposée : indépendance linéaire

87

7.7 Exemples

87

7.8 Faits (théorèmes) sur l"indépendance et la dépendance linéaires

89

Exercices

91

8Indépendance linéaire, ensembles générateurs.. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.1 Résultats importants sur l"indépendance et la dépendance linéaires

95

8.2 Réduction d"ensembles LD

96

8.3 Éxtension d"ensembles LI

9 7

8.4 Exemples

98

Exercices

99

9Bases, dimension.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.1 Grand théorème : ensembles LI et ensembles générateurs

102

9.2 L"équilibre critique : base d"un espace vectoriel

103

9.3 Dimension d"un espace vectoriel

104

Exercices

106

10Théorèmes sur la dimension.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10.1 Tout sous-espace d"un espace de dimension finie admet une base finie

109

10.2 Un raccourci pour vérifier si un ensemble est une base

110

10.3 Dimension des sous-espaces deV111

10.4 Avantages de la dimension des sous-espaces

112

10.5 Avantages des bases d"un sous-espace : partie I

113

10.6 Avantage des bases d"un sous-espace : partie II

113

Exercices

115

IIIRésolution de systèmes linéaires

11Résolution de systèmes linéaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

11.1 Systèmes linéaires

119

11.2 Résolution de systèmes linéaires

122

11.3 Formes échelonnées, forme échelonnée réduite

124

Exercices

126

12Résolution de systèmes linéaires (suite).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

12.1 Solution générale, MER

130

12.2 Réduction d"une matrice en une MER : algorithme de Gauss-Jordan

132

12.3 Algorithme de Gauss-Jordan, solution d"un système linéaire

134

12.4 Concept important : le rang d"une matrice

136

Exercices

136

13Systèmes linéaires : applications.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.1 Rang d"une matrice : son importance

139

13.2 Application I : gérer le flux de voitures dans les réseaux routiers

140

13.3 Application II : tester des scénarios

143

13.4 Application III : résoudre des équations vectorielles

144

Exercices

146

14Multiplication matricielle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

14.1 Comment multiplier des matrices?

150

14.2 Quelques propriétés étranges de la multiplication matricielle

151

14.3 Quelques bonnes propriétés de la multiplication matricielle

153

14.4 Choses étonnantes sur la multiplication matricielle

155

14.5 Retour aux systèmes linéaires

156

Exercices

158

15Espaces vectoriels associés à une matrice.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

15.1 Espace des colonnes, espace des lignes, noyau d"une matrice

163

15.2 Trouver une base deker(A)165

15.3 Conséquences sur les solutions d"un système non-homogène

166

15.4 Résumé : compatibilité d"un système linéaire

168

15.5 Résumé : nombre de solutions d"un système linéaire compatible

168

15.6 Applications

169

Exercices

171

16Algorithmes pour trouverIm(A)etLig(A).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

16.1 Algorithme : trouver une base pour l"espace des lignes

173

16.2 Algorithme : trouver une base pour l"espace des colonnes

177

16.3 Résumé : deux méthodes pour obtenir une base

182

Exercices

185

17Bases en dimension finie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

17.1 Bases d"un espace vectoriel quelconque (de dimension finie)

190

17.2 Extension d"un ensemble LI en une base (en dimension finie)

191

17.3 En savoir plus sur les bases

192

Exercices

192

18L"inverse d"une matrice.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

18.1 Produit matriciel : définition de l"inverse

193

18.2 Inverse d"une matrice2×2194

18.3 Propriétés algébriques de l"inverse d"une matrice

196

18.4 Trouver l"inverse : cas général

197

18.5 Exemples

20 0

18.6 Résumé : une autre condition pour notre grand théorème

201

Exercices

202 IVOrthogonalité

19Orthogonalité, algorithme de Gram-Schmidt.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

19.1 Orthogonalité

207

19.2 Ensembles de vecteurs orthogonaux

208

19.3 Projection orthogonale : plusieurs usages d"une même formule...

211

19.4 Bases orthogonales : l"algorithme de Gram-Schmidt

215

Exercices

217

20Complément orthogonal, applications.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

20.1 Complément orthogonal

221

20.2 Lien avec la projection orthogonale

224

20.3 Application : approximation des solutions d"un système incompatible

225

20.4 Application : méthode des moindres carrés

227

Exercices

229
VDéterminant, valeurs et vecteurs propres, diagonalisation

21Déterminant.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

21.1 Le déterminant d"une matrice carrée

234

21.2 Raccourci 1 : développer selon n"importe quelle colonne ou ligne

236

21.3 Raccourci 2 : utiliser la réduction par rapport aux lignes

238

21.4 Propriétés du déterminant

239

Exercices

239

22Valeurs propres, vecteurs propres.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

22.1 Valeurs et vecteurs propres

245

22.2 Trouver les valeurs propres deA246

22.3 Trouver les vecteurs propres deA248

22.4 Trouver une base de vecteurs propres dansRn249

22.5 Cas problématiques I : pas assez de racines réelles

250

22.6 Cas problématiques II : pas " assez » de vecteurs propres LI

251

Exercices

251

23Diagonalisation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

23.1 À propos de la diagonalisation

25 3

23.2 Échec de la diagonalisation

25 7

23.3 Géométrie des vecteurs propres

257

Exercices

259 VITransformations linéaires

24Transformations linéaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

24.1 Exemples de transformations linéaires

266

24.2 Construction et description d"une transformation linéaire

268

24.3 Noyau et image d"une transformation linéaire

270

24.4 Le Théorème du rang revisité

271

24.5 Remarques sur la matrice projection

272

Exercices

272 VIISolutions

25Solutions aux questions avec une étoile.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Références.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Index.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Acronymes

Abréviations courantes utilisées dans ce livre

Col(A)l"espace des colonnes de la matriceA

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