[PDF] STT- 2300 Cours dAnalyse de la Variance

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STT- 2300

Cours d"Analyse de la VarianceProfesseur Michel Carbon

Département de Mathématiques et Statistique

Université de Laval

Hiver 2015

2

Analyse de la variance

c

2015 Michel Carbon

Table des matières

1 Fondements mathématiques et statistiques 7

1.1 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Loi normale quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2 La loi du khi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3 La loitde Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.4 La loiFde Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.5 Les lois non centrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2 Comparaison de deux moyennes 29

2.1 Comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants . . . . . . . .

29

2.1.1 Variances égales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.2 Variances inégales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.3 Méthodes non paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Comparaison des moyennes de deux échantillons non indépendants . . . . . .

3 8

2.2.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.2 Le testtpar paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

2.2.3 Méthodes non paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3 Exemple (traitement informatique de la comparaison de deux moyennes) . .

40

2.3.1 Importation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.2 Comparaison graphique des deux sous-populations . . . . . . . . . . .

41

2.3.3 Estimation des statistiques de base par sous-population . . . . . . . .

42

2.3.4 Test de la normalité des données dans chaque population . . . . . . .

43

2.3.5 Test de l"égalité des variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.6 Test de l"égalité des moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3 Analyse de la variance à un facteur 49

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1.2 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1.3 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
3

4 TABLE DES MATIÈRES

3.1.4 Plans équilibrés - Plans déséquilibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.1.5 Quelques remarques liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2 Modèle à effets fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6

3.2.2 Équation de l"analyse de variance et tests . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2.3 Estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.2.4 Retour à l"exemple initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7

3.2.5 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.3 Modèle à effets aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.4 Méthode non paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4 Validation des hypothèses d"une ANOVA à un facteur 79

4.1 Conditions d"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2 Condition de normalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.2.1 Les coefficients d"asymétrie et d"aplatissement . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.2 La droite d"Henry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.3 Le test de Shapiro et Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.4 Le test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.3 Condition d"homogénéité des variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.3.1 Le test de Levene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.3.2 Le test de Brown et Forsythe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.3.3 Le test de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.4 Résumé et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.5 Un exemple détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5 Comparaisons multiples 93

5.1 Contrastes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.1.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.1.3 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.1.4 Test d"une hypothèse impliquant un contraste . . . . . . . . . . . . .

9 5

5.2 Comparaisons multiples sous l"hypothèse d"homoscédasticité . . . . . . . . .

96

5.2.1 La méthode de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.2.2 La méthode de Tukey-Kramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

5.2.3 La méthode de Scheffé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9

5.2.4 La méthode de Bonferroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

5.2.5 La méthode de rejet séquentiel de Bonferroni et Holm . . . . . . . . .

102

5.3 Un exemple détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

6 Analyse de la variance à deux facteurs 111

6.1 Modèles à effets fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 1

6.1.1 Modèles sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

6.1.2 Modèles avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117 Analyse de la variance

c

2015 Michel Carbon

TABLE DES MATIÈRES 5

6.2 Modèles à effets aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

6.2.1 Modèles à effets aléatoires sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . .

127

6.2.2 Modèles à effets aléatoires avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . .

130

6.3 Modèles à effets mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

6.3.1 Modèles à effets mixtes sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

6.3.2 Modèles à effets mixtes avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

7 Analyse de la variance à deux facteurs emboîtés 149

7.1 Modèles à effets fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 9

7.2 Modèles à effets aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

7.3 Modèles à effets mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158 Analyse de la variance

c

2015 Michel Carbon

6 TABLE DES MATIÈRES

Analyse de la variance

c

2015 Michel Carbon

Chapitre 1

Fondements mathématiques et

statistiques Ce chapitre sert à présenter brièvement quelques rappels sur la loi normale, la loi du khi-deux, la loitde Student et la loiFde Fisher. La connaissance de quelques propriétés fondamentales de ces lois est indispensable à un traitement statistique rigoureux de l"analyse de la variance, qui est l"objet de ce cours.

1.1 La loi normale

1.1.1 Loi normale centrée réduite

Définition 1.1.1

La loi normale (ou gaussienne) centrée réduite, notéeN(0;1), est une loi à densité. Cette

densité de probabilité a pour expression : f(x) =12ex2=2: C"est une fonction paire, positive, qui a une forme en cloche, et telle quelimx!1f(x) = 0, comme on peut le voir sur la figure (1.2). C"est bien une densité de probabilité car :

1.f(x)>0pour toutx2R;

2. Z +1 1 f(x)dx= 1: 7

8 CHAPITRE 1. FONDEMENTS MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUES

Figure1.1 - Densité de la loi normale centrée réduite Le premier point se démontre trivialement. Quant au second, on peut le prouver comme suit : Z 1 1 f(x)dx=Z 1

11p2ex2=2dx

s( Z 1

11p2ex2=2dx)(Z

1

11p2ey2=2dy)

sZ 1 1Z 1

112e(x2+y2)=2dxdy

sZ 2 0Z 1

012er2=2rdrd

sZ 2 012dZ 1 0 rer2=2dr p1 = 1: Le passage de la ligne 3 à la ligne 4 se fait par un changement de variables polaires : 8< :x=rcos y=rsin en remarquant que, les domaines s"échangent deRR,!R+[0;2[, puis que :x2+y2=r2 et en calculant le jacobien de la transformationJ=r.Analyse de la variance c

2015 Michel Carbon

1.1. LA LOI NORMALE 9

1.1.2 Loi normale quelconque

Définition 1.1.2

Soient2Ret >0. La loi normale (ou gaussienne) univariée de moyenneet de variance

2, notéeN(;2)est la loi de probabilité admettant pour densité :

f(x) =1p2e(x)222x2R Cette fonction est bel et bien une fonction de densité puisqu"on a :

1.f(x)>0pour toutx2R;

2.Z 1 1 f(x)dx= 1. Le premier point est trivial. On peut vérifier le deuxième grâce au changement de variable y= (xm)=dans le calcul aisé ci-dessous : Z 1 1 f(x)dx=Z 1

11p2e12

(x )2dx Z 1

11p2ey2=2dy

= 1; grâce à la démonstration faite dans le cas de la variable normale centrée réduite.

On rappelle le résultat suivant, très utile en pratique pour le calcul de probabilités concer-

nant les lois gaussiennes.

Théorème 1.1.1

On a :

X N(;2)()X

N(0;1): La proposition ci-dessous, laissée en exercice, se démontre aisément.

Proposition 1.1.1

SiXest une variable aléatoire de loiN(;2), alors on :

E(X) =etV(X) =2:

Cela justifie a posteriori l"appellation de normale centrée réduite, et notéeN(0;1).

Théorème 1.1.2

SiX N(;2), alors la fonction génératrice des moments (f.g.m) de la variable aléatoire

Xest égale à :

M

X(t) =et+t22=2:Analyse de la variance

c

2015 Michel Carbon

10 CHAPITRE 1. FONDEMENTS MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUES

Démonstration

M

X(t) =E[etX]

Z 1 1 etx1p22e12 (x )2dx Z 1 1 et(+y)1p2ey2=2dy =etZ 1

11p2e(y22ty+t22t22)=2dy

=et+t22=2Z 1

11p2e(yt)2=2dy=et+t22=2

On passe de la ligne 2 à la ligne 3 en faisant le changement de variabley= (x)=, et en

remarquant que l"intégrale de la ligne 5 vaut 1, car c"est l"intégrale surRde la densité de la

loi normale de moyennetet de variance1. On trouvera ci-dessous les graphes de trois densités de lois normales de variance égale à

1, et avec trois moyennes différentes (0, puis 0.5, puis 1) :Figure1.2 - Densités de lois normales réduites

On remarquera que les graphes sont juste translatés l"un de l"autre. On trouvera ci-dessous les graphes de trois densités de lois normales de moyenne nulle et d"écarts-types différents (=1, puis 1.2, puis 1.5) :Analyse de la variance c

2015 Michel Carbon

1.1. LA LOI NORMALE 11

Figure1.3 - Densités de lois normales centrées

Théorème 1.1.3

SoientX1;X2;;Xnnvariables indépendantes telles queXi N(i;2i)pouri= 1;;n.

SoitY=a0+nX

i=1a iXioùa0;a2;;ansont des constantes. On a alors :

Y N(a0+nX

i=1a ii;nX i=1a

2i2i):

Calculons la f.g.m. deY:

M

Y(t) =E[etY]

=E[et(a0+Pn i=1aiXi)] =eta0nY i=1E[etaiXi] =eta0nY i=1M

Xi(tai)

=eta0nY i=1e taii+t2a2i2i=2 =etfa0+Pn i=1aiig+t2fPn i=1a2i2ig=2 On reconnaît la f.g.m. d"une loi normale de moyennea0+nX i=1a iiet de variancenX i=1a

2i2i.Analyse de la variance

c

2015 Michel Carbon

12 CHAPITRE 1. FONDEMENTS MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUES

Exemple 1.1.1

SoitX N(;2). Appliquons le théorème précédent avecn= 1,a0==eta1= 1=.

On obtient alorsZ=X

N(0;1), la loi normale standard.

Cette loi joue un rôle primordial en calcul de probabilité. Notons sa densité et sa fonction de

répartition respectivement par :()et(). Elles sont respectivement définies par :(z) = e z2=2=p2et(z) =Z z 1 (t)dt. Notons qu"il n"y a pas d"expressions explicites pour(). Ses valeurs numériques sont données dans des tables qu"on trouve dans presque tous les livres de statistique et probabilité, des logiciels d"analyses statistiques et certaines calculatrices scientifiques. Ainsi, on peut calculer numériquement des probabilités du typeP(a < Xb),1 a b 1, comme suit :

P(a < Xb) =P(a

< Zb b )(a

Exemple 1.1.2

SoitfX1;X2;;Xngun échantillon issu d"une loi normaleN(;2), c"est-à-direnvariables aléatoires i.i.d. Appliquons le théorème précédent aveca0= 0etai= 1=npouri= 1;;n.

On obtient alors :

X=1n n X i=1X i N(;2=n):

1.2 La loi du khi-deux

Dans cette section, on définit et on étudie les propriétes élementaires de la loi du khi-deux.

Définition 1.2.1

Soitkun entier strictement positif. On dit qu"une variable aléatoire continueXsuit une loi de khi-deux et on écritX2ksi et seulement si la densité deXs"écrit : f(x) =8 >:1(k=2)2k=2x(k=2)1ex=2six0

0sinon(1.2.1)

où :() =Z 1 0 y1eydy(appelée fonction gamma).kest appelé le nombre de degrés dequotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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