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Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021DM 2

Thermodynamique, transferts thermiques

Exercice 1 : Étude d"un calorimètre

Un calorimètre est constitué d"une enceinte dans laquelle sont placés des accessoires comme un agitateur (A) et

une résistance électriqueRreliée à un circuit extérieur, permettant d"y faire circuler un courant électrique. On

désigne parCla capacité thermique totale de ces accessoires. L"agitateur permet d"homogénéiser la température

Θ(en°C) du contenu de l"enceinte.Toutes les phases condensées sont supposées idéales. On néglige la capacité thermique de l"air enfermé dans le

calorimètre devant celle de l"eau et des accessoires. On donne la capacité thermique massique de l"eau liquide,

supposée constante : c eau= 4,18×103J·kg·K-1

Le calorimètre contient initialement une massem1= 95gd"eau liquide et le dispositif est en équilibre thermique

à la températureΘ1= 20°C. On suppose dans un premier temps que le calorimètre est parfait, c"est à dire

que ses parois sont adiabatiques. Aucun courant ne circule dans la résistance. Après avoir ajouté une masse

m

2= 71gd"eau à la températureΘ2= 50°C, on constate que la température finale du dispositif se stabilise à

f= 31,3°C.

Q.1À l"aide du premier principe, déterminerCen fonctionm1,m2,Θ1,Θ2,Θfetceau. En déduire la valeur

en eauμdu calorimètre, définie parC=μceau. Faire l"application numérique.

Le calorimètre est entièrement vidé de l"eau qu"il contient et on y introduit une massem0= 83gd"éthanol de

capacité thermique massiquec0. À partir det= 0, on fait circuler un courant électrique d"intensitéI= 1,40A

constante dans la résistanceR= 5,0Ωdont la valeur est indépendante de la température.

Q.2Faire un bilan énergétique pendant l"intervalle de tempsdtet en déduire l"équation différentielle vérifiée

parΘ(t).

Q.3On constate que la température s"est élevée de9,2°Cau bout deτ= 120s. En déduire la capacité

thermique massiquec0de l"éthanol.

En fait, le calorimètre n"est pas parfait et il faut tenir compte des "fuites thermiques". Entre les instantstet

t+dt, le contenu du calorimètre échange avec le milieu extérieur une chaleurδQpouvant s"écrire :

δQ=K(Θ(t)-Θa)dt1

Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021oùK= 0,48J·K-1·s-1est une constante,Θla température dans l"enceinte à l"instanttetΘala température

de l"atmosphère extérieure, supposée constante. On suppose qu"àt= 0,Θ(0) = Θ1= Θa= 20°C.

Q.4Comment est modifiée l"équation différentielle de laQ.2?

Q.5En déduireΘ(t)et en donner une représentation schématique en fonction du temps. Quelle est la tem-

pérature limite atteinte par le contenu de l"enceinte? Faire l"application numérique.

Exercice 2 : Moteur thermique

Une mole d"air décrit un cycle moteur1-2-3-4-5-1totalement réversible. Dans l"état1,T1= 300Ket

P

1= 1,0bar. Le cycle est le suivant :

1-→2: compression adiabatique avecV2=V1/10

2-→3: échauffement isochore avecT3= 1190K

3-→4: échauffement isobare avecT4= 1500K

4-→5: détente adiabatique

5-→1: refroidissement isochore

On suppose que l"air est un gaz parfait d"exposant adiabatiqueγ= 1,4constant. On donne la constante des

gaz parfait :R= 8,31J·K-1·mol-1.

Q.1Recopier et compléter, en justifiant, le tableau suivant (indiquer sur la copie les formules littérales pour

ces grandeurs).Grandeur12345

T (enK)30011901500

P (enbar)1,0V (enL)Q.2Représenter ce cycle dans un diagramme de Clapeyron.

On appelleQ1la chaleur reçue par le gaz au cours d"un cycle (Q1>0) etQ2la chaleur cédée par ce gaz au

cours d"un cycle (Q2<0). Q.3DéterminerQ1etQ2. Faire le calcul littéral puis donner les valeurs numériques. Q.4Quel est le rendementrde ce moteur? Faire l"application numérique. Comparer au rendement d"un moteur ditherme réversible fonctionnant entre deux sources de chaleur de températureT1etT4. Exercice 3 : Évolution de la température dans un mur

On considère un mur de très grande épaisseur qu"on assimilera à un milieu semi-infini occupant le demi-espace

x >0. Ce mur est constitué d"un matériau de conductivité thermiqueλ, de masse volumiqueρet de capacité

thermique massiquec. On introduit la diffusivité thermiqueDde ce matériau, définie par :

D=λρc

On ne considère que la seule variable d"espacexet on suppose qu"enx= 0, la température est de la forme

T(0,t) =T0+ ΔTcos(ωt). On noteT(x,t)la température à une profondeurxdans le mur et?j(x,t)la densité

de courant thermique associée.2

Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021Q.1À l"aide d"un bilan énergétique sur une tranche élémentaire de sectionSet située entrexetx+ dx,

déterminer l"équation aux dérivées partielles vérifiée par la températureθ(x,t) =T(x,t)-T0.

Q.2On poseθ(x,t) =Re?

Θ(x)eiωt?

oùΘ(x)est une fonction complexe de la variable réellex, que l"on cherche à déterminer. a) Établir l"équation différen tiellev érifiéepar Θ(x). b)

Mon trerqu ela solution génér aleest :

Θ(x) =Aexp

(1 +i)xδ +Bexp (1 +i)xδ oùδest une constante à déterminer en fonction deωetDet oùAetBsont deux constantes complexes. Quelle est la dimension deδ? c)

Compte ten udes conditions aux limites, déterminer les c onstantesAetBet en déduire la tempé-

ratureθ(x,t)à l"intérieur du mur.

On applique le modèle précédent à l"étude de l"évolution journalière de la température dans le mur. On a relevé

les amplitudes des oscillations de températures à différentes profondeurs :Profondeur (cm)0122030

Amplitude (°C)14,012,211,19,9Q.3En déduire la valeur numérique du coefficient de diffusion thermiqueDdu mur.3

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