[PDF] Baccalauréat C Pondichéry juin 1993

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Durée : 4 heures

?Baccalauréat C Pondichéry juin 1993?

EXERCICE14points

À tout nombre complexeznon nul, on associe dans le plan orienté, rapporté au sepère orthonormal?

O ;-→u,-→v?

, les points A, B, C d"affixes respectives : a=z b= z c=z2z

1.On noterle module dezetθun argument dez.

Exprimer en fonction deret deθle module et l"argument debetc.

2.Comment faut-il choisir z pour que les points A, B, C soient distincts deux à deux?

Dans la suite de l"exercice on supposera cette condition réalisée.

3. a.Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle de centre O.

b.Montrer que AB = AC.

c.Le point A étant donné, indiquer une construction géométrique des points B et C. Justifier

et réaliser la construction.

4. a.Montrer que l"angle?--→CB,--→CA?

a pour mesureθouθ+π. b.En déduire l"ensemble (E) des points A tels que le triangle ABC soit équilatéral. Représenter cet ensemble (E) dans le repère?

O ;-→u,-→v?

EXERCICE24points

Dans une entreprise, on fait appel à un technicien lors de sespassages hebdomadaires, pour l"entre-

tien des machines. Chaque semaine, on décide donc pour chaque appareil de faireappel ou non au technicien. Pour un certain type de machines, le technicien constate : — qu"il doit intervenir la première semaine, — que s"il est intervenu lan-ième semaine, la probabilité qu"il intervienne la (n+1)-ième semaine est égale à 3/4,

— que s"il n"est pas intervenu lan-ième semaine, la probabilité qu"il intervienne la (n+1)-ième

semaine est égale à 1/10.

Ondésigne parEnl"évènement :"letechnicien intervient lan-ième semaine» etparpnlaprobabilité

de cet évènementEn.

1.Déterminer les nombres :p(E1),p(En+1/En)etp?

n+1/ En? , puis en fonction depn: (En+1∩En)etp? n+1∩ En?

2.En déduire que pour tout entiernnon nul :

n+1=13

20pn+110.

3.On poseqn=pn-2

Montrerque lasuite

?qn?estune suite géométrique.Endéduirel"expression depnenfonction den.

Baccalauréat CA. P. M. E. P.

Pour quelles valeurs de l"entiern, la probabilité que le technicien intervienne lan-ième se- maine est-elle inférieure à 3/10?

PROBLÈME11points

La partieIIIdu problème peut être traitée indépendamment de la partieII On désigne parf1la fonction définie sur l"intervalle ]-∞;+∞[ par :

1(x)=ln?ex+1?.

I. Étude de la fonctionf1

1. a.Préciser les limites def1en+∞et en-∞.

b.Étudier les variations def1et construire son tableau de variations.

2.Montrer que, pour tout réelx:f1(x)=x+ln(e-x+1).

Déduire de ce qui précède que la courbe (C1) représentative de la fonctionf1, admet deux droites asymptotes dont la droite (Δ) d"équation :y=x. Déterminer la position de (C1) par rapport à chacune d"elles.

O ;-→ı,-→??

(unité:2cm).

II. Étude d"une intégrale

On désire déterminer un encadrement de l"intégrale :I=? f1(t)dt. À cet effet, on considère la fonctiongdéfinie sur [0; 1] par : g(x)=x2

8+x2+ln2-f1(x).

1. a.Étudier les variations de la fonctiong?(dérivée deg) sur l"intervalle [0; 1]. En déduire le

signe deg?(x). b.Étudier les variations de la fonctiongsur l"intervalle [0; 1] et en déduire le signe deg(x).

2.Démontrer que, pour tout réelxde [0; 1] : 0?g(x)?5·10-3.

3.En déduire un encadrement de l"intégraleI.

Donner pourIune valeur décimale approchée en précisant l"approximation obtenue. III. Étude géométriqued"une famille de courbes

1.kétant un nombre réel non nul, on désigne parDkl"ensemble des solutions dans l"intervalle

]-∞;+∞[ de l"inéquation : ex+k>0. a.Selonk, déterminerDk(on distinguera les cask>0 etk<0). À tout réelk, on associe la fonction notéefkdéfinie pourx?Dkpar : k(x)=ln?ex+k?.

On désigne par

(Ck)sa courbe représentative dans le repère orthonormal?

O ;-→ı,-→??

b.Établir le tableau de variation defkpour chacun des cask>0 etk<0. En déduire que pour tout réel non nulk, l"image parfdeDkestD-k.

Pondichéry2juin 1993

Baccalauréat CA. P. M. E. P.

2. a.Montrer que sik>0, alors : pour tout réelx,

k(x+lnk)=f1(x)+lnk. b.En déduire que sik>0, alors la courbe(Ck)représentative de la fonctionfkse déduit de C1)par une transformation géométrique simple que l"on justifiera. Construire sans calcul la courbe (C2)représentative def2dans le repère?

O ;-→ı,-→??

3.(Δ) étant la droite d"équationy=x, on désigne parSΔla symétrie orthogonale d"axe (Δ). On

admettra queSΔassocie à tout pointMde coordonnées (x;y) le pointM?de coordonnées (y;x) dans le repère orthonormal?

O ;-→ı,-→??

a.Montrer que, pour tout réelxdeDket pour tout réelydeDk?le pointMde coordonnéesquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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