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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017)

Correction de l"épreuve de physique II filière MPCorrection de l"épreuve de physique II filière MPconcours MINES PONTS session 2017concours MINES PONTS session 2017

EL FILALI SAID

CPGE BENI MELLAL

MAROC = elfilalisaid@yahoo.fr =

LA CAPACITÉ THERMIQUE DES GAZ

I /De la molécule à l"oscillateur harmonique o1-L"allure du profil d"énergie potentielleEpde la molécule :

Puisque la molécule est isolée et le référentiel est galiléen alors ( avecEp?→∞---→0) :

?Ep(???e)<0: attraction.?Ep(???e)>0: répulsion. ?e ?E p E? o2-Ordre de grandeur : ?La longueur de la liaison ?e≈200pm ?L"énergie de la liaison |E?| ≈240kJmol-1 o3-La constante de raideurkdu ressort équivalent : On suppose que le mouvement est unidimensionnel c"est à dire que le mouvement est un

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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017) mouvement de translation suivant l"axe AB de vecteur unitaire-→u?. Au voisinage de la position d"équilibre stable(?=?e).

La force vaut-→F=-k(?-?e)-→u?

Le DL deEpau voisinage de?=?edonne :

E p(?) =Ep(?e) + (?-?e)?dEp d?? ?=?e+12(?-?e)2?d2Epd?2? ?=?e+···

Avec :

•Ep(?e) =E?l"énergie à l"équilibre.

•?dEp

d?? ?=?e= 0puisque?eest une position d"équilibre. ?d2Ep d?2? ?=?e>0puisque?eest une position d"équilibre stable.

Par dérivation

-→F=----→gradEp=?F=-dEp d?=-k(?-?e)ce qui donne k=?d2Epd?2? ?=?e o4-L"énergie cinétique de la molécule :

Ec=12(mA-→v2A+mB-→v2B)

o5-Ordre de grandeur de la vitesse caractéristiquevc:

On suppose que les molécules d"air (O

2et N2) sont ponctuelles de masse moyennemet

qu"il se comporte comme un gaz parfait; donc 1

2mv2c=32kBT=?vc=?

3RT

MaA.NGGGGGGGGGGA vc= 500ms-1

o6-L"énergie mécaniqueEmde la molécule : Em=12(mA-→v2A+mB-→v2B) +E?+12k(?-?e)2(E)

o7-Puisque le système est isolé alors?-→Fext=-→0d"où le référentiel barycentrique

est galiléen. en effet : -→Fext= (mA+mB)-→aG=-→0 =?-→vG=-→cte o8-Montrons la relation demandée : On a :mA-→GA+mB--→GB=-→0 =?-→OG=mA-→OA+mB--→OB mA+mBpar dérivation on obtient : -→vG=mA-→vA+mB-→vB mA+mB(1)

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De même :

-→v=d-→AB dt=?-→v=-→vB--→vA(2) D"après (1) et (2) on tire :-→vB=-→vG+mA mA+mB-→v(3) vA=-→vG-mB mA+mB-→v(4)

Il en résulte que d"après (E) :

Em=E?+12(mA+mB)-→v2G+12?

mAmBmA+mB? -→v2+12k(?-?e)2

Par conséquent :

?m=mA+mB: la masse totale du système.

?μ=mAmBmA+mB: la masse réduite du système.?r=?-?e: la distance à partir de la position d"équilibre.

o9-Décomposition de l"énergie mécaniqueEm:

D"après ce qui précède on a :

?1

2m-→v2G: l"énergie de translation.

?1

2μ-→v2: l"énergie de rotation.

?1

2kr2: l"énergie de vibration.

II /Capacité thermique d"un gaz parfait diatomique o10-L"expression de l"énergie interneU:

U=N < Em>

o11-Théorème d"équipartition de l"énergie. A chaque terme quadratique dans l"expression de l"énergie mécanique d"une parti- cule on fait associerkBT 2

Théorème

o12-La capacité thermique molairecV,m:

On a :

-→Em=E????? terme non quadratique+1

2m-→v2G????

3 termes quadratiques+

12μ-→v2

3 termes quadratiques+

12kr2

1 terme quadratique

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Il en résulte 7 termes quadratiques d"où

U=72NkBT=72nRT=?cV,m=1n?

∂U∂T? V =72R=cte

Commentaire :

Lorsque on néglige la vibration de la molécule diatomique on acV,m=5

2Rpar contre lorsque

on tient compte on obtient 7 2R. Dans le cas classiquecV,mest une constante indépendante de la température. o13-Commentaire : Pour les deux gazcV,mn"est pas constante due dans un intervalle de température et que cette valeur dépend de la nature du gaz. ?Pour le chlore : dans l"intervalle T< 250 K sa valeur est quasi constante, et pour T> 250K sa valeur croit lorsque la température croit . ?Pour l"hydrogène : La valeur decV,mcroit lentement pour T<80K puis elle croit en fonction de la température.

On conclut que il existe une température critique à partir de laquelle la capacité thermique

molaire croit avec la température. III /L"oscillateur harmonique en physique quantique o14-L"équation différentielle vérifiée par la fonctionf(x):

On a :

Ψ(x,t) =f(x)e-iE

?t=??????∂Ψ∂t=-iE?Ψ(x,t) 2Ψ ∂t2=f"(x)e-iE ?t

En remplaçantV(x)par son expression on obtient

f"(x) +?2μE?2-kμ?2x2? f(x) = 0 (5) o15-Les dimensions deαetγ

On rappelle que :

•[?]= J.S•[k]= kg.S-2= J.m-2

Donc

4=μk

?2x4=?[α4] =kg.J.m-2J2.S2m4=m.kg.m.S-2J= 1 Il en résulte :αest une constante sans dimension.

De même pourγ:

2=4μE2

?2k=?[γ2] =kg.J2J2.S2?J.m-2= 1

D"oùγest une constante sans dimension.

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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017) o16-L"équation différentielle vérifiée par la fonctionf(α):

Sachant que :f"(x) = (dα

dx)2f"(α)avecdαdx=4? μk ?2Alors on obtient f"(α) + (γ-α2)f(α) = 0 (6) o17-Vérification :

Au voisinage de l"infiniα2?γ=?(6)donne

f"(α)-α2f(α) = 0 f"(α)≂α2f(α) =?f"(α)-α2f(α)≂0 Il en résulte qu"au voisinage de l"infinif(α)≂e±α2/2 o18-Justification :

Puisque|Ψ|2représente la densité de probabilité donc elle est convergenteet par consé-

quentf(α)converge donc la solutione+α2/2à éliminer puisqu"elle diverge. o19-L"équation différentielle vérifiée par la fonctiong(α) g"(α)-2αg?(α)-(γ+ 1)g(α) = 0 (7) o20-L"expression du coefficientbp+2en fonction debp: On a :g(α) =?bpαp=?g?(α) =?pbpαp-1etg"(α) =?p(p-1)bpαp-2 En utilisant l"équation (7) on obtient :?p(p-1)bpαp-2=?(2p+γ+ 1)bpαp On remplacepparp-2dans le terme de gauche ce qui donne p[(p+ 2)(p+ 1)bp+2-(2p+γ+ 1)bp]αp= 0

D"où

bp+2=2p+γ+ 1(p+ 2)(p+ 1)bp o21-Les énergies accessibles à un oscillateur harmonique en régime quantique :

Comme pourp=n?= 0 =?p+ 2 =n+ 2 = 0alors

bn+2= 0 =?γ=-(2n+ 1)

On remplaceγpar son expression on obtient

4μE2

k?2= 4(n+12) =?E=?? k n+12?

Il en résulte que

ω=?k

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IV /Capacité thermique et quantification

o22-Analyse dimensionnelle :Comme[β] =J-1et[kBT] =Jalors

β=1kBT

o23-Expression de la constanteA:

Sachant que?

nπ(En) = 1condition de normalisation alors :A? ne-βEn= 1 =?A=1 Zavec Z=? ne -βEn (fonction da partition)

On remplaceEnpar?ω?

n+1 2? on obtient Z=? ne-βEn=?Z=? ne-β?ω(n+1 2) =?Z=e-β?ω 2? n? e -β?ω?n =?Z=e-β?ω 21-?
e -β?ω?n+11-e-β?ω

Commen→ ∞alors?

e -β?ω?n+1→0ce qui donne : Z=1

2sinhβ?ω2=?A= 2sinhβ?ω

2 o24-L"expression de l"énergie moyenne< E >:

On a :< E >=N < En>=?< E >=N?Enπ(En)

Ce qui donne :< En>=1

Z?Ene-βEnqu"on peut écrire

< En>=-1Z? ∂∂βe-βEn=?< En>=-∂lnZ∂β

Par dérivation dulnZon obtient :

< E >=U=12N?ωcoth(β?ω2) o25-La capacité thermique molaire à volume constant :

On rappelle quecV,m=1

n∂U∂T? V V

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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017) ∂T=-1kBT2=-kBβ2 ?∂U V =-14N(?ω)21sinh2?β?ω2?

Il en résulte que

cV,m=R?

β?ω2?

2 sinh2?β?ω2? =Rξ2 sinh2ξ

AvecR=kBNActe des gaz parfaits.

o26-Réécriture de l"expression decV,m:

On a :ξ=β?ω

2etβ=1kBTce qui donne

ξ=?ω2kBT=?ξ=Tv2T

En posant :u=1ξ=?u=2TTvon obtient que

cV,m=Rχ(u) o27-D"après le graphe de la fonctionχ(u), on prévoit l"existence d"une valeur cri- tiqueuc=2Tc Tv?0,2?Pouru?uc=?χ=ctedonc la capacité thermique est constante. ?u?uc=?χest croissante donc la capacité thermique thermique croit avec latem- pérature. Ce qui est en concordance avec la courbe expérimentale. Comparaison entre les valeurs expérimentales et théoriques deTv:

Tv(th)Tv(exp)

H2≈530≈25

Cl280≈220

Conclusion

Le modèle théorique prévoit l"existence d"une température critique au delà la capa- cité thermique n"est plus constante, mais sa valeur théorique reste loin de sa valeur expérimentale. Dans cette étude on considère que les molécules sont toujours gazeuses quelque soit la température, elle ne tient pas compte du changement d"état ce qui n"est pas réel.

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