[PDF] RAPPORT SUR LE CONCOURS 2017 la session 2017 du Concours

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2AvantPropos.....................................................................................................................................................41.MATHÉMATIQUES....................................................................................................................................81.1.Épreuvesorales................................................................................................................................81.1.1.FilièreMP................................................................................................................................81.1.2.FilièrePC................................................................................................................................131.1.3.FilièrePSI...............................................................................................................................151.2.Épreuvesécrites.............................................................................................................................191.2.1.MathématiquesI - MP........................................................................................................191.2.2.MathématiquesII - MP.......................................................................................................201.2.3.MathématiquesI - PC.........................................................................................................251.2.4.MathématiquesII - PC........................................................................................................281.2.5.MathématiquesI - PSI.........................................................................................................301.2.6.MathématiquesII - PSI........................................................................................................322.PHYSIQUE...............................................................................................................................................352.1.Épreuvesorales-Remarquesgénérales........................................................................................352.2.Épreuvesorales-Remarquesparticulières...................................................................................372.2.1.FilièreMP..............................................................................................................................372.2.2.FilièrePC................................................................................................................................412.2.3.FilièrePSI...............................................................................................................................422.3.Épreuvesécrites.............................................................................................................................452.3.1.PhysiqueI - MP...................................................................................................................452.3.2.PhysiqueII - MP..................................................................................................................472.3.3.PhysiqueI - PC.....................................................................................................................502.3.4.PhysiqueII - PC....................................................................................................................522.3.5.PhysiqueI - PSI....................................................................................................................532.3.6.PhysiqueII - PSI...................................................................................................................552.4.Epreuvemixte - PC-PSI................................................................................................................563.CHIMIE....................................................................................................................................................603.1.Épreuvesécrites.............................................................................................................................603.1.1.FilièreMP..............................................................................................................................603.1.2.FilièrePC................................................................................................................................613.1.3.FilièrePSI...............................................................................................................................673.2.Épreuvemixte - PC-PSI................................................................................................................694.INFORMATIQUE......................................................................................................................................744.1.Informatiquepourtous..................................................................................................................744.2.Informatique - filièreMP.............................................................................................................775.SCIENCESINDUSTRIELLES.......................................................................................................................785.1.Épreuveécrite - filièreMP...........................................................................................................805.2.Épreuveécrite - filièrePSI...........................................................................................................835.3.Épreuvemixte - filièrePSI............................................................................................................856.FRANÇAIS................................................................................................................................................906.1.Épreuveorale.................................................................................................................................90oL'analyse(Duréepréconisée:5à7minutes).................................................................................91oLedéveloppementpersonnel(commentaire)(Duréepréconisée:10à15minutes.)...................91oL'entretien(Duréedépendantdecelledesdeuxpremièresparties:minimum10minutes.)........92

3Lasession2017...............................................................................................................................................926.2.Épreuveécrite................................................................................................................................976.3.Annexe - Épreuvesorales:cinqexemplesdetextesetpistesd'analyse..................................100•Premiertexte...............................................................................................................................101•Deuxièmetexte............................................................................................................................104•Troisièmetexte............................................................................................................................108•Quatrièmetexte...........................................................................................................................111•Cinquièmetexte...........................................................................................................................1156.4.Annexe - Épreuvesécrites:unexempled'unebonnecopie.....................................................1227.LANGUESVIVANTES..............................................................................................................................1257.1.Épreuvesorales............................................................................................................................1257.1.1.Anglais.................................................................................................................................1257.1.2.Allemand.............................................................................................................................1277.1.3.Espagnol..............................................................................................................................1307.1.4.Arabe...................................................................................................................................1317.1.5.Russe...................................................................................................................................1387.1.6.Italien..................................................................................................................................1407.1.7.Portugais.............................................................................................................................1417.2.Épreuvesécrites...........................................................................................................................1437.2.1.Anglais.................................................................................................................................1437.2.2.Allemand.............................................................................................................................1457.2.3.Espagnol..............................................................................................................................1497.2.4.Arabe...................................................................................................................................1507.2.5.Russe...................................................................................................................................1517.2.6.Italien..................................................................................................................................153

4AvantProposElèvesetenseignantsdesclassespréparatoiresauxgrandesécolesd'ingénieurs,cerapportdelasession2017duConcourscommunMinesPonts(CCMP)vousestavanttoutdestiné.Sesrédacteurs,correcteursetexaminateurs,ont,commeàl'accoutumée,cherchéavanttoutàcequeleurcontributionvoussoitbénéfique.Ainsi,ilsontveilléàéviterdansleursmatièresuneligneéditorialeinfondéeetstérile,dutype" Leniveaubaisse ».Aussi,lalectureattentivedecedocumentpendantlesdeuxoutroisannéesdepréparationdoitconduireàéviterleserreursoulescomportementstropsouventobservésàl'écritcommeàl'oral.Elledoitégalementpermettredecomprendrel'espritdenotreconcours,c'est-à-direcequiestattenduparlescorrecteursetlesexaminateursselonlesdirectivesdesÉcolesduCCMP.Avantdeformulerinfinequelquesconseilsgénérauxissusdeceregardsurleconcours2017,j'évoquerailesélémentslesplussaillantsduconcours2018etsesmodalités.I/ORIENTATIONSPOURLASESSION2018LeCCMPorganiseraen2018,intégralement,écritetoral,lerecrutementdanslesfilièresMP,PC,PSIdes9GrandesEcolesduConcours.Celacorrespondraà1276placesoffertespources3filières,pour1111en2017soit+15%danscesécolesd'ingénieursdetrèshautniveau.D'autrepart,commepo urlesannée sprécédentes,d'au tresconcoursuti lisentpour leurrecrutementlesépreuvesécritesduCCMP.CesconcoursconstituentavecleCCMPlaBanqueMinesPonts.Ils'agitdesconcoursTPE/EIVP,250placesoffertesenviron,etduConcoursMines-Télécom,quioffrira1207placesen2018,pour1339en2017,cettebaisseestàrelativiserpuisquelesécolesTélécomBretagneetMinesNantesayantfusionnéen2017enIMTAtlantique,lerecrutementdecettenouvelleécolepourlesfilièresMP,PC,PSI,s'effectueen2018parleseulbiaisduConcoursCommunMinesPonts.CesdeuxconcoursetleConcourscommunMinesPontsoffrirontautotal2740placesenécolesd'ingénieursdansces3filières.Parailleurs,leconcoursCentrale-SupélecutiliseégalementlesépreuvesécritesduCCMPpoursoncycleinternational.LesinformationsconcernantleConcours(sujets,statistiques,observationsdescorrecteursetdesexaminateurs)peuventêtreconsultéessurlesite:http://mines-ponts.frLesdemandesderenseignementsconcernantlesétudesetlaviedanslesécolesdoiventêtredirectementadresséesàcelles-ci.J'invitelescandidatsàserenseignersurlesdifférentesécolesduConcourscommunMinesPontsetlesdifférentesécolesdesconcoursadhérentsàlabanqueMinesPontsenutilisantlelieninternetci-dessus.

5En2018,outrel'élargissementcommeen2017delapérioded'établissementdelalistedevoeuxdefévrieràjuillet,defaçonàinciterlescandidatsàréfléchiràleurchoixetprendreletempsdeserenseignersurlesécolesetlesdébouchésdecarrièrequ'ellesoffrent,l'ensembledesconcoursadécidéderepousserlaclôturedesvoeuxau27juillet12h,aprèslapublicationdesrésultatsles25et26juillet.Nousespéronsainsiquelescandidatsajusterontaumieuxleursvoeuxenfonctiondeleursrésultatsetéviterontleserreursquiserépètenttouslesansdansleurschoixhiérarchisés.Soyeztrèsattentifssivousmodifiezvosvoeuxentrele26etle27juillet201812h !Parailleurs,lesconcoursontadoptéen2017ladématérialisationdel'enregistrement:touteslespiècesjustificativesdoiventêtretéléverséesparinternetsurlesiteduSCEI.Attention:leConcourscommunMinesPontsinterditl'utilisationdescalculatricesdanstouteslesépreuvesécrites.Candidats,vérifiezbienquetousvosappareilsélectroniques(téléphonesmobiles,calculatrices,objetsconnectés.. .)soientéteintsetrangésdansvossacspendantl'écr it.Vousêtestropnombreuxchaqueannéeàêtresanctionnéspournepasappliquercesconsignes !L'écritduCCMPsedérouleraen3jours,dulundi7maiaumercredi9mai2018.Cesont3jourstrèsexigeants,avecleplussouvent,3épreuvesparjour.Soyezenforme !II/CONCLUSIONSDUCONCOURS2017Aprèsquelquesréglageslorsduconcours2015quiétaitlepremiersurlesnouveauxprogrammesdesclassespréparatoiresauxgrandesécoles,lasituationestàprésentbienstabiliséegrâceauxeffortsconjuguésdescandidats,deleursprofesseurs,etdescontributeursauconcoursàl'écritetàl'oral.Ainsi,lesquelquesréclamationsàl'oralconcernantlaconformitéauxprogrammesontpuêtretraitéesdefaçonsatisfaisante.Lescommentairesdescorrecteursetdesexaminateurssurleconcours2017fontl'objetd'undocumentimprimépourunusageplusaiséparlespublicsintéressés:professeursetétudiants.IlestaussiconsultablesurlesiteInternetduconcoursindiquéplushaut.Ilestdoncsouhaitabled'enprendreconnaissanceleplustôtpossible.Commechaqueannéelescommentairesdesexaminateursserontmisàdispositionsurleslieuxdesépreuvesoralespourlescandidatsadmissibles.III/QUATRECONSEILSGENERAUXLeCCMPconstituantunebanquedenotespourdenombreusesautresécolesd'ingénieurs,cesontprèsde16000candidatsquipassentl'écrit.Lesconseilsetcommentairesdescorrecteursdesépreuvesécritessontdoncàanalyserauregardd'unpanelpluslargequeceluidesseulscandidatsauCCMP.

6Laplupartdesremarques,classiquesparcequerépétéeschaqueannée,restentimportantespourtirerlemeilleurpartidutravailenprépaetsontregroupéessousquatreslogans.1/APPRENEZLECOURS !C'estcequer épètentinl assablementcorrecteursetexaminateurs.Lesrésu ltatsd'u ncours(théorèmes,applicationdeméthodes,etc.)dépendentd'uncontextequiaétéintelligemmentétudiéetutilisé.Mettezenvale urlecontexte avantl'utili sationd'unrésultatdecours.Citezl esconditionsd'utilisationavantd'utiliserdesoutilsdanslaréponseproposée.Danslesmatièresscientifiquesetdanslesmatièreslittéraires,l'enseignementprodiguéenclassespréparatoiresauxgrandesécolesd'ingénieurnedoitpasinciteràoublierlesacquisdusecondaire.Larévisiondeformulaires,decertainsprincipesfondamentauxetdecertainesméthodesderésolution,larévisionderèglesgrammaticalesenlangues,sontnécessairespourbâtirunecompétencesurdesbasessolidesetpérennes.2/SOYEZCLAIRSETHONNETES !Ainsi,unecopiebienprésentéeestlefruitd'unevisionclairedelasolution.Qualitédelarédaction,orthographecorrecte,présentationclaire,sontindispensables.Lanotefinale,quellequesoitladiscipline,reflèteratrèssouventcesaspects.Lanégligencenepaiepas.Reviennentensuitedanslescommentaireshabituelspourl'écritdanslesdisciplinesscientifiqueslemanqued'honnêtetéintellectuelle,lemanquedeconcrétisationpardesschémas,lemanquedeclarification.Quellequesoitlaformulation,lejuryrecommandedenepastenterdedévelopperuneréponse,siensonforintérieur,lecandidatvoulantremplirsacopiesaitmanifestementqu'iln'apascompriscequiétaitdemandé.Admettrelerésultatd'unequestionestpréférableàdelongsgribouillisinutiles,ouàunesimulation d'uneévi den cequin'ex istepas.Laproductiondesch émas,l'encadrementdesrésultats,lavérificationdel'homogénéitéd'uneformulelittéraleprouveunsensindéniabledel'organisation.3/EXPRIMEZ-VOUSAVECRIGUEUR !L'oraln'estpasuneépreuveécriteoralisée.Exprimez-vousenrévélantvotrelogiqueetvotredémarche !Etablissezundialogueavecl'examinateur !L'examinateurpeutvousaider,maiscelan'estpassonrôle.Ilveutvousentendre,ilveutpouvoirvousévaluer.Danssanotation,iltientcomptedevoserreursoudevosinitiativessansforcément,lemanifester.Uneréflexionàhautevoixpermetdecomprendrelecheminementprispourlarecherched'unesolution.Celaestpréférableàdelongsdéveloppementserratiquesetsilencieuxautableau.Lemétierd'ingénieurexigeuneclarificationdesbesoins,suiviedepropositionsdeméthodesoudestratégiespourrésoudreceoucesbesoins.Décrireoralementsesintentions,sonanalyseduproblème,sonintuitionousalogique,organisersontableaupermetsouventdenepasfoncertêtebaisséedansuneimpasse.

7Soyezenoutreetenfinbienconscientsduformatdel'épreuve.Lesépreuvesdefrançaisetdelangue,sontdesépreuvespluscourtesdanslesquellesletempsdeparole,avantlesquestions-réponses,estcompté.4/REFLECHISSEZETORGANISEZ-VOUS !Lemétierd'ingénieuroulesmétiersdanslesdomainesscientifiques,voireéconomiques,exigentdegrandesqualitésparmilesquellesfigurentenpremierlieulacapacitéderéflexionetlacapacitéd'organisation.Unemeilleureorganisationdevotreréflexionetunemeilleureréflexionsurvotremanièredevousorganiserpeuventêtresourced'améliorations.Produiredu" sens »plutôtquedu" flux »révèlesonniveaud'abstractionetdoncsonniveauderéflexion.Démontrer,convaincre,argumenternepeutpassefairesansorganisation.Cesconseilssontaussi,évidement,valablespourlesépreuveslittéraires.Celledelanguevivanteàl'écritpermetd'unepart,devérifierlacompréhensiondesélémentsclefsd'untexteetd'autrepart,d'analyservotrecapacitéàvousexprimeretàstructurer,dansunelangueétrangèreetparécrit,votrepropreréflexion.L'incompétencelinguistique,l'absencederéflexion,lehorssujet,lemanquedeconcision,sontpénalisés.L'absencederéflexionetl'absenced'organisationsonttoujoursprisesencomptenégativement,quelquesoitleniveaudecompétenceenlangue.Al'oral,organiseruneintroductionsurletexteproposédelangue,élaborerunrésuméautourd'unfilconducteuretstructurersoncommentairesontdesétapesindispensables.Pourl'écritdefrançais,silamémoireestrequise,leniveauderéflexiondoitêtredémontréparuneorganisationdelacopie.Apprend redespar agraphe sparcoeuretlesserv irmécaniquementdémontreuneabsencederéflexion,d'autantquelescorrecteursperçoiventsouventdanscecasunedésorganisationdeces" copier-coller ».Jeconseillevivementauxélèvesetàleursprofesseursdeseréférerégalementauxrapportsdesannéesantérieuresdontlesgénéralitésrestentintemporelles.Bonnelecture !Jesouhaiteàchaquecandidatdetrouverlaréussiteauniveaudesesespérances.Jeremercielescorrecteursetlesexaminateurspourleuractivecontributionàcedocumentdestinéàaiderlescandidats.BrunoDranDirecteurgénéralduConcourscommunMinesPonts

81. MATHÉMATIQUES1.1. Épreuvesorales1.1.1. FilièreMPLesorauxd elasession2017on tmontréun meilleurniveaudescand idatsadmis sibles:be aucoupdecandidatsexcellentsetassezpeudecandidatsextrêmementfaibles. Onpeutcependantconstaterunebaissesensibledessavoir-faire,aussibiendanslaconstructiondepreuvesthéoriquesquelorsdesmisesenoeuvretechniques.Commedanslesannéesprécédentes,lesdifficultésencalculsonttoujou rsprésentes. Onvoit aussiapparaî tredesdifficulté saveclesnotionsthéoriquesou abstraites,notammentenalgèbregénérale(structures),enalgèbrelinéaire(endomorphismes)etenanalysecombinatoire. Néanmoinslamajoritédescandidatssemblentplutôtbienpréparésàl'épreuveorale,puisqueledialogue,l'écoute,levolontarismepourchercheretrésoudrelesexercicesproposéssontassezprésents. Certainscandidats,enfin,méconnaissentlesprincipesdebased'uneépreuveorale. RappeldesgénéralitésIlconvientdonc,toutd'abord,derappelerlesmodalitésdel'oral. o LesmodalitéspratiquesL'épreuveoraledemathématiquesestunentretiend'une heureenviro n(aumin imum,quarante-cinqminutesquellequesoitlaprestationducandidat).L'exposéautableaupeut,suivantl'examinateur,débuterimmédiatementouêtreprécédéd'unepréparationd'unedizainedeminutessurtable,ouaussid'unecourteréflexiondequelquesminutesautableau:chaqueexaminateurpréciselesmodalitéspratiquesdesoninterrogation(avecousanspréparation,avecousanscalculatrice). Lecandidatattenddevantlasalleindiquéesursaconvocation,puisestappeléparl'examinateur.Ildoitêtremunid'unepièced'identitécomportantunephotographiesurlaquelleildoitêtrereconnaissable,maisaussid'unstylo !Unecalculatriceestparfoisutile. Pourtouteinf ormationcomplém entaire,lirela NoticerelativeauxModalités d'Admiss ionauConourscommunMines-Ponts. o Lesmodalitésd'interrogationLecandidatsevoitproposer,auminimum,deuxexercicesportantsurdespartiesdifférentesduprogramme.L'examinateurpeutjugernécessairedep oserdesq uestionsdecou rsdefaçondi recteoubienunéclaircissementd'uneréponseincomplèteounonconvaincantesachantquel'objectifn'estpasdemettreendifficultéouensituationd'écheclecandidat.Unecertaineindulgenceestacquiseàceuxquicommettentdeserreursduesaustress.L'examinateurintervientlorsqu'illejugenécessaire,cequinedoitpasdéstabiliserlecandidat.Enrevanche,onnedoitpasattendreuneapprobationàlafindechaquephrasepourcontinuersonraisonnement. Pourgérerletempsdel'entretien,l'examinateurestparfoisamenéàproposeraucandidatdetraiterlesecondexercicealorsquelepremiern'estpasencorerésolu,soitparcequ'iljugequelecandidatpossèdesuffisammentdepotentialitéspourfinirl'exercice,soitparcequecedernierestarrivéàuneimpasse,malgrélesindications,soittoutsimplementpourgarderletempsd'aborderlesecondexercice. o LesattentesdujuryLebutdel'oralduConcourscommunMines-Pontsestdeclasserlescandidats.L'objectifdel'examinateur,àtraversdemultiplesquestions,estdepermettreàchaquecandidatdemontrersesqualités.

9L'attitudequiconsisteàattendrepassivementl'interventiondel'examinateuretcellequiconsisteàresterfaceautableau,muetouenparlantdemanièreinaudible,sontsanctionnées. Lecandidatdevraitarrivercommeunfuturingénieurlorsd'unentretiend'embauche.Pourcela,ildevra: - biencerneretcomprendrel'exerciceproposé; - envisageruneouplusieursméthodes,puischoisirlaplusappropriéeavantdeselancerdanslarésolutionduproblème; - expliquersadémarcheàl'examinateur; - justifierlesaffirmationsavancéesetdonnerdesénoncésprécisdesthéorèmesdecoursutilisés; - àcepropos,lecandidatdoitêtrecapabled'énoncerchaquethéorème,avectoutesseshypothèsesetlesconclusionsdanslestermesexactsduprogramme(siuncandidaténonceunrésultathorsprogramme,ildevraêtrecapabledejustifierleshypothèsesutiliséesetdedonnerlesidéesd'unepreuve). o NotationLesexercices proposésnesont pastousd'ég aledifficul té.L'examinateurévaluetoujourslesmêm esparamètres:dansladémarchesuivieparlecandidat,cesontl'expérience,l'intuitionetlatechnicitéquisontobservéesavecgrandintérêtpourladéterminationdelanotefinale.Aussiconvient-ildenepasselaisserimpressionnerparunequestiondélicate:desindicationsoudesconseilsdenotationsadaptéespourrontêtredonnésparl'examinateur,aucandidatdesavoirentirerprofit. Àcepropos,signalonsqu'uneindicationpeutêtreaussidonnéeparl'examinateurpourpermettreàuncandidatdepasseruncapqu'ilneparvientpasàfranchirseuletainsid'évaluerlespointssuivantsdel'exercice.Enrevanche,iln'estpasconseilléaucandidatderéclameruneindication,mais,éventuellement,d'admettreunrésultatpourpouvoirtraiterlasuitedel'exercice. Lanoteattribuéeestunesynthèsedesévaluationsdelaprestationducandidat: - safaçond'appréhenderl'énoncéetdefairel'inventairedesméthodespossiblespourlarésolution, - l'autonomiedontilfaitpreuveetlapertinenceduchoixdesaméthode, - sonsavoir-faireetsamaîtriseducoursconcernantlesdifférentespartiesduprogramme, - larigueurscientifiqueaveclaquellesadémonstrationestconstruite, - laclartédel'exposé,ycomprislabonnegestiondutableau, - laqualitédel'expressionoraleetl'effortducandidatàexpliquerouàdialoguer, - enfin,l'honnêtetéintellectuelleestunequalitéimportantedansladémarchescientifiqueetlafranchiseseraappréciéedansl'analysedesinsuffisancesd'unedémonstrationoudeshypothèsesd'unthéorème.Lecomportementinverseesttoujoursfortementpénalisé. • ConseilspratiquesLagestiondutableautraduitlafaçondontlecandidatorganisesontravail.Ilpeutréserverunepartiepourlebrouillon,maisildoitcommenceràécrireenhautàgauche,finirenbasàdroiteetfaciliterlalecturedecequ'ilaécritàl'examinateur,sansresterenpermanencefaceautableauetsanseffacerdèsqu'onluiposeunequestion:l'interlocuteurdumomentestl'examinateur. Celadit,ilfauts'adapterautableau(petitougrand)etiln'estpasnécessairedeleremplir.Ils'agitd'uneépreuveorale,cequipeutsediren'estpasnécessairementàécrire. Onl'auracompris,l'épreuveétantorale,lecandidatnedoitpasrestersilencieux.Maisilnes'agitpasd'uneconversationaucoursdelaquelleons'efforced'extorqueràl'examinateurdespistespourlarésolutiond'unexercice.Secontenterd'émettredesidéesoudeproposerdesméthodesenespérantquel'examinateurfasselechoixn'estpasunetactiquepayante.Ilfautaucontrairefairepreuved'autonomieetd'initiative,

10sachantqu'uneapprocheoriginaleestgénéralementappréciée. Souvent,pourdébuter,unefigureaideàserendrecomptedelanatureduproblèmeetàdécouvrirunebonnepiste;l'examendecasparticulierspeutdonnerdesidéessurlesconjecturesàémettreousurlesdémarchespossibles.Évidemment,aucunedecesdeuxdémarchesneremplaceladémonstration. Quandonpressentqu'unepropriétéestfausse,ladonnéed'uncontre-exemplesimpleesttrèsappréciée. Lespassages,enapparence,élémentairesdanslarésolutiond'unexercicenedoiventpasêtrenégligés:sil'onconsidèrequ'unrésultatestévident,ondoitsavoirlejustifieretnepasses entirdés tabilisélors quel'examinat eurdema ndedesprécisions. Unebonneconnaissancedesthéorèmesducoursestindispensablepourétayersesraisonnements,passeulementdesnomsdesthéorèmes,quipeuventvarier,maisdeshypothèsesprécisesutiliséesetdesconclusionseffectives.Mieuxvautnepasnommerunthéorèmequeluidonnerunnomfarfelu. Unebonneconnaissancedesformulesclassiques(primitivesusuelles,formulesdetrigonométrie,développementslimitésusuels)estincontournable,cequinedispensepasdesavoirlesretrouver. Enfinsavoirnep assedécouragerfac eàdesim ples,maisinévitab lescalculs:un epetitetec hnicitécalculatoireestunoutilessentield erecherche .Lescandi datsendifficultésu rcepointsontinvitésàs'entraîner,entoutcasànepaséviterlescalculsqu'ilsrencontrentlorsdeleurpréparation. • Remarquesparticulièreso AlgèbregénéraleL'algèbregénéraleconserveuneattractivitéquirécompenselesplusalertesdescandidats.Cependant,onnote,cetteannéeencore,unebaissedeniveau:certainscandidatsnesaventpascequ'estungroupe,uncorps,unealgèbreoulespropriétésqu'onpeutalorsutiliser. Pourbeaucoup,lesconnaissancesrequisesenalgèbregénéraleselimitentsouventauxnotionsdebasesurlesstructures.Lesconnaissancesutilessurlesgroupesoulesidéauxnesontpastoujoursmaîtrisées.Lemaniementdespolynômesetdesfractionsrationnellesrestetrèsinégalchezle scandidats. Onattend enparticulierqu'ilss achentexploitero urechercherlesracinesd'unpolynôme,factoriseroufairelelienaveclescoefficients,etqu'ilssachentexploiterlesfractionsrationnelles,leurspôlesoudécompositions.Ladécompositionenélémentssimplesestlongueàvenirpourcertainscandidats,parfoislethéorèmededécompositionn'estpassu. Enfin,l'arithmétiqueest,dansl'ensemble,convenablementmaîtrisée. o AlgèbrelinéaireLesdifficultéssesontaccruesdanscedomaine,lamiseenplaced'unestratégieadaptéeestungrosécueilpourdenombreuxcandidats. Ainsi,cesderniersontdumalàutiliserunpointdevueapproprié(baseadaptéeparexemple)auproblèmeétudié. Plusgénéralement,construireunedémonstrationenalgèbrelinéairen'estpasunechoseaisée. Beaucoupdecandidatsconfondentlesmatricesaveclesendomorphismes,cequilesempêched'utiliserefficacementlesecondpointdevueencasdechangementdebase. L'outilmatriciel,notammentlecalculavec desindices ,n'estpasparticuliè rementbienmaîtr isé. Lespolynôm esd'endomorphismesdonnenttoujourslieuàdenombreusessurprises. Nousrappelonsqu'unematriceàcoefficientsréelspeutêtreconsidéréecommeunematriceàcoefficientscomplexes,pourladiagonaliserenconséquencelecaséchéantparexemple,cequetropdecandidatsontdumalàutiliser. Enfinunnombrenonnégligeabledecandidatssemblents'accrocheràlaco-diagonalisationouàlaco-trigonalisation.Toutenotionhorsprogrammeutiliséeàl'oraldevraêtrejustifiée.

11o AlgèbrebilinéaireNousrappelonsquepourqu'unvecteurdansunespaceeuclidiensoitnulilsuffitquesanormesoitnulle,ouencorequ'ilsoitorthogonalàtouslesvecteurs,ceàquoibeaucoupdecandidatsnepensentpas. Lethéorèmed'orthonormalisationdeSchmidtposetoujoursdesproblèmes àcer tainsétudiants. Concernantlesendomorphismesremarquablesd'unespaceeuclidien,lethéorèmespectralsembleêtrebienassimilépourlesmatrices,maisnettementmoinspourlesendomorphismessymétriques. Lescaractérisations,ainsiquecertainespropriétés,desendomorphismesorthogonauxrestentunmystèrepourcertainscandidats. o AnalyseIlestregrettabledeconstaterque: - lesvaleursabsoluesetlesinégalitéssonttraitéesparfoisavecdésinvolture; - lesformulesdebasedelatrigonométrienesontsouventpassues.C'estunhandicapàl'oraldansdifférentsdomaines.Ainsi,lalinéarisationducarréd'uncosinus,larelationentrelescarrésdetangenteetducosinus,lesrelationsdeduplicationrestentméconnuespourcertains; - lacontinuitén'estpasunenotionpasse-partoutàinvoqueràtoutboutdechamp.Dire,sanslejustifier,qu'unepropriétéestvraie,ou" passedetelensembleàtelautreparcontinuité »,resteinsuffisantengénéral; - ladérivationdefonctionsusuelles,lecalculdeprimitivessimples,devientungrosproblèmepourquelquescandidats,heureusementpeunombreux.Lesprimitivesusuellesnefontd'ailleurspastoujourspartiedubagagedecertainscandidatsadmissibles; - denombreuxétudiantsconfondentdéveloppementslimitésetéquivalents.Laconnaissancedesdéveloppementslimitésusuelsn'estpasbonne.Pourtropd'étudiants,leserreursdesigneoudecoefficientsdanslesdéveloppementslimitéssonthabituelles. o TopologieLesdéfinitionsd'uncompact,d'unouvert,d'unferménesontpastoujourscorrectementdonnées.Certainscandidatsneconnaissentquelecritèreséquentielpourmontrerqu'unepartied'unespacevectorielnorméestfermée. Reconnaîtreunenormepréhilbertienneposetropsouventproblème. o SuitesetsériesLesméthodesutilisantlesdéveloppementslimités(ouasymptotiques)pourétudierlanatured'unesériedesignenonconstant,oupourétudierunesuitesommed'unesérietélescopique,sontmalconnues.Denombreuxcandidatsontdesdifficultésaveclessuitesdéfiniesparunerelationrécurrence. o SuitesetsériesdefonctionsDanslamanipulationdessériesdefonctions(recherched'équivalentd'unesomme,estimationdureste...)denombreuxcandidatscommettentdesconfusionsentrelavariableutiliséeetl'indicedesommation.Lejuryrappellequ'ilfautprécisersurquelensemblealieutelleoutelleconvergence. o SériesentièresDanslecalculdurayondeconvergence,ilsemblequel'utilisationabusivedelarègleded'Alembertaitrégressé. Cependanttouteslesméthodespourdéterminerlerayondeconvergencenesontpassues.Quelquescandidatsignorentmêmeladéfinitiondurayondeconvergence ! Certainscandidatsconfondentl'intervalleouvertdeconvergenceetledomainedeconvergenced'unesérieentière.Beaucoupd'entreeuxpensentquelaconvergenceestuniformesurtoutl'intervalleouvertdeconvergence.

12 o IntégrationOnrappelleànouveauquel'étudedel'intégrabilitéd'unefonctionneseréduitpasàétudierlafonctionauvoisinagedesbornesdel'intervalled'intégrationetquelacontinuité(parmorceauxéventuellement)devraêtreconsidérée.Pourbeaucoupdecandidatsl'étudedel'intégrabilitéd'unefonctionsurunintervallequelconquecomme ncetoujourspar:" Ily aunp roblèm een... ».La continuit édelafonctionestcomplètementoccultéeetiln'estpasrared'entendre:" Iln'yapasdeproblèmedonclafonctionestintégrable ». Lesénoncésdesthéorèmesdechangementdevariablessonttoujoursmalconnus. Laform uledeTayloravecrestei ntégrales tmalécriteetse shypothès esd'applicationsontsouventméconnues. EnfinlethéorèmedessommesdeRiemannestinconnudecertainscandidats. o ÉquationsdifférentiellesLaprat iquesurleséquationsdif férentielles linéairesd upremieretdeuxièmeordrees tengénéralconvenable,maisiln'estpastoujourspossibled'avoirunénoncéclairetprécisdesthéorèmesduprogrammesurcepara graphe .Onrencontrecependantdesétudiants désirant àtoutprixutiliseruneéqu ationcaractéristique,mêmesil'équationétudiéen'estpasàcoefficientsconstants. Lerecoursàl'exponentielleoulesméthodesdevariationsdeconstantesnesontpastoujoursdominés.Pourtantcelapeutpermettred'expliciterlessolutionsetpermetd'analyserdespropriétésqualitativesdessolutions. o FonctionsdeplusieursvariablesLejurynotetoujourslaconfusionentrecontinuitéglobaled'uneapplicationetsacontinuitépartielle. Laformuledeladérivationenchaîneestsouventmalassimilée:ilestanormalqueladérivationposeautantdedifficultés. L'étudedesextremu msdesfo nctionsdeplusieursvariab lesrestedél icatepourbiendescandidats:ilsseruentsurl'étudedespointscritiquessanss'assurerdelapertinencedecetteméthodeetsansêtrecapablesdecitercorrectementlemoindrethéorèmesusceptibledelalégitimer. Enfinilpeut-êtreutilededécomposerunefonctiondeplusieursvariablesencomposéedefonctionsplussimples,cequipermetparfoisdetraiterrapidementcertainesquestions. o ProbabilitésLesprobabilitéssont,dansl'ensemble,convenablementmaîtrisées,enparticulierencequiconcernelesvariablesaléatoires. Cependant,pourcequiestdelapartiemodélisationduproblèmeprobabilisteétudié,ilsemblequ'ilyaitundécalageentredeuxcatégoriesdecandidats:ceuxquisontdansunedémarchetemporelleetquiontdumalmettreenplaceleursidéesetceuxquiarriventàgérerglobalementlamodélisationdel'expérienceetquis'ensortentsouventmieux.Lescandidatsnefontpassuffisammentl'effortdedécrirelesévénementsoulessystèmescompletsadaptésàlasituation. Onnotedegrossesdifficultésavecl'analysecombinatoire. o GéométrieLesraresexercicesdegéométrieproposés(conformesàcequirestedansleprogramme)ontjustepermisdeconstaterladisparitiondefaitdetoutepratiquesurlesujet. Pire:pourcertainscandidatslesdroitesduplansonttoujoursreprésentéespardeséquationsdutypey=ax+b. • VocabulairePouréviterunepertedetemps,lejurytolèrel'utilisationdesabréviationsusuellesàl'épreuved'oral.Cependant,écriredesabréviationsnedispensepasdeprononcerlatotalitédesmots.Ainsi,lecandidatqui

13note" CV »devraprononcer" lasérieconverge ». Àcetitre,tropd'étudiantsprennentlamauvaisehabitudedesaupoudrerlalocution" ilfaut »toutaulongdeleurexposé,etconfondentbiensouventconditionnécessaireetconditionsuffisante. • ConclusionL'oralestunexercicedifficileetdifférentdel'écritencequ'ilrévèled'autresqualités.Ilestnaturelquelesperformancesdescandidatsnesoientpasexactementlesmêmesdanslesdeuxtypesd'épreuves.Lesrésultatsdel'oralpeuventbouleverserleclassement,ilestdoncimportantdebiens'ypréparer. Lafaçonlaplusefficacedeseprépareràl'épreuveoraledemathématiquesest: - d'unepart,réviserintelligemmentsoncours,nepasignorerlesexercicesthéoriquesoutechniquesetprendreconnaissanceduprogrammeenvigueur; - d'autrepart,prendreconnaissancedecerapportainsiquedesprécédents. 1.1.2. FilièrePC• IntroductionLeprésentrapportseveutuneaideconstructiveauxfutursadmissiblesdececoncours.Enrépondantàl'exercicequeconstituelarédactiond'unrapportdejury,noussommesbiensûrconscientsderecenseressentiellementdesdéfauts,deserreursoudesréactionsinappropriéesdecertainscandidats ;lecaractèrerécurrentdequelques-unesdecesfautesjustifieàluiseullanécessitéetlalecturedecerapport.Toutcelanenousfaitpasoublierlaproportionnonnégligeabledecandidatsbrillantsetquasimentexemptsdetoutecritique.• Formatdel'oralL'épreuveduregénéralement(etenviron)uneheureavecuneéventuellepréparationquin'excèdepas15minutes.Elleportesuraumoinsdeuxsujetsdistinctspouvanttoucheràtoutpointduprogrammedeseconde,maisaussidepremièreannée.L'examinateurpeutaussidéciderdebasculersurlesecondsujetmêmesilepremierrestenonrésolu,ceafindeménageràladeuxièmepartiedelaplancheuntempssuffisantpouruneévaluationefficace.• Gestiondel'oralCommençonsparquelquesfondamentaux:- ilfauts'approprier(etdonc,comprendre)lesujetetnepaslesimplifierpourleviderdesonsens,- letableaudoits'utiliserdefaçonrationnelle,- onattendducandidatuneapprochestructuréedelaproblématiqueetnonuneapplicationnonréfléchied'unerecetteapproximative,- l'expressiondoitêtreclaireetéviterlestournuresfamilières(lefameuxducoupnotamment...),- lecandidatdoitrespecterlaterminologieusuelle(quepenserdutermegénérald'uneintégrale ?).Levolontarisme,l'initiative,lacapacitéàétablirundialoguesubstantieldemeurentdesqualitésappréciéesetvalorisées,ilenvademêmepourlaréactivitéauxsollicitationsdel'examinateur.Àl'inverse,toutequêteexcessiveouartificielled'indicationspeutêtrejugéesévèrement.

14• Remarquesd'ordremathématiqueo Généralités- Ladifférenceentreconditionnécessaireetsuffisantesembledemoinsenmoinscomprise.- Lescalculs,aussisimples(raressontceuxquinecalculentpassystématiquementundiscriminantpourrésoudreuneéquationbanaleduseconddegréouquines'empêtrentpasdansuncalculdedérivéedeproduitoudequotient )soient -ils,metten tcertainscandidatsdans unembarrasindescriptible.- Latrigonométrieélémentairedevientunesourced'hésitationpourbeaucoup.- Lesnotionsdepolynômeannulateur,dedifféomorphisme,deconvergenceuniforme,denormeséquivalentesetdedoublelimitesont,sansplusd'explicationdelapartducandidat,horsprogramme.- Lavérificationdubien-fondé,del'étudedecertainsobjetsmathématiquesnerelèveplusduréflexe(lacontinuitéd'uneintégrande,l'existenced'unmaximum,d'unebornesupérieure,d'uneespérancemathématiquenesontjustifiéesqu'aprèsdemandeexpressedel'examinateurengénéral).o ProbabilitésEllesconstituenttoujoursunpointduprogrammeassezbienassimilé,deuxpointsrestentfragiles:- ledénombrementqueseulslesmeilleursarriventàcomprendreetàexposeravecclarté,- laconfusionchezlescandidatslesmoinssûrsentreévénementetprobabilité.o Algèbre- L'algèbre(linéaire)depremièreannéeneressembleplusqu'àunvaguesouvenirpourquelquescandidats ;projecteursetsymétriessonttropsouventinterchangeables.- Lescalculsdedéterminantsclassiquesposentdésormaisdesproblèmes.- Lanotiondesous-espacestableparunendomorphismen'estpastoujoursmaitrisée.- Ladéterminationdesélémentsproprespassequasisystématiquementparlecalcul,cequipeutbiensouventêtreévitéetmontre,biensûr,uneanalysepluslucideducontexte.- Lesautomorphismesorthogonauxd'unplaneuclidiensontassezmalcernés.• Analyse- Lesfonctionscirculairesréciproquessubissentlesmêmesoutragesqueleursgénitrices.- Onrappellequelessommesd eRiemann, commetoutel' analysedepremièrean née,sont auprogrammeetpeuventfairel'objetdequestions.- Lecalculintégralélémentairen'estpastoujoursdominéavecaisance.- Lanotiondélicatedumodedeconvergenced'unesuite,d'unesériedefonctionsopère,commeàl'accoutumée,sonrôlediscriminantauprèsdescandidats.Néanmoinstropd'entreeuxnefontpasl'effortdesedemandersil'objetd'étudeestunesuiteouunesériedefonctions.- LarecherchedesolutionsDSEd'uneéquationdifférentiellesetraitesouventsanssoinetn'estquerarementmenéeàterme.• ConclusionTouslesdéfau tsmisenév idenceprécédemment proviennent essentie llementd'uneconnaissanceinsuffisanteouapproximativeducours(ycomprisceluidepremièreannée) ;cederniernepeutserésumeràuncataloguedeméthodesplusoumoinsopérantes.

15Unenouvellefoiscescritiquesnes'adressentbiensûrpasàtouslescandidatsinterrogéscetteannée ;beaucoupd'entreeuxmaîtrisentleprogrammedanssaglobalité,exposentavecclartéetassurance,saventmeneruncalculdeboutenboutsanslamoindreassistance.Notresouhaitestqu'ilssoientencoreplusnombreuxlasessionprochaine,c'estdanscebutquecerapportaétérédigé.1.1.3. FilièrePSI• RemarquesgénéralesL'oraldemathématiquesfilièrePSIsedéroulesuruneduréede45minà1hautableau.Ilestproposéaucandidatobligatoirementdeuxexercices(avecousanspréparationselonl'examinateur)quirecouvrentl'ensembleduprogrammedesdeuxannéesdepréparationPCSIetPSI(algèbre,analyseetprobabilités).Cetoralconsisteenundialogueentrelecandidatetl'examinateur.Lerôledecedernierestdejugerdesconnaissancesetdescapacitésmathématiquesducandidat(réflexion,intuition,miseenformeetprécisiondelarédaction).Afindejugerdelaperformanceducandidat,l'examinateurprendencomptelesélémentssuivants(listenonexhaustive):- lacompréhensionduproblèmeposé,- lesinitiativesprises(cernerlesdifficultés,lesnommer,donnerdesdirectionspourlessurmonter),- lacapacitéd'envisagerdifférentesméthodesetàréfléchiràleursutilisations,- l'organisationdutableau,laqualitédel'expressionorale,laprécisiondulangageetlaconnaissancepréciseducours.Lejurypeutféliciterquelquestrèsbonscandidatsmaîtrisantbienleprogrammeetcapablesd'unegrandeautonomie.Néanmoinsdenombreuxpointsrestentàaméliorer.• Remarquesparticulières.o Tenueglobaledel'épreuve- Letempsdepréparationn'estpastoujoursbienutilisé:peudeproduction,cequin'estpasforcémentpénalisant,maissurtoutpeud'effortspourmobiliserlesconnaissancesrelativesauthèmedel'exercice.- Onobservesouventunenettebaissedelaperformancelorsdupassagedupremieraudeuxièmeexercice.Unepréparationspécifiquedoitêtreenvisagéedansl'annéedepréparationauxconcours.- Quelquescandidatsavancentdesrésultatshorsprogramme(qu'ilsnesaventengénéralpasjustifier),maisnemaîtrisentpasleshypothèsesdesthéorèmesquisont,eux,explicitementauprogramme.Cetteattitudeestlourdementsanctionnée.Ilfautcomprendrequelesexercicessontconçuspourêtrerésolublesàl'aidedesrésultatsduprogrammeofficiel,lesrésoudreàl'aidederésultatsplusgénérauxn'apportepasdepointssupplémentaires.- Ilarrivequedescandidatsdemandentàl'examinateurdevaliderchaqueétapedecalcul,ouchaqueétapeduraisonnement,refusantpresqued'avancersansl'approbationdel'examinateur.Ilfautbiencomprendrequelerôledel'examinateurn'estpasdevalidercesétapes.Silecandidatadesdoutessurlavaliditédesescalculsoudesonraisonnement,illuiappartientd'envérifierlacohérenceetdeprendredurecul.

16- Inversement,lorsquel'examinateurintervient,quecesoitpourdonneruneindicationoudemanderdepréciserunpointdel'exposé,lescandidatsgagneraientàtenircomptedecesremarques.- Afind'améliorerlespointsprécédents,lejuryconseilleauxétudiantsdes'entraînerplusdansl'annéeàchercherdesexercices,pareux-mêmes,etnonenécoutantleurscamaradesouleurprofesseurenfaireunecorrection.o Expressionorale- L'emploiduconditionnelestàéviter.Defaçongénérale,ilfauts'exprimerauprésentetutiliserconvenablementlesconnecteurslogiques(onsupposeque,si...alors,donc,ainsi...).Iln'estpasnécessaired'utiliserunlangagesoutenunimêmeunvocabulairevarié,maisêtreprécisetclairestunattenduévidentdel'oral.- Dansl'espritdupointprécédent,desexpressionscomme"çaconverge","çatendvers","çadonne",doiventêtreremplacéespardesphrasesprécises.- Desexpressionscomme"ducoup","aufinal",nesontpastoujoursappropriées.Lejurysouhaiteraitquelescandidatsneparlentplusde"problèmes"oude"soucis"auxbornesd'uneintégrale.o Calculsetraisonnements- Lescandidatsnedoiventpasrenonceràutiliser,àbonescient,lesquantificateurs.Leurabsenceconduitsouventàdesraisonnementsfaux,ouàuneformulationtropvagued'unproblème,cequinuitàsarésolution.- Touteslesrécurrencesnesontpasimmédiates.Ilestsouventnécessairedepréciserrigoureusementl'hypothèsederécurrence(ycomprisenutilisantdesquantificateurs).Cetypederaisonnementdoitêtreplussoigné.- Onobserveencoredeserreursdecalculaveclespuissances,desconfusionsentrelacompositionetlamultiplicationvoireentrel'additionetlamultiplication.Lestressdel'épreuveexpliquesûrementunegrandepartiedeceserreurs,maisdel'avisdujuryellestraduisentsouventunmanquedepratiqueducalcul.- Lesvaleursabsoluesetlesmodulessontsouventmalmanipulés.Onobservesouventdesinégalitésentrecomplexesetlesrèglesdemajoration(dutypeinégalitétriangulaire)sontmalappliquées.- Leserreursdesignessontnombreuses.Demêmedesprobabilitéssontparfoisannoncéesnégativesoustrictementsupérieuresà1.Ilestsouhaitablequelescandidatss'interrogentsurl'interprétationdeleursrésultats,laplupartdeserreursdecetypepourraientêtredétectées.- Leserreursdecalcullorsdelarecherchedesolutionsdéveloppablesensérieentièred'uneéquationdifférentiellelinéairesontellesaussitrèsnombreuses.Demanièregénéralecetypedecalculesttraitéavecpeudesoinetfinitparprendrebeaucoupdetemps,cequiesttrèspénalisantpourlecandidat.- Rechercherunensemblededéfinitionavantd'étudierunefonctionestsouventunebonneidée.Demêmeencequiconcerneledomainedecontinuitéd'unefonctionquel'onsouhaiteintégrer.Surcespoin tsparticuliers,l'usaged'unvoc abulaireprécis,dequantificateur s,laprécisiondanslaformulationdeshypothèsessontessentiels.- Lejuryapuobservercetteannéequeladémonstrationd'unepropositiondutype"[A=>B]<=>C"posedegrandesdifficultés:lecandidatnesaitpluscequ'ilfautsupposeretcequ'ilfautdémontrer.

17- Larecherchedesracinesd'untrinômecomme3X²-1nenécessitepaslecalculdudiscriminant,surtoutsicelaconduitàdonnerunrésultatnonsimplifiéet/oufaux.o Analyse- L'étudedessuitesrécurrentesdutypeu_{n+1}=f(u_n)estrarementbienmenée.Sil'autonomien'estplusunattendu,ilestimportantdepouvoirsuivrelesindicationsdel'examinateur.Parailleurs,raressontceuxquienvisagentl'utilisationdel'inégalitédesaccroissementsfinislorsdecetteétude(méthodepourtantmiseenavantparleprogramme).- Leserreurssontassezfréquentesdansl'énoncédesformulesdeTaylor,leshypothèsesnesontpastoujourscitées.Leschoixentrelesdifférentesformulesnesontpastoujourstrèspertinents.EnparticulierlelienentreformuledeTaylorYoungetdéveloppementslimitésn'estpastoujoursclairpourlescandidats.- Lescritèresdecomparaisonpourétablirlaconvergenced'unesérieoud'uneintégralegénéraliséenesontpastoujoursbienutilisés,surtouts'agissantdesuitesoufonctionséquivalentes:mentionnerlesigneconstantestessentiel.- Lecritèredessériesalternéesestconnu,lesigneetlamajorationdesrestessontsouventbienprécisés.Enrevanche,cecritèren'estpasuneconditionnécessaireetsuffisante.- Defaçongénérale,l'étudedessériessemi-convergentesquinevérifientpaslecritèreprécédentestassezmalfaite.L'utilisationd'undéveloppementlimitédevraitplussouventêtreenvisagée.- LessériesdeBertrandsonthorsprogramme.Àlaplace,lescandidatsdoiventutiliserlesrelationsdecomparaisons.- Beaucoupdecandidatsoublientd'évoquerl'intervalledecontinuitéd'unefonctionquel'onintègreavantdepasseràl'étudeauxbornes.C'estsouventpénalisantpourlasuite.- Leschangementsdevariablesdansuneintégralesontsouventmalgérés(oublidesbornesoudeshypothèses...).Lesprimitivesusuellessontparfoisméconnues.- Lesthéorè mesrelati fsauxintégralesàparamèt ressontglo balementbienmaîtrisés.Ilarrive cependantquelescandidatsconfondentlecasoùl'onrestreintl'étudeaucasd'unparamètreappartenantàunsegmentavecuneversionoùladominationnesefaitquepourlecasoùlavariabled'intégrationappartientàunsegmentinclusdansl'intervalled'intégration:cettedernièreversionn'estpasvalable.- Parailleu rs,lorsqu'ils'agitdeciterl eshyp othèsesdesthéorèmes deconverg encedominée,l'hypothèseessentielleestladomination.Lesautreshypothèsesdoiventêtrerapidementcitées.Lescandidatsquiprennentdenombreusesminutesàtoutécrireexplicitement,souventpourretarderl'étapeimportante,maisplusdifficilededomination,s'autopénalisent.- Lesdiffér entsmodesdeconvergencessontparf oismélangés:ilc onv ientdedifférencierlesconvergencessimple,uniformeetnormale.Cesdernièresnotionsn'ontparailleursaucunsenslorsqu'ils'agitdesériesnumériques.Enfin,quelquescandidatsmajorentlessommespartiellesdessériesaulieudeleurtermegénéral.- Endehorsdeladéfinitiondurayondeconvergenced'unesérieentièreetdelarègledeD'Alembert,descritèressimplespermettantdeminoreroumajorerlerayondeconvergencesontàconnaître.Nepasconfondrerayondeconvergenceetdisquedeconvergenceestimportant.Lesdomainesdeconvergencenormalenesontpastoujoursbienprécisés.- Attention,enunpointcritiquelafonctionn'atteintpasforcémentunextremum.

18o Algèbre- Lescalculsdanslecorpsdescomplexessontsouventmalmenés.- Ladivisioneuclidiennedepolynômesestsouventmalutilisée,enparticulierleshypothèsesvérifiéesparlerestesontparfoispasséessoussilence.- Lescandidatsdoiventpouvoirdonneruneformuleexpliciteduproduitmatricieldedeuxmatrices,plutôtqu'un" schéma ».- Iln'estpasinutiledesavoirinverserdirectement,lecaséchéant,unematricecarréed'ordre2.- Peudecandidatsconnaissentleshypothèsesnécessairespouraffirmerquelatraced'unematriceestégaleàlasommedesesvaleurspropres(comptéesavecmultiplicité)etsondéterminantestégalàleurproduit(avecmultiplicitéaussi).Secontenterducascomplexen'estpassatisfaisant.- Lesconditionsnécessairesetsuffisantespourqu'unematricesoitdiagonalisablenesontpastoujoursbienconnues(confusionentreconditionsuffisanteetCNSenparticulier).Lescaractérisationsàl'aidedepolynômesannulateurssontrarementcitées.Lescandidatspeinentaussiàchoisiruneméthodeadaptéeauproblèmeposé.- Lacaractérisationmatricielledesendomorphismessymétriquesestmalmaîtrisée.- Plusgénéralement,lescandidatssemblentavoirbienplusdedifficultésaveclesendomorphismesqu'aveclesmatricescarrées;enparticulierlanotionderestrictionàunsous-espacestablen'estpastoujoursbiencomprise.- Lorsqu'uncandidatindiquequel'indicedenilpotenced'unematriced'ordrenestmajoréparn,ilestindispensablequ'ilenconnaisseunedémonstration(simple).o GéométrieMêmesicettepartieestréduite,rappelonsqu'ilsubsistel'étudedescourbesparamétréesduplan(globaleetlocale)ainsiquequelquesnotionssurlessurfaces,voirelescourbestracéessurunesurface.o ProbabilitésOnobservedesprogrès.Néanmoinsdesaméliorationssontattendues:- Plusieurscandidatsconfondentévénementsetprobabilités,événementsetvariablesaléatoires.Cesconfusionssontlourdementsanctionnées.- Ilfa utjustifierlesc alculs:ar gumentd'indépendanceouformuledesprobabilitéscomposées,argumentd'incompatibilité,utilisationdelaformuledesprobabilitéstotalesenprécisantlesystèmecompletd'événementsassocié...demêmedirequ'unevariableestbinomialeougéométriquesanspouvoirlejustifierestsanctionné.- Unraisonnementrigoureux,avecéventuellementl'usagedequantificateurs,estsouventnécessairepourétablirl'égalitédedeuxévénements(particulièrementpourécrireunévénementcommeréunionoucommeintersectiond'autresévénements).- Iles tindispensabledesavoirréaliserdesd énombreme ntssimples.Lesliste s,arrangements,permutations,combinaisonsdoiventêtrereconnusdirectement.Dansdenombreusessituations,souventélémentaires,citerl'équiprobabilitéetutiliserundénombrementsimpleestlafaçonlaplusefficacedecalculeruneprobabilité.• ConclusionLejury,quiaappréciélaprestationdequelquescandidatsbrillantsetlabonnequalitéglobaledelaformationdebeaucoupd'étudiantsen2017,espèrequelesfutursadmissiblessauronttirerprofitdecerapport.

191.2. Épreuvesécrites1.2.1. MathématiquesI - MP• RemarquesgénéralesLesujetportaitsurplusieurspartiesduprogrammedesclassespréparatoiresMPSIetMP,ledébutétaitparticulièrementsimpleetclassique,cequiapermisdebienclasserl'ensembledescandidats.Quelquesquestionsdetopologie,redoutablespourlecandidatmoyen,ontpermisauxmeilleursdefaireladifférence.Lescorrecteursontnotéunedégradationdanslaprésentationdescopies.Certes,ils'agitd'uneépreuvedetroisheuresetpourterminerleproblèmeilfautêtretrèsrapide,onpeutdoncadmettrequelquesratures,maisdanscertainscasilestclairquelebrouillon,pourtantfourniparleconcours,n'apasétéutilisé.Lescandidatsdoiventêtreconscientsquesiuncorrecteurn'arrivepasàlirelaréponseàunequestion,ilmettrazéro,onn'attribuepasdepointsaubénéficedudoute.• RemarquesparticulièresLaquestion1,quiconsistaitàdémontrerquedeuxsous-ensemblesétaientdessous-espacesvectoriels,aétégénéralementtrèstraitée,quoiquedemanièreplusoumoinsprécise,avecl'oubliclassiquedelaconditionnonvidedansquelquescopies.Laquestionsuivanteaétébeaucoupmoinsbienréussie.Uneproportionnonnégligeabledecandidatsoubliaientdepréciserque)(txsin

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,quin'étaitpasdemandée,pourrépondreàlaquestion4.Nousconseillonsauxfuturscandidatsdesuivrel'énoncéplutôtqued'utiliserleurmémoire.Àlaquestion5ladécroissancestricten'étaitpratiquementjamaisbientraitée,l'hypothèsedecontinuitédesfonctionsintégréesétantpresquetoujoursoubliée.Rappelonsquel'intégrationd'uneinégalité,mêmestricte,nedonnequ'uneinégalitélarge.Ontrou vaitensuitedesquestions detopologie,commeto ujoursdésta bilisantespourdenombreuxcandidats.Parexempleàlaquestion6,ils'agitdedémontrerlacontinuitéd'uneapplicationdontonvientdemontrerlalinéarité,ilestdoncassezmaladroitdepartirdeladéfinitiongénéraledelacontinuité.Laquestion7,audemeurantplusdifficile,aétémassivementsautée.Laquestion8étaitmieuxréussie,maisilyavaitquelquefoisdesomissionsdansladéfinitiond'unenormeoudesimprécisionsdansleurdémonstration,commel'oublidumodule.Laquestion7étaitouverte,cequin'apasempêchéuncertainnombredecandidatsdeconjectureruneréponsenégativeetdel'utiliserpourenconclurequelesnormesM

etN C

sansaucunsuccèsbiensûr.Onpourraitespérerqu'aprèsdeuxvoiretroisannéesdeclassepréparatoire,lapratiqued'unvraiproblème,quineserésumepasàunecompilationd'exercices,soitmieuxmaitrisée.Laquestion12quiétaitplusdélicated'unpointdevuetopologique,n'aétébientraitéequedanslestrèsbonnescopies.Laquestionsuivanteamisenévidencelemanqued'intérêtdesgénérationsactuellespourlescalculs,puisqu'ellen'aétéabordéequedanstrèspeudecopiesetpresquejamaismenéeàsonterme,cequiacomplètementneutralisél'interventionhorsprogrammedelafonctionargsh.Laquestiondeparitéétaitassezsimpledansunsens,parcontrelaréciproquenécessitaitlerésultatdelaquestion12,toutcommelaquestion15.Laquestion16aencoreétéabordéeparunnombresignificatifdecandidats,cequimontrequeleproblèmeétaitdelongueurraisonnable,onpeutàsonproposfaireunemiseengarde:laréponseàunequestionouverten'estpastoujoursnon,celamarchaitpourlaquestion7,paspourlaquestion16.Lestrois dernièresquestio nsontététrèspeuabordées, saufparquelquesrarescandi datsquiont pratiquementterminéleproblème.Enrésumé,onpeutconseillerauxfuturscandidatsdenepasfaireimpassesurlatopologie,travaillerlestechniquesdecalculets'entraîneràtraiterunproblèmedanssaglobalitéplutôtquedelevoircommeunesuccessiond'exercices.1.2.2. MathématiquesII - MP• RemarquesgénéralesLesujetdecetteannéeavaitpourobjetd'établirlerésultatsuivant:legroupeorthogonalest" leplusgros »sous-groupecompactdugroupedesmatricesinversibles,encesensquetoutsous-groupecompactquilecontientluiestégal.Bienqu'utilisantprincipalementlecoursd'algèbrelinéaire,ilcomportaitaussiplusieursquestionsdetopologie,cequipermettaitauxcandidatsd'exposerplusieursfacettesdeleurstalentsaufildes22questionsdeceproblème.Deparsonamplitude,l'étalementdesnotesdel'épreuvemontrequecelle-ciabienjouésonrôle,lestoutmeilleurscandidatsétantparvenusàtraiterlatotalitédusujetquasimentsansfaute.Ungrandnombred'entreeuxontabordéplusieursquestionsdemanièrefructueuse,cequileurapermisd'obtenirunenotetoutàfaithonorable.• Remarquesparticulières.Forceestdeconstaterquelaprésentationd'ungrandnombredecopiesesttoutàfaitinsuffisante.Qu'ilyaitdetempsentempsdesraturesc'estcompréhensible,c'estlamarqued'unedémarchedel'espritenévolutionconstanteaucoursdelarédaction;maiscertainescomportentdenombreuxpassagesbarrésoudesinsertionsminusculesquicompliquentlalecture.Lesrésultatsnesontpastoujoursmisenvaleur,et

21d'ailleursleraisonnements'arrêtesouventnet,laissantaucorrecteurlesoindeconclurequelecandidatabienréponduàlaquestion-cequiduresten'estpastoujourslecas.Etsurtout,ungrandnombredecopiessontdessuccessionsdecalculsavecunerédactionréduiteauminimum,alorsqu'ilestsouventnécessaired'expliquerlaméthodeemployée,deciterlethéorèmeappliquéoudejustifierl'étapesuivanteducalcul.Q1.Ils'agissaitdeprouverqu'unematricesymétriqueestdéfiniepositivesietseulementsitoutessesvaleurspropressontstrictementpositives.Sil'onpouvaitselimiteràconsidérerunvecteurpropreparvaleurproprepourprouverquecetteconditionestnécessaire,onnepouvaitéviterderecourirauthéorèmespectral(etnonspectrale)pourétablirsasuffisance,carengénéralunvecteurnonnuln'estpasforcémentpropre.Enoutreilconvientderappelerquecethéorèmeaffirmeladiagonalisabilitédetoutematricesymétriquedansunebase orthonormée,sa nsquoilecal culdeXTAXétaitimpossib leoufaux.Lesraisonnementsdanscettequestionontsouffertdenombreusesapproximations:onprendlevecteurproprepourlavaleurproprel,onoubliedepréciserqueXestnonnul,oumêmequ'ilestpropre;onaffirmequePTXestnonnulparcequeXestnonnul,ouonjustifiecefaitparlanon-nullitédeP;d'autressontrestésinachevés:biendescandidatsontdéduitsansplusdeprécisionsdufaitquel!y!#$!%&eststrictementpositifpourtout(y1,...,yn)nonnulquetousleslisontstrictementpositifs.Certainscandidatsutilisentsansjustificationl'assertionsuivantlaquelle'()''('estcomprisentrelapluspetitevaleurpropredelamatriceAetlaplusgrandelorsqueAestsymétrique.Nousmettonségalementengardelescandidatsquisubstituentdirectementauxvecteurspropreslabasecanoniquesansrecoursàunematricedepassage:lefaitderaisonnersurlesmatricesetnonsurlesvecteursnepermetpasunetelleassimilation.Q2.Encoreunefois,l 'emploi duthéorèmespectra ls'imposait,ainsiquel er ecoursaurésultatdela question1,lefaitquelesvaleurspropressontstrictementpositivespermettantd'enprendrelaracinecarrée.Ungrandnombredecandidatsontpenséàceraisonnementclassique,maisilfallaitencorejustifierquelamatriceRobtenueestbieninversible.Laréciproqueétaitaisée,àconditiondenepasoublierencoreunefoisdespécifierqueXTRTRXeststrictementpositifquandXestnonnul...etdenepasoublierdevérifierqueRTRestsymétrique.Q3.C'estlemêmeoubliquis'estavéréleplusfréquentdanscettequestion,quiaégalementsouffertdelalégèretédesraisonnementsconcernantleparamètrelde[0,1].AffirmerquepourtoutlÎ[0,1]onal>0et1-l>0nepeutquecoûterdespoints.Heureusementlamajoritédescandidatsontprissoindedistinguerlescasl=0,0

22Q5.Danscettequestion,onétablissaitqu'unendomorphismequiconservel'orthogonalitéestlacomposéed'unehomothétieetd'unendomorphismeorthogonal.Trèspeudecandidatsontpenséàtraiterd'abordlecastrivialn=1quin'entrepasdanslasituationdécriteparl'énoncé.Silaplupartontréussiàdéduiredel'indicationqueg(e1)...,g(en)ontmêmenorme,certainsontoubliédevérifierqu'ilssontdeuxàdeuxorthogonauxavantdecalculer(g(x))2.D'autresontomislecarrédelanorme,soitdanslecalculde(g(e1)+g(ei),g(e1)-g(ei)),soitmêmeenécrivantg(x)=g(x!)$!%&.Enfin,terminerlaquestionenécrivant" Soienthl'homothétiederapportketuunautomorphismeorthogonal,alorsg=h◦u »netientpascomptedufaitqueudépendnécessairementdeg,plusprécisémentestégaleà&5goùkestlavaleurcommunedes||ei||;ilnefallaitpasnonplusoublierdetraiteràpartlecask=0.Q6.UngrandnombredecandidatssesontdonnéinutilementdelapeineenredémontrantqueO$(ℝ)estungroupe,alorsquec'étaitspécifiéparlaquestion;desurcroît,certainsnel'ontpasfaitcorrectement,notammentenoubliantlastabilitéparl'inverse,sansparlerdeceuxquionttentédeprouverquelacombinaisonlinéairededeuxmatricesorthogonalesestorthogonale!Ilyavaitenfaitdeuxpointsàétablir:l'inclusiondeO$(ℝ)dansGL$(ℝ),quiestimmédiate,etsurtoutsoncaractèrecompact.Alors,disons-letoutnet:non,O$(ℝ)n'estpasl'ensembledesmatricesdedéterminant+1ou-1,pasplusquecen'estl'ensembledesmatricesAtellesquelatracedeATAestégaleàn.Non,l'imageréciproqued'uncompactparuneapplicationcontinuen'estpastoujoursuncompact,commelemontrel'exemplesimpledelafonctionnullesurℝ,pasplusquel'imaged'unferméparuneapplicationcontinuen'esttoujoursunfermé,commelemontrel'exemplesimpledel'imagedeℝparlafonctionexponentielle.Enoutre,ilestdebontondeprouverqueO$(ℝ)estfermépourlanormeproposéeparl'énoncé,etnonpourquelqueautrenorme,bienqu'onpuisserattraperlecoupeninvoquantl'équivalencedesnormes.Enfin,lecaractèrefermérésultefacilementdufaitqueO$(ℝ)estl'imageréciproquedeInparl'applicationbilinéaire(oupolynomiale)quiàlamatriceAassocieATA,cequ'heureusementungrandnombredecandidatsontexposécorrectement.Q7.Ilfallaitmontrerqu'unesuitedontlesélémentssontdistantslesunsdesautresd'aumoinsunemêmeconstanten'admetaucunesuiteextraiteconvergente.SicertainscandidatsontinvoquélanotionhorsprogrammedesuitedeCauchy,d'autresontdirectementdéfiniunesuiteconvergenteparlapropriété||xn-xp||

23franchirici:écritureducontrairedel'assertiondemandée,constructiond'unesuitedeboulesderayonstendantvers0,extractiond'unesuiteconvergente,appartenancedelalimiteàl'undesouverts,obtentiondelacontradiction,étaienttoutesrémunérées.Ladeuxièmepartiedelaquestionaétéplusoumoinsbientraitée,maiscertainscandidatsontfaituneffortlouablederigueur,lesunsayantprisunélémentdeKdanschaquebouledéfiniedanslapremièrepartie,lesautresayantfaitremarquerquelesélémentsx1,...,xpdéfinisdansladémonstrationdelaquestion8appartiennentenréalitéàK.Q10.Cettequestionn'apas étésouventtrai téecorrec tement,al orsqu'ilsuffi saitdeprendreles complémentairesdesferméspourserameneràlaquestionprécédente.Notonsquecertainscandidatsontprocédéenraisonnantparl'absurdeetenchoisissantunélémentdechaqueintersectiondesnpremiersfermésconsidérés:alorscettesuiteadmetunevaleurd'adhérencequiappartientàtouslesfermésd'unesuitedefermésFi.To utefois,ceraisonnementne permetde conclurequequ andlafam ille(Fi)iÎIestdénombrable,cequin'estpasnécessairementlecas,enparticulierdanslasituationoùlerésultatdelaquestion10estemployé.Q11.Quasimenttouslescandidatsonttraitécettequestion,maisgénéralementsansbeaucoupdesuccès.Beaucoupsesontcontentésd'invoquerlacompacitédeKpourjustifierl'existencedeNG,cequinepouvaitévidemmentsuffire.Certes,unedifficultérésidaitdanslefaitqu'aucunenormen'étaitdéfiniesurGL(E),cequirendaitmalaiséeladémonstrationducaractèrebiendéfinideNG.Toutefois,touteslesnormessurunespacevectorieldedimensionfinieétantéquivalentes,onpouvaitprocéderdemanièredétournéeenconsidérantl'applicationjquiàuassocieu(x):étantlinéaireendimensionfinie,cetteapplicationestcontinue,etdecefaitl'imageparjducompactKdeGL(E)estuncompactdeE,surlequellanormeestparconséquentbornée.Parcontre,celan'avaitaucunsensdequotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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