[PDF] Épreuve de Mathématiques 2 Exercice 1 (Petites mines 2009

View - Download Épreuve de Mathématiques 2 Exercice 1 (Petites mines 2009

Previous PDF

Next PDF

Lycée La Prat"s Vendredi 1er octobre 2010

Classe de PT

Épreuve de Mathématiques 2

Durée 4 hL"usage des calculatrices est interdit. Exercice 1 (Petites mines, 2009, épreuve commune, partiel)

Dans tout ce problème, on noterashla fonction sinus hyperbolique,chla fonction cosinus hyperbolique et

thla fonction tangente hyperbolique.

A. Etude d"une fonction

Soitfla fonction définie surRparf(x) =xsh1x

1)Etudier la parité def.

2) a) Rappeler un équivalent de la fonctionshen0et en déduire les limites defen+1et en1. b)Déterminer la limite defen0.

3)Justifier quefest dérivable surRet que pour toutx2R,

f

0(x) =

th1x 1x ch1x

4)Montrer que, pour toutX2R+,th(X)< X.

5)En déduire le tableau de variations def.

6)Donner le développement limité à l"ordre4en0de la fonctionX7!shXX

7)En déduire qu"au voisinage de+1et de1,fadmet un développement de la forme

f(x) =a0+a1x +a2x 2+a3x 3+a4x 4+o1x 4 oùa0;:::;a4sont cinq réels que l"on précisera.

8)Montrer que la fonctionx2R7!f(1x

)2Rse prolonge surRen une fonction continue notéeF, puis prouver queFest dérivable surR.

B. Etude d"une suite

1)Montrer que pourn2N, l"équation

f(x) =n+ 1n admet une unique solution dansR+. On la noteun. On définit ainsi une suite(un)que l"on va étudier dans les questions qui suivent.

2)Montrer que la suite(un)est croissante.

3)Montrer que la suite(un)tend vers+1quandntend vers+1.

4)En utilisant la question A.7., déterminer un équivalent deunquandntend vers+1.

1 DST2Exercice 2 (E3A 2007, PC, partiel, et EMLyon 2009)

Dans tout le problème, on désigne par

fla fonction définie surRparf(x) =( xe x1six6= 0

1six= 0

tla fonction définie surRpart(x) =(

1thx1x

six6= 0

0six= 0

On note(C)la courbe représentative defdans un repère(O;!{ ;!|)orthonormé du plan.

A. Étude de la fonctionf

1)Étude defen0.

a)Donner le développement limité à l"ordre2en0de la fonctionx7!xe x1.

b)Peut-on déduire du développement limité du a), sans nouveaux calculs, que : (justifier avec soin)

fest continue en0? fest dérivable en0et la valeur def0(0)? fest deux fois dérivable en0et la valeur def00(0)? c)Montrer quefest de classeC1surR. d)Donner une équation de la tangenteTà(C)au point d"abscisse0et préciser la position de(C) par rapport àTau voisinage de0.

2)Variations def.

On considère la fonction définie surRparg(x) =xexex+ 1. a)Dresser le tableau de variations complet deget donner le signe deg. b)Donner les variations def. c)Donner les limites defen+1et1et préciser la nature des branches infinies de(C): montrer en particulier que(C)possède deux asymptotes et préciser la position de(C)par rapport à ses asymptotes. d)Donner l"allure de(C)(faire apparaître les asymptotes etT).

3)Expression hyperbolique def.

a)Montrer que8x2R,f(x) =x2

1th(x=2)1

b)Soit la fonctionf1définie surRpar :f1(x) =f(x)1 +x2 i.

Mon trerque 8x2Rf1(x) =x2

tx2 ii.

Mon trerque f1est une fonction paire.

iii. Quelle propriété géométrique p eut-onen déduire p our(C)? B. Étude d"une suite récurrente associée à la fonctionf. On considère la suite(un)définie paru0= 1et, pour toutn2N,un+1=f(un).

1)Montrer quefadmet un point fixe et un seul, noté, que l"on calculera.

2) a) Établir :8x2[0;+1[,e2x2xex1>0. b)Montrer :8x2]0;+1[,f0(x) +12 >0. c)Montrer :8x2[0;+1[,12

6f0(x)<0.

d)Établir :8n2N,jun+1j612 junj.

3)En déduire8n2N,junj612

nj1j.

4)En déduire que(un)converge vers une limite que l"on précisera.

2 DST2Exercice 3 (Agro 2009, concours A, problème II) Pour toute fonctionf: [0;1]!Rcontinue et toutn2N, nous noteronsSn(f) =1n n1X k=0fkn

Quelle est la limite de la suite

Sn(f)? (Aucune démonstration n"est attendue.)

1)

Application

Considérons la suite(un)définie par8n2N; un=n1X k=01k+n et la suite(vn)définie par8n2N; vn=2n1X k=n12k+ 1 a)Démontrer que la suite(un)est convergente et préciser sa limite. b)Démontrer que8n2N; vn+12 un=u2n. c)Démontrer alors que la suite(vn)converge vers12 ln2. 2) Dév eloppementasymptotique d"une somme de Riemann Dans cette partie,fdésigne une fonction de classeC1sur le segment[0;1], à valeurs réelles. a)Justifier l"existence d"un nombre réelMtel que8x2[0;1];jf(3)(x)j6M. b)Soientn2N,k2[[0;n1]]ett2hkn ;k+ 1n i i.

À l"aide de la form ulede T aylor-Lagrangeappliquée à la fonction fde classeC3sur l"intervalle

[k=n;t], démontrer que f(t)fkn tkn f0kn 12 tkn

2f00kn

6M6 tkn 3 ii.

Soit q2N. Quelle est la primitive surRdet7!

tkn qqui s"annule enkn iii.

P arin tégrationen tre

kn etk+ 1n , démontrer que

Z(k+1)=n

k=n f(t)dt 1n fkn

12n2f0kn

16n3f00kn

6M24n4

c)Soitn2N. En additionnant les inégalités obtenues à la question 2) b) iii, démontrer que

Z1 0 f(t)dt

Sn(f)12nSn(f0)16n2Sn(f00)6M24n3

d)Définissons la suite("n)par

8n2N; "n=n2

S n(f) +12nSn(f0) +16n2Sn(f00)Z 1 0 f(t)dt

Démontrer que la suite("n)converge vers0et que

8n2N; Sn(f) =Z

1 0 f(t)dt12nSn(f0)16n2Sn(f00) +"nn 2 e)Justifier l"existence de deux suites("0n)et("00n)de limite nulle telles que

8n2N; Sn(f0) =Z

1 0 f0(t)dt12nSn(f00) +"0nn et

8n2N; Sn(f00) =Z

1 0 f00(t)dt+"00n: 3 DST2f)En déduire l"existence d"une suite(n)de limite nulle telle que

8n2N; Sn(f) =Z

1 0 f(t)dt12nZ 1 0 f0(t)dt+112n2Z 1 0 f00(t)dt+nn 2

Nous venons ainsi de démontrer que

S n(f) =Z 1 0 f(t)dt12nZ 1 0 f0(t)dt+112n2Z 1 0 f00(t)dt+o1n 2 3)

Application

Les suites(un)et(vn)ont été définies à la question 1. a)Démontrer qu"il existe une suite(n)de limite nulle telle que

8n2N; un= ln2 +14n+116n2+nn

2 b)En déduire un équivalent simple deunln2lorsquentend vers+1. c)Démontrer quevn12 ln2 164n2

FIN DE L"ÉPREUVE

4quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] objet technique de la lignée des automobiles

[PDF] mines telecom resultats

[PDF] famille d'objet exemple

[PDF] resultat mines telecom

[PDF] exemple test de positionnement greta

[PDF] mines resultats

[PDF] liste officielle des manuels scolaires au cameroun 2017 2018 pdf

[PDF] liste des manuels scolaires 2018 au cameroun

[PDF] liste officielle des manuels scolaires 2017-2018 au cameroun

[PDF] liste des livres au programme au cameroun

[PDF] liste des manuels scolaires 2017 2018 au cameroun pdf

[PDF] minesec liste des manuels scolaires 2017-2018

[PDF] liste des manuels scolaires au cameroun 2017/2018

[PDF] programme officiel de l'enseignement technique au cameroun

[PDF] programme officiel de l'enseignement secondaire au cameroun