[PDF] Baccalauréat ES Index des exercices avec des fonctions de 2013 à

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?Baccalauréat ES? Index des exercices avec des fonctions de 2013 à 2016

Tapuscrit : GUILLAUMESEGUIN

NoLieu et date"Xcas»lect graph.explnTVIconvexeintegraleval moydivers 1

2Antilles juin 2016×××××

3Asie 2016××××qcm

4Pondichery avril 2016××fct annexe

5Liban 2016×××applic eco

6Polynésie juin 2016×pb ouvert

7Métropolejuin 2016××××

8Centres etrangers 2016×××apllicat

9Ameriquedu nord 2016×××applic éco

10Amériquedu sud nov 2015×××

11NouvelleCalédonie nov 2015×××

12Antilles sept 2015×××aires

13Métropolesept 2015 ex4×tangente

14Métropolesept 2015××××

15Polynésie sept 2015 ex4××××××

16Polynésie sept 2015××Gini + %

17Asie 2015 ex4××

18Asie 2015××××

19Métropole2015 ex4×position tgte

21NouvelleCalédonie mars 2015×××

22NouvelleCalédonie mars 2015×××algo

23NouvelleCalédonie nov 2014 ex4×××algo

24NouvelleCalédonie nov 2014×××

25Amériquedu sud nov 2014××××

26Métropolesept 2014 ex4××××

27Métropolesept 2014××graphe def??

28Antilles sept 2014××confiance, deg4

29Pondichery 2014××××

30Polynésie juin 2014×××

31Polynésie juin 2014×coût marg

32Métropolejuin 2014×××××

33Liban 2014×××

34Centres Etrangers 2014×××Gini

35Asie 2014×××

36Antilles juin 2014×××inéq 2nd deg

37Amériquedu Nord 2014×××

38NouvelleCalédonie mars 2014×××algo

39Amériquedu sud nov 2013×××××aire 2 courbes

40Antilles sept 2013××

41Calédonie nov 2013××

42Métropolesept 2013××××

43Polynésie sept 2013×% + loi normale

44Ameriquedu Nord mai 2013×××système

45Asie juin 2013××××

46Liban mai 2013××

47Métropoledévoilé juin 2013××××

48Métropolejuin 2013×fonct poly

49Métropolejuin 2013××

50Pondichery avril 2013×××loi normale

51Centres Etrangers juin 2013×××

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

1. Antillesjuin 2016

Commun à tousles candidats

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d"une fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle [0; 6].

ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2; 0) et le point C a pour coordonnées (4; 0).

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,50

-0,5 -1,00,5

1,01,52,02,50 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,000,51,01,52,02,53,0

????CBA D

Partie A

Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d"une lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement l"inéquationf(x)>0.

2. Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonctionfsur

l"intervalle [0; 6].

3. Quel semble être le signe def?(x) sur l"intervalle [2; 6]? Justifier.

4. Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d"inflexion?

5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de?

4 1 f(x)dx.

Partie B

La fonctionfest la fonction définie sur l"intervalle [0; 6] par f(x)=(10x-5)e-x.

Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) :

f ?(x)=(-10x+15)e-xetf??(x)=(10x-25)e-x.

1. Dresser le tableau de variation defen précisant la valeur de l"extremum et les valeurs aux bornes de l"en-

semble de définition.

2. Étudier la convexité defsur l"intervalle [0; 6].

3. Montrer que la fonctionFdéfinie sur l"intervalle [0; 6] par

F(x)=(-10x-5)e-xest une primitive defsur l"intervalle [0; 6].

4. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de?

4 2 f(x)dx.

5. On souhaiterait que l"aire du rectangle ABCD soit égale à l"aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à

0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle.

retour au tableau bac-fonctions-ES-obl2Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

Asie 2016

2. Asie2016

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentativeCfd"une fonctionfdéfinie et dérivable

sur l"intervalle [-1 ; 5].

On notef?la fonction dérivée def.

La courbeCfpasse par le pointA(0; 1) et par le pointBd"abscisse 1.

La tangenteT0à la courbe au pointApasse par le pointC(2; 3) et la tangenteT1au pointBest parallèle à l"axe

des abscisses.

1 2 3 4 5-10,5

1,01,52,02,53,0

A? B? C T 0 T 1 C f

PARTIEA

Dansce questionnaireà choixmultiples,aucunejustificationn"estdemandée. Pour chacunedes question,uneseule

des réponses proposées est correcte.

Une bonne réponse rapporte0,75point.

Une mauvaise réponse ou l"absence de réponse n"enlève ni ne rapporte aucun point. Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La valeur exacte def?(1) est :

a.0b.1c.1,6d.autre réponse

2. La valeur exacte def?(0) est :

a.0b.1c.1,6d.autre réponse

3. La valeur exacte def(1) est :

a.0b.1c.1,6d.autre réponse

4. Un encadrement de

?2

0f(x) dxpar des entiers naturels successifs est :

a.3??2

0f(x) dx?4b.2??2

0f(x) dx?3

c.1??2

0f(x) dx?2d.autre réponse

bac-fonctions-ES-obl3Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

PARTIEB

1. On admet que la fonctionFdéfinie sur[-1 ; 5]parF(x)=-(x2+4x+5)e-xest une primitive de la fonction

f. (a) En déduire l"expression def(x) sur[-1 ; 5].

(b) Calculer, en unités d"aire, la valeur exacte de l"aire dudomaine du plan limité par la courbeCf, l"axe

des abscisses et les droites d"équationsx=0 etx=2.

2. Montrer que sur l"intervalle

[-1 ; 5], l"équationf(x)=1 admet au moins une solution. retour au tableau bac-fonctions-ES-obl4Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

3. Pondichery 2016

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B etC.

L"entrepriseBBE (Bio Bois Énergie)fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des

poêles chez des particuliers ou dans des collectivités. L"entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

•Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonctionCdéfinie sur l"intervalle [1; 15] par :

C(x)=0,3x2-x+e-x+5

oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes etC(x) le coût de fabrication quotidien correspondant en

centaines d"euros. •Dans l"entrepriseBBEle prix de vente d"une tonne de granulés de bois est de 300 euros.

La recette quotidienne de l"entreprise est donc donnée par la fonctionRdéfinie sur l"intervalle [1; 15] par :

R(x)=3x

oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes etR(x) la recette quotidienne correspondante en centaines

d"euros.

•On définit parD(x) le résultat net quotidien de l"entreprise en centaines d"euros, c"est-à-dire la différence

entre la recetteR(x) et le coûtC(x), oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Étudegraphique

Sur le graphique situé en annexe (page

6), on donneCetΔles représentations graphiques respectives des fonc-

tionsCetRdans un repère d"origine O.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l"aide du graphique, et avec la précision permise par

celui-ci. Aucune justification n"est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l"entreprise est minimal.

2. (a) Déterminer les valeursC(6) etR(6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidienen euros

dégagé par l"entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriquéset vendus.

(b) Déterminerles quantitéspossibles de granulésen tonnesque l"entreprise doit produire etvendrequo-

tidiennement pour dégager un résultat net positif, c"est-à-dire un bénéfice.

Partie B : Étuded"une fonction

On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle [1; 15] par : g(x)=-0,6x+4+e-x+5

On admet que la fonctiongest dérivable sur l"intervalle [1; 15] et on noteg?sa fonction dérivée.

1. (a) Calculerg?(x) pour tout réelxde l"intervalle [1; 15].

(b) En déduire que la fonctiongest décroissante sur l"intervalle [1; 15].

2. (a) Dresser le tableau de variation de la fonctiongsur l"intervalle [1; 15], en précisant les valeursg(1) et

g(15) arrondies à l"unité.

(b) Le tableau de variation permet d"affirmer que l"équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur

l"intervalle [1; 15]. Donner une valeur approchée deαà 0,1 près. bac-fonctions-ES-obl5Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

(c) Déduire des questions précédentes le tableau de signe deg(x) sur l"intervalle [1; 15].

Partie C : Application économique

1. Démontrer que pour tout réelxde l"intervalle [1; 15], on a :

D(x)=-0,3x2+4x-e-x+5

2. On admet que la fonctionDest dérivable sur l"intervalle [1; 15] et on noteD?sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réelxde l"intervalle [1; 15], on aD?(x)=g(x), oùgest la fonction étudiée dans la

partie B.

3. En déduire les variations de la fonctionDsur l"intervalle [1; 15].

4. (a) Pour quelle quantité de granulés l"entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal?

On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près. (b) Calculer alors le bénéfice maximal à l"euro près.

ANNEXE

N"estpas à rendre avecla copie

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1402468101214161820222426283032343638404244464850520 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15024681012141618202224262830323436384042444648505254

C retour au tableau bac-fonctions-ES-obl6Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

4. Liban mai 2016

Soitfla fonction définie sur l"intervalle [3; 13] par : f(x)=-2x+20-e-2x+10.

Partie A : Étudede la fonctionf

1. Montrer que la fonction dérivéef?, de la fonctionf, définie pour toutxde l"intervalle [3; 13], a pour expres-

sion : f ?(x)=2?-1+e-2x+10?.

2. (a) Résoudre dans l"intervalle [3; 13] l"inéquation :f?(x)?0.

(b) En déduire le signe def?(x) sur l"intervalle [3; 13] et dresser le tableau de variations defsur cet inter-

valle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à10-3. (c) Calculer l"intégrale? 13 3 f(x)dx. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 -3près.

Partie B : Application

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300

et 1300. On suppose que toute la production est commercialisée.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d"euros, réalisé pour la production et la vente dexcentaines de tobog-

gans est modélisé sur l"intervalle [3; 13] par la fonctionf. En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le nombre de toboggans que l"usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner

ce bénéfice, arrondi à l"euro.

2. Calculer le bénéficemoyen pouruneproductionmensuelle comprise entre300 et1300 toboggans. Arrondir

le résultat à l"euro.

Partie C : Rentabilité

Pour être rentable, l"usine doit avoir un bénéfice positif. Déterminerle nombreminimum etle nombremaximum detoboggansque l"usine doit fabriquerenunmois pour qu"elle soit rentable. Justifier la réponse. retour au tableau bac-fonctions-ES-obl7Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

5. Polynésie juin 2016

Un publicitaire envisage la pose d"un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de

cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0; 10] par :

f(x)=4e-0,4x. Cette courbeCfest tracée ci-dessous dans un repère d"origine O :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345

y(en mètres) x(en mètres)C f AD C B

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à

l"origine du repère, le point B est sur l"axe des abscisses, le point D est sur l"axe des ordonnées et le point C est sur

la courbeCf.

1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscissex=2.

Montrer qu"une valeur approchée de l"aire du panneau publicitaire est 3,6 m2.

2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l"énoncé, quelles sont les dimen-

sions de celui dont l"aire est la plus grande possible? On donnera les dimensions d"un tel panneau au centimètre près. retour au tableau bac-fonctions-ES-obl8Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

6. Métropole juin 2016

La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonctionfdéfinie et dérivable sur [0,5 ; 6].

Les points A(1; 3) et B d"abscisse 1,5 sont sur la courbe (C).

Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente

au point B est horizontale.

On notef?la fonction dérivée def.

1 2 3 4 5 6

-1 -21

23450 1 2 3 4 5 6012345

A? B (C)

Les parties A et B sont indépendantes.

PARTIEA: ÉTUDE GRAPHIQUE

1. Déterminerf?(1,5).

2. Latangenteàlacourbe(C)passantparApasse parlepointdecoordonnées(0 ;2). Détermineruneéquation

de cette tangente.

3. Donner un encadrement de l"aire, en unités d"aire et à l"unité près, du domaine compris entre la courbe (C),

l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=1 etx=2.

4. Déterminer la convexité de la fonctionfsur [0,5 ;6]. Argumenter la réponse.

PARTIEB: ÉTUDE ANALYTIQUE

On admet que la fonctionfest définie sur [0,5; 6] par f(x)=-2x+5+3ln(x).

1. Pour tout réelxde [0,5; 6], calculerf?(x) et montrer quef?(x)=-2x+3

x.

2. Étudier le signe def?sur [0,5; 6] puis dresser le tableau de variation defsur [0,5; 6].

3. Montrer que l"équationf(x)=0 admet exactement une solutionαsur [0,5 ;6].

Donner une valeur approchée deαà 10-2près.

4. En déduire le tableau de signe defsur [0,5; 6].

5. On considère la fonctionFdéfinie sur [0,5; 6] parF(x)=-x2+2x+3xln(x).

(a) Montrer queFest une primitive defsur [0,5; 6].

(b) En déduire l"aire exacte, en unités d"aire, du domaine compris entre la courbe (C), l"axe des abscisses

et les droites d"équationx=1 etx=2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. retour au tableau bac-fonctions-ES-obl9Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

7. Centres etrangers 2016

Partie A

Soitfla fonction définie sur [0; 8] par

f(x)=0,4

20e-x+1+0,4.

1. Montrer quef?(x)=8e-x

(20e-x+1)2oùf?désigne la fonction dérivée de la fonctionf.

2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1f?(x):=8?eˆ(-x)/(20?eˆ(-x)+1)2

→f?(x):8·e-x400(e-x)2+40e-x+1

2g(x):=Dérivée [f?(x)]

3Factoriser [g(x)]

→8e-x·20e-x-1(20e-x+1)3 En s"appuyant sur ces résultats, déterminer l"intervalle sur lequel la fonctionfest convexe.

Partie B

Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux

altitudes différentes. La fonctionf, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable

xreprésente la distance horizontale, en kilomètres, depuisle village A etf(x) représente l"altitude associée, en

kilomètres. La représentation graphiqueCfde la fonctionfest donnée ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 6 700,20,40,60,8

+AB Cf xf(x)

Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente àCfen un pointMest appelé "pente en M».

On précise aussi qu"une pente enMde 5% correspond à un coefficient directeur de la tangente à lacourbe def

enMégal à 0,05.

Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu"en aucun point deCfla pente ne dépasse 12%.

Pour chacune des propositionssuivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiantla réponse.

Proposition 1

L"altitude du village B est 0,6 km.

Proposition 2

L "écart d"altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre. bac-fonctions-ES-obl10Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

Proposition 3

La pente en A vaut environ 1,8%.

Proposition 4

Le projet de route ne sera pas accepté.

retour au tableau bac-fonctions-ES-obl11Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

8. Amerique du Nord 2016

Partie A : Étuded"une fonction

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle ]0; 1,5] par f(x)=9x2(1-2lnx)+10. La courbe représentative defest donnée ci-dessous :

0 0,5 1,0 1,505101520

1. (a) Montrer quef?(x)=-36xlnxoùf?désigne la fonction dérivée de la fonctionfsur l"intervalle ]0; 1,5].

(b) Étudier le signe def?(x) sur l"intervalle ]0; 1,5].

(c) Déduire de la question précédente les variations de la fonctionfsur l"intervalle ]0; 1,5].

2. On admet quef??(x)=-36lnx-36 oùf??désigne la dérivée seconde de la fonctionfsur l"intervalle ]0; 1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonctionfadmet un point d"inflexion dont l"abscisse est e-1.

3. SoitFla fonction définie sur l"intervalle ]0; 1,5] par

F(x)=10x+5x3-6x3lnx.

(a) Montrer queFest une primitive de la fonctionfsur ]0; 1,5]. (b) Calculer? 1,5 1 f(x)dx.

On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B : Application économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l"évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.

Le prix de l"action depuis un an et demi est modélisé par la fonctionfdéfinie dans la partie A, oùxreprésente

le nombre d"années écoulées depuis l"introduction en bourse etf(x) représente le prix de l"action, exprimé en

euros.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1 :

"Sur la période des six derniers mois, l"action a perdu plus d"un quart de sa valeur.»

Proposition 2 :

"Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l"action a été inférieure à 17e.»

retour au tableau bac-fonctions-ES-obl12Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

9. Amérique du sud nov 2015

Les deux parties de l"exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

La fonctionfest définie pour tout réelxélément de l"intervalle [1; 7] par : f(x)=1,5x3-9x2+24x+48. On notef?la fonction dérivée de la fonctionfetf??sa dérivée seconde sur [1; 7].

1. Pour tout réelxde l"intervalle [1; 7] :

(a) Calculerf?(x). (b) Calculerf??(x).

2. Déterminer sur quel intervalle la fonctionfest convexe.

Partie B

Une entreprise fabrique et commercialise un article dont laproduction est comprise entre 1000 et 7000 articles

par semaine.

On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d"euros, par la fonctionfdéfinie dans la partie A oùx

désigne le nombre de milliers d"articles fabriqués.

On notecla fonction définie sur [1; 7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a,

par conséquent, pour toutxde [1; 7] : c(x)=f(x) x=1,5x2-9x+24+48x. On admet que la fonctioncest dérivable sur [1; 7]. On notec?sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour toutxde l"intervalle [1; 7], on a :

c ?(x)=3(x-4)?x2+x+4? x2.

2. (a) Étudier les variations de la fonctioncsur l"intervalle [1; 7].

(b) Déterminer, en milliers, le nombre d"articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit mini-

mal.

3. On considère la fonctionΓdéfinie sur l"intervalle [1; 7] par :

Γ(x)=0,5x3-4,5x2+24x+1+48lnx.

(a) Montrer queΓest une primitive decsur l"intervalle [1; 7].

(b) Calculer la valeur moyenneμdecsur l"intervalle [1; 7]. On donnera la valeur exacte puis la valeur

arrondie à 10 -2. retour au tableau bac-fonctions-ES-obl13Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

10. Nouvelle Calédonie nov 15

Soitfla fonction définie sur l"intervalle [0; 10] par f(x)=(2x-5)e-x+4+20.

Partie A

1. Montrer que, pour toutxde l"intervalle [0; 10],f?(x)=(-2x+7)e-x+4.

2. En déduire le sens de variation defet dresser le tableau de variation defsur l"intervalle [0; 10].

Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.

3. Justifier que l"équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur [0; 10] et déterminer un encadrement

d"amplitude 0,01 deα.

4. On admet que la fonctionFdéfinie sur [0; 10] par

F(x)=(-2x+3)e-x+4+20x

est une primitive defsur [0; 10]. Calculer la valeur moyenne defsur l"intervalle [0; 10]. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Une entreprise fabrique entre 0 et 1000 objets par semaine.

Le bénéfice, en milliers d"euros, que réalise cette entreprise lorsqu"elle fabrique et vendxcentaines d"objets est

modélisé par la fonctionfdéfinie sur [0; 10] par : f(x)=(2x-5)e-x+4+20.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l"unité.

1. Quel est le nombre d"objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?

Quel est ce bénéfice maximal en euros?

2. À partir de combien d"objets fabriqués et vendus l"entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?

3. Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.

retour au tableau bac-fonctions-ES-obl14Guillaume Seguin

Baccalauréat ES obligatoireFonctions

11. Antilles sept 2015

L"évolution de la population d"une station balnéaire pour l"été 2015 a été modélisée par une fonctionf, définie

sur l"intervalle [0; 70], dont la courbe représentative estdonnée ci-dessous.

Lorsquexest le nombre de jours écoulés

après le 1 erjuillet,f(x) désigne la population en milliers d"habitants.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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