[PDF] Le cours L'aire totale d'une

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Chapitre III : Aires et volumes

Leçon 1l: Aires de pyramides, de cônes.

Activitésl. Dessiner en vraie grandeur un patron de chaque figure représentée en perspective ci-

dessous. Laisser apparents les traits de construction..| a. Toutes les arêtes mesurent 4 cm.b. la base est un carré c. la base est un disque 2cm

Le cours

Mathématique C4-t78\

4cm

L Les pyramides

a. Pyramide de sommet S.

Définition.

Une pyramide de sommet S est un solide dont :

- Une face est un polygone appelé base ; - Toutes lesfaces lutérales sont des triangles qui ont un sommet commun '.le sommet Sdela pyramide. La hauteur d'une pyramide de sommet S est le segmeni [SA-l porté par la perpendiculaire en H au plan de la base. La longueur SH est aussi appelée hauteur de cette pyramide. b. Pyramide régulière de sommet S

Définition

Une pyramide de sommet S est dite régulière lorsque : - sa base est un polygone régulier : triangle équilatéral, carré, ...

- sa hauteur passe par le centre de ce polygone.o les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles

ruOr*osables.

Exemple : Pyramide à base pentagone

Sommet

-Arête

Face latérale

' Face latérale-[pef[i6ç teur Base

Pyramide droite Pyramide oblique

b. Aire d'une pyramide - L'aire latérale L'aire latérale d'une pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales. . L'aire totale L'aire totale d'une pyramide est la somme de I'aire latérale et de I'aire de la base.

Aire totale = aires latérales + aire de base

4=At+B

t

Pyramide oblique

: aire totale : aire latérale aire de la base Exemple l: La figure ci-dessous représente une pyramide régulière de base le carré de côté a et d'apothème d. Calculer son aire latérale et son aire totale.

Apothème

oo AB P Puisque les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables.

On obtient donc :

I. Aire latérale = : x périmètre de basex apothème '

A,=!x4axd:2ad2

. Aire totale = aire latérale + aire de base

A,=At+B

'4 =2ad + a' Exemple 2:La figure ci-dessous représente une pyramide régulière à base triangulaire (tétraèdre régulier) dont toutes les arrêtes mesurent 4cm. Calculer son aire latérale et son aire totale.Solution: S A, At B: Puisque toutes les faces de cette pyramide sont des triangles

équilatéraux superposabl es.

On obtient donc :

. Aire latérale - 3x Auas oit A*", = f " lS x BH L

A, :3t ], 4S x BH oit BH : {4' it = 2Jt2

A, =3rlr4x2Ji:l2Jicm'

L . Aire totale - 4x A*o,

4:4rlrax2Jj =t6Jicm2

L

2.Les cônes

a. Un cône de sommet S Un cône de sommet S est un solide limité par des droites concourantes au sommet S et une base. La hauteur est la distance entre la base et le sommet. b. Un cône de révolution Un cône de révolution a pour sommet S et pour base, un disque de centre O. La hauteur de ce cône est le segment [.SO](ou la longueur SO). Le segment [SO] est perpendiculaire au plan de la base. c. Aire d'un cône de révolution

Sommet

Génératrice

Hauteur

Base

Mathématique C4-181

t

L'aire latérale d'un cône de révolution est égale à la moitié du produit du périmètre de

base par la longueur d'une génératrice. Aire latérale d'un cône = 1r.périmètre de basex génératrice2

A, ::XP X g

Cône droitCône oblique

IA, ==x(2nr)xg=vyt,.)

L r : rayonde base g : génératrice

. L'aire totale d'un cône de révolution est éeale à la somme d'aire latérale et d'aire de

base. Aire totale d'un cône : aîre latérale + aire de base n,:)xpxg+8

4:nrg+nrt=aer(g+r)

Patron d'un cône :

Le patron d'un cône est formé d'un disque (pour la base) et d'un secteur circulaire d'angle au centre d (pour la surface latérale). g (génératrice) A

Disque de base

- La longueur s de l'arc AE est le périmètre du disque de base. ' s =2nr -D',autrepart,ona:.s: ?!-:=nt=zo'q '360"- 360'

On obtient donc 2rr -2ngo360"

d'où le rayon de sa base , , = g 0, 360'
Exemple 1 : Soit un cône de 5cm de générahice et de 3cm de rayon de la base. Calculer son aire latérale et son aire totale.

Solution :

On a: ' A': trl$ :nx3x5=l5ncln2

A, :|5x3,74= 47,10cnt2

Mathématique C4-L82

Surface latérale

(Secteur circulaire) .4,=4,+B

A,:l5n+fir2

=15ae +32n:24rcnt2

4 :24x3,14:75,36qrt2

Exemple 2 : Soit un cône de 4cm de génératrice. Son patron est formé d'un disque et d:un secteur circulaire d'angle 0 =I5O" . Calculer son aire latérale et son aire totale.

Solution:

On calcule le rayon de sa base :s0 4x 150" 4x l5--- =- =-=3600 360" 36d'où r = l.- 3

Mathématique C4-183

t 155
-:-93

On obtient donc :

. Son aire laterale 1 A, = trïg=314xJ"O=1.!î4:21,93cm2 Son aire de base :B= nr2 =3.t4"f:')' = l.rqf4) :8.72cm2' \3/ \e/ . Son aire totale-:

A, =A,-+B

A, =2},93crt2 +8,72qrr2 :29,65qn2

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