[PDF] Corrigé du baccalauréat S Métropole 23 juin 2009

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?Corrigé du baccalauréat S Métropole 23 juin 2009?

EXERCICE14 points

1. a.vn+1=un+1-6=1

3un+4-6=13un-2=13(un-6)=13vndoncla suite (vn)

est géométrique de raisonq=13et de premier terme v

0=u0-6=1-6=-5.

b.Donc pour toutndansN, on avn=v0×qn= -5×?1 3? n. Orvn=un-6 doncun=vn+6 et on obtient bienun=-5×?1 3? n+6 c.13?]-1 ; 1[donc limn→+∞? 13? n =0 donc limn→+∞-5×?13? n =0 et donc on en déduit facilement que la suite (un)converge et que limn→+∞un=6 a.Appliquons la formule de récurrence définissant(wn)pourn=10 :

10w10=11w9+1 donc 10w10=11×19+1=210 doncw10=21

b.On conjecture que la suite(wn)est arithmétique de raisonr=2 et de premier termew0=1, autrement dit que pour toutndansN, on a w n=2n+1. Démontrons-le par récurrence surn: notonsPnla proposition "wn=2n+1». •Initialisation:w0=1 et 2×0+1=1 doncP0est vraie. •Hérédité: soitnun entier quelconque dansN. SupposonsPnvraie.

On sait que (n+1)wn+1=(n+2)wn+1.

(n+2)(2n+1)+1=2n2+5n+3=(2n+3)(n+1). Orn+1?=0 donc on en déduit quewn+1=2n+3=2(n+1)+1 et doncPn+1est vraie. Ainsi, la propositionPnest héréditaire. •Conclusion :P0est vraie, et siPnest vraiePn+1est aussi vraie; par le principe de récurrence, la propositionPnest vraie pour toutndansN, à savoir que,wn=2n+1 d"oùw2009=4019.

EXERCICE26 points

1. a.D"après le cours, limx→+∞e

x x=+∞donc par passage à l"inverse, on a lim x→+∞xe-x=limx→+∞x ex=0+donc limx→+∞1+xe-x=1 et donc limx→+∞ln(1+ xe-x)=ln(1)=0 par continuité de la fonction ln en 1. On a donc bien lim x→+∞f(x)=0 b.Posonsu(x)=1+xe-xpour toutxdans [0 ;+∞[. La fonctionuest clai- rement dérivable sur [0 ;+∞[ et pour toutxdans [0 ;+∞[, on a : u ?(x)=0+1×e-x+x×(-e-x)=(1-x)e-x.

On sait que e

-x>0. D"autre part,x?0 doncxe-x?0 donc u(x)?1>0. le cours,f=ln◦uest dérivable sur [0 ;+∞[ et pour toutxdans [0 ;+∞[, on a :

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

f?(x)=u?(x)u(x)=(1-x)e-x1+xe-x

On sait que e

-x>0 etu(x)=1+xe-x>0 doncf?(x) est bien du signe de 1-x. c.Par suite,f?(x)>0 six?[0 ; 1[,f?(1)=0 etf?(x)<0 six?]1 ;+∞[, donc fest strictement croissante sur [0 ; 1] puis strictement décroissante sur [1 ;+∞[.

2. a.Représentation graphique deA(λ) :

La fonctionfest continue et positive sur [0 ;+∞[ donc l"intégraleA(λ) désigne l"aire (en unité d"aire)de la partie duplan délimitée par la courbe C, l"axe des abscisses et les droites verticales d"équationx=0 etx=λ: C λO b.D"après la question1. c.on sait quefprésente un maximum enx=

1 donc pour toutxdans [0 ;+∞[,f(x)?f(1). Par croissance de l"in-

tégrale, on en déduit que?λ

0f(x)dx??λ

0f(1)dx, soitA(λ)?λ×f(1)

(c"est évident géométriquement!)

3. a.On procède par intégration par parties :

u ?(x)=e-xu(x)=-e-x v(x)=x v?(x)=1

0xe-xdx=?-xe-x?λ0-?λ

0-e-xdx=-λe-λ+?λ

0e-xdx=-λe-λ+?-e-x?λ0

donc finalement?λ

0xe-xdx=-λe-λ-e-λ+1

b.On sait que pour toutxdans [0;+∞[,xe-x?0 donc ln(1+xe-x)?xe-x. Parcroissancedel"intégrale (lesfonctions sontbiencontinues sur [0;λ]), on obtient :

A(λ)=?

0 ln(1+xe-x)dx?? 0 xe-xdx=-λe-λ-e-λ+1.

4.Pourλ=5, une calculatrice donneλ×f(1)?1,57 et-λe-λ-e-λ+1?0,96.

C"est donc la deuxième méthode qui donne le meilleur majorant dans le cas

λ=5 :

A(λ)?0,96

Métropole223 juin 2009

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

1. ?n-1 p-1?+?n-1 p?=(n-1)! (n-1)!(p+n-p) p!(n-p)!=n!p!(n-p)!=?np??

2. a.Lesjetonssontindiscernablesautoucherdonconpeutlégitimementsup-

poser qu"on se trouve dans une situation d"équiprobabilité. Il y a?10 2?ma- nières de choisir 2 jetons parmi 10 et il y a?72?manières de choisir 2 jetons blancs parmi les 7 jetons blancs. Donc p(A)=? 7 2? ?10 2? =715. b.De même, 6 jetons portent des numéros impairs doncp(B)=? 6 2? ?10

2?=13.

c.De même, 4 jetons blancs portent des numéros impairs doncp(A∩B)=?42? ?10 p(A)×p(B)?=p(A∩B) donc les évènementsAetBne sont pas indépendants

3. a.La variable aléatoireXpeut valoir 0, 1 ou 2.

p(X=0)=? 7

0?×?32?

?10

2?=115,

p(X=1)=? 7

1?×?31?

?10

2?=715,

p(X=2)=? 7

2?×?30?

?10

2?=715. D"où :

k012 p(X=k)1 15 7 15 7 15

EXERCICE45 points(obligatoire)

1. a.OM=|z|etOM1=??1

D"autrepart,(-→u;---→OM)=arg(z) [2π]et(-→u;---→OM1)=arg(1 z)=-arg(z) [2π] donc on a bien (-→u;---→OM1)=-(-→u;---→OM) [2π]. b.cf. figure.

2. a.z?=zM?=zM+zM1

2=z+1 z2donc on a bienz?=12?z+1z?

2. b.zB?=12?2ı+12ı?=12?2ı-12ı?=34ı et de même on trouvezC?=-34ı.

b.cf. figure.

3.On a clairement les équivalences suivantes :

M=M???z=1

2?z+1z?

??2z=z+1 z??z=1 z??z2=1 ??z=1 ouz=-1

Métropole323 juin 2009

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Notons (en devançant l"énoncé)KetLles points d"affixes respectives-1 et

1. Alors l"ensemble des pointsMtels queM?=Mest l"ensemble {K;L}

4.Un pointMd"affixezappartenant au cercle de centreOet de rayon 1 vérifie

z=eıθavecθ?R. Alors z ?=1 2? e

ıθ+1eıθ?

=12? eıθ+e-ıθ? =eıθ+e-ıθ2=cos(θ), avecθ?R ce qui montre bien queM?appartient au segment [KL]. OK? L?? ?B C B C A? A?? A1?

Métropole423 juin 2009

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45points(spécialité)

1. a.Le couple (x,y)=(1, 1) est une solution particulière évidente. L"équation

(E) est donc équivalente à l"équation (E?) : 8(x-1)=5(y-1). •Soit (x,y) une solution de (E). 5|5(y-1) donc 5|8(x-1). Or 5?8=1 donc d"après le théorème de Gauss, 5|x-1. Soit donckdansZtel que x-1=5k. Alorsx=1+5k . L"équation (E?) donne alors 8(5k)=5(y-1) donc 8k=y-1 ety=1+8k . Ainsi, (x,y) est solution de (E), s"il existek dansZtel quex=1+5kety=1+8k.

•Conclusion :S(E)={(1+5k, 1+8k),k?Z}

b.8p-5q=(m-1)-(m-4)=3 donc (p,q) est une solution de (E). Par suite, il existekdansZtel quep=1+5k, et doncm=8p+1=40k+9 donc on a bienm≡9 (mod 40) c.Ce nombre est bien sûrm0=2009, pour lequelp0=251 etq0=401.

2. a.23=8≡1 (mod 7) donc 23k=?23?k≡1k≡1 (mod 7) : 23k≡1 (mod 7)

b.Procédonsà la division euclidienne de 2009 par 3 :2009=669×3+2 donc 2

2009=?23?669×22≡1×4≡4 (mod 7)donc le reste dans la division eucli-

dienne de 2

2009par 7 est 4

3. a.10≡3 (mod 7) donc 102≡9≡2 (mod 7) donc 103≡6≡-1 (mod 7)

b.Nest divisible par 7 ssiN≡0 (mod 7). Cette équation est équivalente à a×103+b≡0 (mod 7), elle-même équivalente à-a+b≡0 (mod 7), soit a≡b(mod 7) a=1 : la conditionb≡1 (mod 7) avecb??0,9?donneb=1 oub=8.

D"oùN=1001

etN=1008. a=2 : la conditionb≡2 (mod 7) avecb??0,9?donneb=2 oub=9.

D"oùN=2002

etN=2009. a=3 : la conditionb≡3 (mod 7) avecb??0,9?donneb=3.

D"oùN=3003

a=4 : la conditionb≡4 (mod 7) avecb??0,9?donneb=4.

D"oùN=4004

a=5 : la conditionb≡5 (mod 7) avecb??0,9?donneb=5.

D"oùN=5005

a=6 : la conditionb≡6 (mod 7) avecb??0,9?donneb=6.

D"oùN=6006

a=7 : la conditionb≡7 (mod 7) avecb??0,9?donneb=0 oub=7.

D"oùN=7000

etN=7007. a=8 : la conditionb≡8 (mod 7) avecb??0,9?donneb=1 oub=8.

D"oùN=8001

etN=8008. a=9 : la conditionb≡9 (mod 7) avecb??0,9?donneb=2 oub=9.

D"oùN=9002

etN=9009.

Métropole523 juin 2009

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