Report on European Baccalaureate 2017
MATH: SCHOOLS. *BRI: Liceo scientifico “Fermi Monticelli” Brindisi and 7 Accredited Schools registered for the European Baccalaureate 2017 session.
Corrigé du baccalauréat S Métropole 21 juin 2017
21 juin 2017. EXERCICE 1. 7 points. Commun à tous les candidats. Partie A. On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0 ; +?[ par : h(x) = xe?x
Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2017
21 novembre 2017. EXERCICE 1. 5 points. Commun à tous les candidats. Partie A : modélisation par une fonction. Le demi-contour de la face supérieure du
Corrigé du baccalauréat S Liban du 5 juin 2017
2017/06/05 Corrigé du baccalauréat S Liban du 5 juin 2017. A. P. M. E. P.. Exercice 1. 6 points. Commun à tous les candidats.
Corrigé du baccalauréat S – Asie 22 juin 2017 EXERCICE 1
22 juin 2017. EXERCICE 1. Commun à tous les candidats. 5 points. Un protocole de traitement d'une maladie chez l'enfant
Corrigé du baccalauréat S Polynésie 5 septembre 2017
5 septembre 2017. EXERCICE 1. 6 points. Commun à tous les candidats. Un parc d'attraction propose à son public un tout nouveau grand huit.
Métropole - La Réunion septembre 2017
12 septembre 2017. Exercice 1. 6 points. Commun à tous les candidats. Partie A. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = ?.
Corrigé Exercice 4 - Bac 2017 - Freemaths.fr
2017/06/21 Bac - Maths - 201 7 - Série S. 17MASSMLR1. Page 6 sur 7. Exercice 4 (5 points) : pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.
Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Pondichéry
Bac - Maths - 201 7 - Série S chocolaterie ? EXERCICE 2 ( 3 points). Commun à tous les candidats. On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (. ).
Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna – 28 novembre 2017
2017/11/28 Exercice 1. 4 points. Commun à tous les candidats. Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.
Exercice 4
Corrigé
17MASSMLR1Page 1 sur 7
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2017
-SŽrie S -Enseignement SpŽcialitŽ Coefficient : 9
DurŽe de lÕŽpreuve : 4 heures
Les calculatrices Žlectroniques de poche sont autorisŽes, conformŽment ˆ la rŽglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.
fructueuse, quÕil aura dŽveloppŽe.Il est rappelŽ que la qualitŽ de la rŽdaction, la clartŽ et la prŽcision des raisonnements entreront pour
une part importante dans lÕapprŽciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7. La page 7 est une annexe à rendre avec la copie.Sujets Mathématiques Bac 2017
freemaths.frFrance Métropolitaine
freemaths.frfreemaths.frFrance Métropolitaine 201 7 - freemaths . fr
Bac - Maths - 201 7 - Série S
Page 6 sur 7
Exercice 4 (5 points) : pour les candidats ayant suivi l'enseigneme nt de spécialitéOn appelle "
triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtésde l'angle droit ont pour longueurs et , et dont l'hypoténuse a pour longueur , où et sont
des entiers naturels. Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côté s de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier.Si le triangle de côtés
et , où est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple définit un TRPI.Partie A
1. Démontrer que le couple d'entiers naturels définit un TRPI si et seulement si on a : 2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est dé fini par le couple (3 ; 5). 3. a. Soit un entier naturel. Montrer que si est impair alors est impair. b. Montrer que dans un couple d'entiers définissant un TRPI, le nombre est nécessairement impair. 4. Montrer que si le couple d'entiers naturels définit un TRPI, alors et sont premiers entre eux.Partie B
On note
la matrice carrée : , et la matrice colonne :Soient
et deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels et par la relation : L J . 1.Exprimer et en fonction de et .
2. a. Montrer que : O J L . 9 K -P- J Q b. En déduire que si le couple définit un TRPI, alors le couple définit également un TRPI. 3.On considère les suites
et d'entiers naturels, définies par et pour tout entier naturel L C C J . Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , le couple définit un TRPI. 4.Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des
côtés sont supérieures à 2017. 1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 1. Démontrons que le couple d'entiers naturels ( ; y ) définit un TRP ssi y 2 = 2 2 + 2 + 1: En utilisant la définition de l'énoncé et en appliquant le t héorème de Pythagore, nous avons: x 2 x + 1 ) 2 = y 2 <=> x 2 + x 2 + 2 x + 1 = y 2 => y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 .Au total, le couple d'entiers naturels (
x ; y ) définit un TRP ssi: y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 . 2. Montrons que ( 3 ; 5 ) défini bien le TRP ayant les plus petits côtés: Ici: les côtés sont des entiers naturels non nuls, les côtés sont non nuls . Donc nous devons déterminer le plus petit entier naturel non nul " " tel que " y " soit aussi un entier naturel non nul avec: y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 . Pour cela, nous allons faire du tâtonnement en commençant par x = 1 .Si = 1: y = 5 - * .
EXERCICE 4
Partie A:
[ France Métropolitaine 201 7 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7Si = 2: y = 1 3 - * .
Si = 3: y = 5
Ainsi, nous retiendrons le couple:
( 3 ; 5 ) . Au total: le couple ( 3 ; 5 ) défini bien le TRP ayant les plus petits côtés non nuls 3. a. Montrons que si n 2 est impair alors n est impair: Nous allons procéder à un raisonnement par l'absurdeEn effet, si nous montrons:
n pair => n 2 pair, on pourra alors affirmer: n 2 impair n impair Si n est un entier naturel pair, nous pouvons alors l'écrire sous la forme: => n 2 = 4 p 2 => n 2 = 2 x p' avec p' = 2 p 2 => n 2 est pairAu total: si n
2 est impair alors n est impair 3. b. Montrons que y est nécessairement impair:Nous savons que:
y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 . si n 2 est impair alors n est impair . 3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 Or: 2 x 2 + 2 x = 2 ( x 2 + x ) est pair car x 2 + xPar conséquent:
( 2 x 2 + 2 x ) + 1 est impair ou plus exactement y 2 est impairComme y
2 est impair, nous pouvons alors affirmer que y est nécessairement impairAu total: y est nécessairement impair .
4. Montrons que si le couple d'entiers naturels ( ; y ) définit un TRP, alors et y sont premiers entre eux: Pour répondre à cette question, nous allons appliquer: le théorème de BÉZOUT .D'après ce théorème:
" Soient a et b deux entiers relatifs non nuls . a et b sont premiers entre eux ssi il existe deux entiers u et v tels que: a u + b v = 1 " .Ici le couple d'entiers naturels (
x ; y ) définit un TRP .D'où nous avons:
y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 . y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 <=> y 2 - 2 x 2 - 2 x = 1 <=> y x y + x x ( - 2 x - 2 ) = 1 <=> y u + x v = 1, avec: u = y et v = - 2 - 2 . Comme x et y sont deux entiers naturels non nuls, nous pouvons affirmer qu'i ls sont premiers entre eux car: il existe bien deux entiers u ( = y ) et v ( = - 2 x - 2 ) tels que y u + x v = 1 Au total: si le couple d'entiers naturels ( x ; y ) définit un TRP, alors x et y sont premiers entre eux 4 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7Partie B:
1.Exprimons ' et y' en fonction de x et y:
D'après l'énoncé:
x' y = A x y + B, A = 3 2 4 3 B = 1 2D'où:
x' y 3 x + 2 y 4 x + 3 y 1 2 x' = 3 x + 2 y + 1 y = 4 x + 3 y + 2 Ainsi: x' = 3 x + 2 y + 1 et y' = 4 x + 3 y + 2 . 2. a.Montrons l'égalité demandée:
Nous savons que:
x' = 3 x + 2 y + 1 et y'= 4 x + 3 y + 2 .Dans ces conditions:
y' 2 - 2 x' ( x' + 1 ) = ( 4 x + 3 y + 2 ) 2 - 2 (3 x + 2 y + 1 ) ( 3 x + 2 y + 2 )
= y 2 - 2 x ( x + 1 ) .Ainsi, nous avons bien: y'
2 - 2 x' ( x' + 1 ) = y 2 - 2 x ( x + 1 ) . 2. b. Déduisons-en que si ( ; y ) définit un TRP, alors ( ' ; y' ) définit également un TRP: Si ( x ; y ) définit un TRP: y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 . y 2 = 2quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27[PDF] bac maths 2017 metropole
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