[PDF] Intégrales curvilignes intégrales multiples

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Exo7 Intégrales curvilignes, intégrales multiples * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**Calculer l" intégrale de la forme différentiellewle long du contour orientéCdans les cas suivants :

1.w=xx

2+y2dx+yx

2+y2dyetCest l"arc de la parabole d"équationy2=2x+1 joignant les points(0;1)et

(0;1)parcouru une fois dans le sens desycroissants.

2.w= (xy3)dx+x3dyetCest le cercle de centreOet de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.

3.w=xyzdxetCest l"arcx=cost,y=sint,z=costsint,tvariant en croissant de 0 àp2

trigonométrique. Même question avecw=y2dx+x2dy.

1.I=ZZ

D

2.I=ZZ

[1;1]2jx+yjdxdy.

3.I=ZZ

D xy dxdyoùDest la partie du plan limitée par les paraboles d"équations respectivesy=x2et x=y2.

4.I=ZZ

x

2+y26111+x2+y2dxdy.

5.I=ZZ

x6x2+y261dxdy(1+x2+y2)2.

6.I=ZZZ

06x6y6z61xyzdxdydz.

7.I=ZZZ

px+py+pz61zdxdydz.

R+¥

0sinxx

dx). 1

1.retRsont deux réels strictement positifs tels quer w=eyx

2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)

le long de ce contour orienté. 2.

En déduire

RR rsinxx dxen fonction d"une autre intégrale. 3. En f aisanttendre rvers 0 etRvers+¥, déterminer la valeur deR+¥

0sinxx

dx. Calculer l"aire du domaineD=f(x;y)2R2=2p1x6y262p2xet 2q2y6x262q2yg. y2+34 z2+xz=1. longueur etAl"aire délimitée par la courbe fermée(C). Montrer que

A6L24p.

Pourcela, onsupposeratoutd"abordL=2petonchoisirauneparamétrisationnormaledel"arc. Onappliquera ensuite la formule de PARSEVALaux intégrales permettant de calculerLetAet on comparera les sommes des séries obtenues.

CalculerI=ZZ

x 2a 2+y2b

261(x2y2)dxdy.

Correction del"exer cice1 N1.Cest l"arc paramétrét7!t212 ;t ,tvariant en croissant de1 à 1. Z C w=Z 1 10 B @(t21)=2 t212

2+t2t+t

t212 2+t21 C Adt =0(fonction impaire): R

Cw=2ln2.2.

Z C w=Z 2p

0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z

2p

0(cos4t+sin4tcostsint)dt

Z 2p

0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z

2p 0

1sin(2t)2

sin2(2t)2 dt Z 2p 0

1sin(2t)2

14 (1cos(4t)) dt=2p 114
=3p2 R

Cw=3p2

.3. Z C w=Z p=2

0(costsintcostsint)(sint)dt=Z

p=2

0cos2tsin3t dt

Z p=2

0(cos2tsint+cos4tsint)dt=cos3t3

cos5t5 p=2 0 =13 +15 =215 R

Cw=215

en déduit quewest exacte surR2d"après le théorème de SCHWARZ. Par suite, l"intégrale dewle long

de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle. quewn"est pas exacte surR2. L"intégrale dewle long d"un cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique n"est plus nécessairement nulle.

On parcourt le cercleCle cercle de centre(a;b)et de rayonR>0 une fois dans le sens trigonométrique

ou encore on considère l"arc paramétrég:t7!(a+Rcost;b+Rsint),tvariant en croissant de 0 à 2p.

4 Z g w=Z 2p

0(b+Rsint)2(Rsint)+(a+Rcost)2(Rcost)dt

=RZ 2p =R2Z2p

0(2acos2t2bsin2t+R(cos3tsin3t))dt

=R2Z2p =R2Z2p

0(ab+R(costsint)(1+costsint))dt

=R2

2p(ba)+Z

2p

0R(costsint+cos2tsintcostsin2t)dt

=2pR2(ba):Correction del"exer cice3 N1.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=x61;y61;x+y>1g.1 1I=ZZ D (x+y)dxdy=Z 1 0 Z1

1x(x+y)dy

dx(ou aussiZ 1 0 Z1y

0(x+y)dx

dy) Z 1 0 xy+y22 y=1 y=1xdx=Z 1 0 x+12 x(1x)(1x)22 dx Z 1 0 x22 +x dx=16 +12 =23 ZZ D (x+y)dxdy=23 .2.Si on pose pour (x;y)2=mbr2,f(x;y)=jx+yjalors pour tout(x;y)2R2,f(x;y)=f(x;y)ou encore

fprend les mêmes valeurs en deux points symétriques par rapport àO. Puisque le pointOest centre de

symétrie de[1;1]2, on en déduit que 5 I=ZZ

16x;y61;x+y>0f(x;y)dxdy+ZZ

16x;y61;x+y60f(x;y)dxdy

=2ZZ

16x;y61;x+y>0(x+y)dxdy=2Z

1 1 Z1 x(x+y)dy dx =2Z 1 1 xy+y22 y=1 y=xdx=2Z 1 1 x+12 +x2x22 dx =212 23
+12 2 =83 ZZ [1;1]2jx+yjdxdy=83 .3.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=06x61;06y61;x26y6pxg.1 2 3 412 12 1 2I=Z 1 0 Zpx x 2y dy x dx=Z 1 0xy22 y=px y=x2dx=12 Z 1

0x(xx4)dx=12

13 16 112
4.

En passant en polaires, on obtient

I=ZZ x

2+y26111+x2+y2dxdy=ZZ

06r61;06q62p11+r2rdrdq

Z1

0r1+r2dr

Z2p 0dq (intégrales indépendantes) =2p12 ln(1+r2) 1 0 =pln2: ZZ x

2+y26111+x2+y2dxdy=pln2.5.Posons D=f(x;y)2R2=x6x2+y261g. Puisquex6x2+y2,x12

2+y2>14

,Dest l"intersection

de l"intérieur du disque de centreOet de rayon 1, bord compris, et de l"extérieur du disque de centre12

;0et de rayon12 , bord compris. SoitMun point du plan. On note(r;q)un couple de coordonnées polaires deMtel quer>0 etq2[0;2p]. 6

M2D,rcosq6r261,r=0 ou(0cosq.11

1

1En passant en polaires, on obtient

I=2ZZ x6x2+y261;y>01(1+x2+y2)2dxdy=2 Zp=2 0 Z1 cosqr(1+r2)2dr dq+Z p p=2 Z1

0r(1+r2)2dr

dq =2 Zp=2 0

12(1+r2)dr

1 cosqdq+Z p p=2

12(1+r2)dr

1 0 dq! Z p=2 0

11+cos2q12

dq+Z p p=212 dq=Z p=2

011+cos2qdq

Z p=2 011 cos

2q+1dqcos

2q=Z p=2

012+tan2qd(tanq) =Z

01t

2+2dt=1p2

arctantp2 0 =p2 p2 RR x6x2+y2611(1+x2+y2)2dxdy=p2 p2 .6. I=ZZZ

06x6y6z61xyzdxdydz=Z

1 0 Z1 x Z1 yzdz ydy xdx=Z 1 0 Z1 x12 (1y2)ydy xdx 12 Z 1 0 Z1 x(yy3)dy xdx=12 Z 1 0 y22 y44 1 x xdx=12 Z 1 0 14 x22 +x44 xdx 18 Z 1

0(x52x3+x)dx=18

16 12 +12 =148 RRR

06x6y6z61xyzdxdydz=148

.7.En sommant par tranches, on obtient I=ZZZ px+py+pz61zdxdydz=Z 1 0 ZZ px+py61pz dxdy zdz Z 1 0 ZZ pu+pv61(1pz)4dudv zdz(en posantx= (1pz)2uety= (1pz)2v) =A(D)Z 1

0z(1pz)4dzoùD=f(u;v)2R2=pu+pv61g:

Maintenant,

7

A(D) =R1

0

R(1pu)2

0dv du=R1

0(12pu+u)du=143

+12 =16 et R 1

0z(1pz)4dz=R1

0(z4z3=2+6z24z5=2+z3)dz=12

85
+287
+14 =1140

Finalement

ZZZ px+py+pz61zdxdydz=1840

.Correction del"exer cice4 N1.La forme dif férentiellewest de classeC1surR2nf(0;0)g. D"après le théorème de SCHWARZ, sur tout

ouvert étoiléWcontenu dansR2nf(0;0)g, la forme différentiellewest exacte si et seulement si la forme

différentiellewest fermée.quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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