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Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire

1. Intégrales doubles1

1.1. Descrition hiérarchisée de. . . . . . . .1

1.2. Intégrale double . . . . . . . . . . . . . .2

1.3. Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . .3

1.4. Un cas particulier . . . . . . . . . . . . .3

1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.6. Changement de variables . . . . . . . . .4

1.7. Coordonnées polaires . . . . . . . . . . .52. Intégrales triples6

2.1. Description hiérarchisée de. . . . . . .6

2.2. Changement de variables . . . . . . . . .6

2.3. Coordonnées cylindriques . . . . . . . . .6

2.4. Coordonnées sphériques . . . . . . . . .8

3. Calculs divers9

3.1. Aire ou volume de. . . . . . . . . . . .9

3.2. Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.3. Centre d"inertie . . . . . . . . . . . . . . .10

3.4. Moments d"inertie . . . . . . . . . . . . .10

3.5. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .12Figures

1 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . .3

3 Coordonnées Polaires . . . . . . . . . . .5

4 Intégrale double en polaires . . . . . . . .55 Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . .7

6 Coordonnées Cylindriques . . . . . . . . .8

7 Intégrale triple en cylindriques . . . . . .9

8 Coordonnées Sphériques . . . . . . . . .10

9 Intégrale triple en sphériques . . . . . . .11

10 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale

d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.

1. Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée deR2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée deR2:

l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet

8x2[a;b],u(x)6v(x), avec

(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure 1, page suivante.

On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2

variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]

y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 2Intégrales doubles et triplesy

xΔ a b x u(x)v(x)

OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné deR2Définition :fcontinue sur, un fermé borné deR2, si on dispose d"une description hiérarchisée

de, on appelle intégrale double defsur: I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x)

u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées

Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =124

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Intégrales doubles et triples12 - 31.3. Théorème de Fubini : inversion des bornes

Théorème :

Si on a par ailleurs : (x;y)2,8

>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0

BBBB@Z

(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure 2, ci-dessous. y xΔ cd y

(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est diérent, mais le résultat est le

même.

1.4. Un cas particulier

On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c

(y)dyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 4Intégrales doubles et triplesAinsi, dans ce cas :

'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy

1.5. Propriétés

a/ Linéarité

Théorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérarchisée de

.etdeux réels. Alors :" f(x;y)+g(x;y)dxdy=" f(x;y) dxdy+" g(x;y) dxdy b/ Positivité

Théorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de. Alors :" f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domaines

Théorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés deR2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :"

1[2f(x;y) dxdy="

1f(x;y) dxdy+"

2f(x;y) dxdy

Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :" D f(x;y) dxdy6" f(x;y) dxdy

1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts deR2.

D etdeux fermés bornés deR2, DU, et,V.

De plus :'(D)=.

On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.

On note :

(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.

Alors :"

f(x;y) dxdy=" D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.

On rappelle que :

D(x;y)D(u;v)=

@x@u @x@v @y@u @y@v

Notons qu"on fait un changement de variable :

pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées.

Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 51.7. Changement de variables en coordonnées polaires

Théorème :On pose8

>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy=" g(;)dd=" f(cos;sin)ddCeci est illustré sur la figure 3, ci-dessous. y x M xy OFigure 3 -Coordonnées PolairesDémonstration :En eetD(x;y)D(;)= @x@@x@ @y@@y@ cossin sin cos =>0La figure 4, ci-dessous, indique le mode de calcul. y x ρρ+dρθθ+dθdρρdθOFigure 4 - D f(x;y)dxdy="

g(;)ddCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 6Intégrales doubles et triplesExemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8

>>>>><>>>>>:x>0 y>0 x

2+y261

On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine en polaires :8 >><>>:2[0;=2]

2[0;1];ce qui

donne, compte tenu quexy=2cossin: I = D xydxdy=Z =2 0Z 1 0

3cossindd

I = Z =2 0 cossindZ 1 0

3d="sin22

=2 0" 44
1 0 =18

2. Intégrales triples

2.1. Description hiérarchisée de, intégrale triple defcontinue surun fermé borné de

R 3 un fermé borné deR3, une description hiérarchisée deest de la forme : (x;y;z)2,8 >>>>><>>>>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)] z2[(x;y);(x;y)] On peut avoir les variables dans un autre ordre, l"important est que les bornes de chacune ne soient définies qu"en fonction des précédentes. On définit alors l"intégrale triple defcontinue surpar : f(x;y;z) dxdydz=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)0

BBBB@Z

(x;y) (x;y)f(x;y;z) dz1CCCCAdy1CCCCAdx La figure 5, page ci-contre, donne une description hiérarchisée du domaine.

2.2. Changement de variables

Sous des hypothèses équivalentes à la dimension 2, (x;y;z) ='(u;v;w), (x;y;z)2D,(u;v;w)2, etf(x;y;z) =g(u;v;w), on a alors : D f(x;y;z) dxdydz=$ g(u;v;w)D(x;y;z)D(u;v;w) dudvdw On notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.

2.3. Coordonnées cylindriques

8 >>>>><>>>>>:x=cos y=sin

z=z(x;y;z)2D,(;;z)2, etf(x;y;z) =f(cos;sin)=g(;;z)Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 7

Figure 5 -Intégrale tripleOn regardera la figure 6, page suivante. D f(x;y;z) dxdydz=$ g(;;z)dddz

Le calcul du jacobien est facile

D(x;y;z)D(;;z)=et on a encore>0.

La figure 7, page 9, indique le mode de calcul.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 8Intégrales doubles et triples

Figure 6 -Coordonnées Cylindriques2.4. Coordonnées sphériques

On notera sur la figure 8 la définition des coordonnées sphériques.Cette notation est la notation des mathématiciens : les physiciens utilisent l"angle entre Oz

et OM qui appartient donc à [0;]. Dans la formule, au niveau de la valeur absolue du jacobien, ils échangent ainsi sin'et cos'. Attention, parfois, ils changent aussi le nom des angles... 8 >>>>><>>>>>:x=coscos' y=sincos' z=sin'(x;y;z)2D,(;;')2, etf(x;y;z) =g(;;')

On regardera la figure 8, page 10.

D f(x;y;z) dxdydz=$ g(;;')2cos'ddd'

Le calcul du jacobien est facile :

D(x;y;z)D(;;')=2cos', et on a bien : cos'>0.

La figure 9, page 11, indique le mode de calcul.

Les coordonnées sphériques du physicien sont illustrées sur la figure 10, page 12.

Dans ce cas, le calcul du jacobien donne :

D(x;y;z)D(;;')=2sin, et on a bien : sin>0.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 9

Figure 7 -

ZZZ D f(x;y;z)dxdydz=ZZZ g(;;z)dddz3. Calculs divers

3.1. Aire ou volume de

Il sut de calculer"

dxdypour l"aire d"une partie fermée bornée du plan et$ dxdydzpour le volume d"une partie fermée bornée de l"espace.

Remarque :Dans le cas d"une courbe définie en coordonnées polaires et oùne change pas de signe

et oùdécrit, par exemple, [0;2], l"aire intérieure à la courbe est :12 Z 2 0 2()d.

3.2. Masse

Si on a(x;y;z)la masse volumique du solide en un point donné, M = (x;y;z)dxdydz

donne la masse. Pour une plaque, on peut faire un calcul équivalent avec la densité surfacique(x;y)

et une intégrale double, M =

(x;y)dxdyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 10Intégrales doubles et triples

Figure 8 -Coordonnées Sphériques du mathématicien3.3. Centre d"inertie Avec les mêmes notation, et P de coordonnées (x;y;z)on a :

OG =1M

!OP(x;y;z)dxdydz ou en densité surfacique :

OG =1M

!OP(x;y)dxdy Ce qui donne pour la première coordonnée par exemple : x G=1M x(x;y;z)dxdydz ou encore, dans le cas d"une densité surfacique : x G=1M x(x;y)dxdy

3.4. Moments d"inertie

Pour un solide, un moment d"inertie peut se calculer par rapport à un point, une droite ou un plan

qu"on appelle dans tous les cas A.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 11

Figure 9 -

ZZZ D f(x;y;z)dxdydz=ZZZ g(;;')2cos'ddd'On noted((x;y;z);A)la distance du point courant à A.

Toujours avec les mêmes notations, on a :

J A=$ d((x;y;z);A)2(x;y;z)dxdydz On peut faire, une dernière fois, le même type de calcul pour une plaque : J A=" d((x;y);A)2(x;y)dxdy Pour un volume, le moment d"inertie par rapport à l"axe Ozest donc : J Oz=$

x2+y2(x;y;z)dxdydzCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 12Intégrales doubles et triples

Figure 10 -Coordonnées Sphériques des physiciens3.5. Colbert, lycée numérique a/ Maple

C"est le package "student» qui possède les mots clefs permettant de calculer des intégrales doubles

ou triples. Les deux commandes sont "Doubleint» et "Tripleint». Ce sont des formes inertes, il faut leur appliquer "value» pour avoir le calcul eectif.

Pas de faux espoirs cependant, il nous faut une description hiérarchisée du domaine pour que ce soit

utilisable... b/ Calculatrices

Il faut calculer les intégrales multiples comme des intégrales simples emboîtées...Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

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