[PDF] int”grales d”finies_5.111 La méthode des enveloppes





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Calcul du volume dun solide de révolution

Sep 14 2020 Surface de révolution : surface engendrée par une courbe (directrice) tournant autour d'un axe. Si l'axe (Oz) est l'axe de révolution



V =?2

Le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'axe O; i du Pour calculer le volume du cylindre on intègre cette aire sur ...



int”grales d”finies_5.111

La méthode des enveloppes cylindriques utilise toujours un découpage parallèle à l'axe de rotation. Page 67. 3.6 Calcul du volume d'un solide de révolution.



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?

2.1 Volumes de révolution autour de l'axe des abscisses. Comme dans le cas du calcul d'aire où nous De même le volume d'un solide de révolution V = dV.



AIRE ET VOLUME

avec. : aire totale. : aire latérale. : aire d'une base. Parallélépipède rectangle : cylindre de révolution : Rappel : un prisme droit est un solide de l'espace 



intégrales

Page 24. 5.5.2 Calcul du volume d'un solide de révolution. Un solide de révolution est un solide dont la surface extérieure est générée par une courbe.



MATHEMATIQUES Série STI Nº : 62901 - Annales du bac 2006 - Sujet

On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la courbe lors de sa rotation autour de l'axe des abscisses.



Analyse II

10.1 Les intégrales pour calculer des volumes de révolution . 10.2 Calcul du volume d'un solide de révolution « creux » .



Chapitre 5 : agrandissement réduction ; sections de solides

Jan 6 2011 parallélépipède : V =l×L×h. Un volume se mesure en m3



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g) Quelle est la section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à sa base ? Quand on calcule le volume du cône : on considère la figure 1.



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Conversions de volumes et de contenances : 1 Définition : Définition n°3 : Le volume d'un solide est la mesure de l 

  • Comment calculer le volume d'un solide de révolution ?

    On rappelle que lorsque que l'on fait pivoter une région délimitée par une courbe �� égale une fonction de �� et les droites horizontales �� égale �� et �� égale �� autour de l'axe des ordonnées, le volume du solide obtenu est égal à l'intégrale entre �� et �� de �� fois �� au carré d��.

  • Comment déterminer le volume d'un solide ?

    Pour calculer le volume d'un solide on multiplie l'aire de ce solide par une longueur. On multiplie donc une unité élevée au carré (l'aire) par une unité (la longueur). On obtient ainsi une unité élevée au cube.

  • Comment calculer le volume PDF ?

    A) Le pavé droit ou parallélépip? rectangle : Le volume d'un pavé droit est égal au produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Exemple : Calculer le volume d'un pavé droit de 12 cm de longueur, de 7 cm de largeur et de 5 cm de hauteur.
  • Soit un cône de révolution de hauteur h et dont la base a pour aire B. Son volume V est donné par la formule : V = \\frac{1}{3} × B × h. Dans cette formule, V, B et h sont exprimés dans des unités correspondantes ; par exemple : h en cm, B en cm2 et V en cm3.

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-1

L"intégrale définie 3

Nous verrons dans ce chapitre qu"il existe une relation étonnante entrela notion de primitive et la notion de somme. Cette relation permettrade résoudre rapidement certaines sommes provenant aussi bien desmathématiques que de la physique, de la chimie, de la biologie, del"économie, de la psychologie, de la sociologie, etc...

3.1 La notation sigma

On aura souvent à traiter de sommes à plusieurs termes. Il convient d"adopter une notation appropriée pour les traiter. La notation "sigma" sera celle utilisée. Elle tire son nom de la lettre grecque ∑ l"équivalentde notre lettre S, la première lettre du mot somme. lire "la somme des termes de la forme i où i varie de 1 jusqu"à 10"

Une façon d"abréger l"écriture

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

est d"écrire i=110 i symbole correspondant à la somme des dix premiers entiers positifs c"est-à-dire à 55.

Ainsi,

i=17 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140

La variable i est une variable fictive (indice de sommation). On peututiliser une autre lettre sans changer la valeur de la somme. Les bornesde cette variable fictive sont des valeurs quelconques entières. La borneinférieure est toujours plus petite que la borne supérieure.

Par exemple

j = -21

3j + 2 = (3(-2) + 2) + (3(-1) + 2) + (3(0) + 2) + (3(1) + 2)

= (-4) + (-1) + 2 + 5 = 2

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-2

k = 0n k + 1) 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + ... + (n + 1) 3 = 1 + 8 + 27 + 64 + ... + (n + 1) 3 (n ≥ 0)

D"une façon générale,

notation sigma i=mn a i = a m + a m+1 + a m+2 + a m+3 + ... + a n-1 + an i est un nombre réel. exemple 3.1.1 solutionSi a 1 = -4, a 2 = 1/2, a 3 = 7, a 4 = -7/2, a 5 = 1 alors calculer k=15 a k ____________ k=15 a k = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = (-4) + 1/2 + 7 + (-7/2) + 1 = 1 exemple 3.1.2Écrire à l"aide de la notation sigma.

ƒ(x

1 )Δx 1 + ƒ(x 2 )Δx 2 + ƒ(x 3 )Δx 3 + ƒ(x 4 )Δx 4 + ... + ƒ(x n )Δx n ____________ exemple 3.1.3

Évaluer ∑

j=2100 (( )) 1 j - 1 j - 1 . ____________ rép: - 0,99

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-3

propriétés de lasommation m et n sont des entiers tels que n ≥ m 1) i=mn ca i = c i=mn a i où c est une constante, 2) i=mn () a i

± b

i i=mn a i i=mn b i , démonstration 1) i=mn ca i = ca m + ca m+1 + ca m+2 + ca m+3 + ca m+4 + .. . ca n-1 + ca n = c (a m + a m+1 + a m+2 + a m+3 + a m+4 + ... a n-1 + a n = c i=mn a i 2) i=mn () a i + b i i=mn () a i - b i i=mn a i i=mn b i se démontre de la même façon.

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-4

exemple 3.1.4 solutionSi k=128 a k = 19 et k=128 b k = 8 alors trouver k=128 2a k + 3b k ____________ k=128 2a k + 3b k k=128 2a k k=128 3b k (par la propriété 2) = 2 k=128 a k + 3 k=128 b k (par la propriété 1) = 2(19) + 3(8) (par hypothèse) = 62 formules utiles noter que la borne inférieure de la variable fictive i est 1 pour les 3 formules 1) i=1n c = nc pour toute valeur de n ≥ 1 (c est une constante), 2) i=1n i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1,

3) i=1n i 2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1.

démonstration preuve par induction 1) i=1n c = c + c + c + c + c + ... + c (n fois) = nc 2) i=1n i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1

a) Vérifions que la proposition est vraie pour n = 1. i=11 i = 1(1 + 1) 2

1 = 1 (vraie pour n = 1)

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-5

puisque par hypothèse , la proposition est vraie pour n = k alors i=1k i = k(k + 1) 2

b) Démontrons que la proposition est vraie pour n = k + 1 lorsqu"elle est vraie pour n = k.

i=1k+1 i i=1k i + ( k + 1) k(k + 1) 2 + (k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) 2 = (k + 2)(k + 1) 2 () (k+ 1) + 1 (k + 1) 2 La proposition est toujours vraie pour n = k + 1 lorsqu"elle est vraie pour n = k. On conclut qu"elle est vraie pour toute valeur de n ≥ 1. 3) i=1n i 2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1

Prouver cette proposition par induction.

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-6

exemple 3.1.5 solutionÉvaluer j=117 9 ____________ j=117 9 = 17(9) (par la formule 1) exemple 3.1.6 solutionÉvaluer i=110

5 - 3i

____________ i=110

5 - 3i

i=110 5 i=110 3i (par la propriété 2) i=110 5 3 i=110 i (par la propriété 1) = 10(5) - 3 (( )) 10(11) 2 (par les formules 1 et 2) = 50 - 165 = -115

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-7

exemple 3.1.7

Évaluer

i=1n (2i + 1) ____________ rép: n(n + 2) exemple 3.1.8

Évaluer

i=1n

6(1 + i)

2 ____________ rép: n(2n 2 + 9n + 13)

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-8

exemple 3.1.9

Évaluer dans R_

lim n → ∞ ((( i=1n i n 2 ____________ rép: 1/2

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-9

Exercices 3.1

1. Évaluer chacune des sommes.

a)∑ k=14 1 kd) k=11000 (-1) k b) i=05 2 i e) k=1 100
() ⎷‾k - ⎷‾‾‾‾k - 1 c) j= -56 j 3 2. Si k=118 a k = 37 et k=118 b k = -83 alors trouver k=118 b k - 3a k utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi que les formules de la page 3-4

3. Évaluer chacune des sommes.

a) i=175 (2i - 1) b) k=120 (5 - 3k 2 utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi que les formules de la page 3-4

4. Calculer chacune des sommes.

a) i=1n (3 + 2i )c) i=1n i (3i - 2) b) j=1n (j 2 - 2j + 1) d) j=1n (2j - 1) 2 utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi que les formules de la page 3-4

5. Évaluer chacune des limites dans R_

a)lim n → ∞ i=1n (( )) i n 2 (( )) 1 n b)lim n → ∞ k=1n (( )) 2k n 2 (( )) 2 n

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-10

Réponses 3.1

1. a) 25/12 d) 0b) 63 e) 10c) 216

2. -194

3. a) 5625 b) -8510

4. a) n(4 + n) c)

n(2n - 1)(n + 1) 2 b)n(2n - 1)(n - 1)

6d)n(2n - 1)(2n + 1)

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