[PDF] notes de cours de PHYS 111 1 – Rappel (ou pas) : flux

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3

Th´eor`emedeGauss

1Rap pel(oupas):fluxd' unchamp devecteur set anglesolide

1.1Notionintuitive deflux

Essayonsdenousfaireunei mageintu itivedel anotiondeflux.Nou slad´eve lopperonset laformaliserons dansleparagr aphesui vant.

Soituneri vi`eredont nousvoulonsmesurerled´ebit ,c'est`ad irelevolu med'eauquipasseen untempsdonn´e

`atrav ersunesurface"d´etectr ice"quise raitpos´eeentravers ducourant(figure3.1).

Led´ ebitd´epend´evidem mentdelavitessedespar ticulesquicomposentlefluide.Noussupp osonspour sim-

plifierunevitessecon stanteeti dentiquepourtouslesvolum es´el´ementairesd'eau. Pourcom mencer,consid´erons

unepetit eportionded´etecteur ,desurfacedSquiserait perpendiculaireau vecteurvitesse!vdel'e au.

Figure3.1

Lev olumed'eaudVquivatra verser lasurfacedSpendantuntempsdtnousdonnera led´ebit`atravers cette surface´el´ementaire .Ceseradoncun"d´ebit´el´ementaire"dD= dV dt (onpeut aussiprendredt=1setjuste calculerlevolume).

Pourcalcule rcevolume,ilsu!tde sedire queled erniervolume ´el´ement airequi traverseralasurfacedS

seraceluiqui aurajustelavite ssesu!santepourcefair e,c'est`a direc eluiquiparcourera ladistancedL=v·dt

etarriv eraauniveaudedSjusteavantlafind el'intervalle detem psdt.Tou sles´el´e mentsdev olumequisont

39

40Chapitre3-Th´eor`emedeGau ss

situ´esentreluietlas urfacevontr´euss ir`apasser .Levolum edVseradoncdV=dL·dS=v·dt·dS.

Pourobtenir led´ebittotaldufleuv e,ilfau tsommer(int´egrer)l ed´ebitd el'eaup assantpartouteslessur faces

´el´ementairesdSquiconstit uentled´etecteur.

Quesepass e-t-il siled´etecteurn'estplusper pendic ulaire aucourant,c'est`adirequ'ilaunangle avecle

vecteurvitesse!v?Ce casdefi gureest repr´e sent´esurle sch´ema3.2

Figure3.2

Lalon gueurdLesttoujour s´egale`av·dt,mai slaformed uvolume dVach ang´e.Onpeutassezfacile ment

voirquedV=dS·cos"·dL=dS·cos"·v·dt.Ene"et,lecyl indre( uncylindren'apasforc´emen tunebase

circulaire)queconstituedVamai ntenantunebasedontlasurface estdS·cos"(voirfigure3.3).

Figure3.3

Onpeut remarquerque, sil'onconsid`erelevecteur unitairenormal `alasu rfacedSetappel ´e!n,ona

dS·v·cos"=dS·!n·!v.Ce produi tscalaireestappel´eleflu xduvecteur!v`atra verslasurface´el´ement airedS.

Led´ ebit´el´ementaire` atraversdSpeutalorss'´e criredD=dS·cos"·v=dS!n·!v,c' est´egalementl'ex pression

duflux! Cecin'estvrai queparcequen ouscherchionsled´ ebitvolum ique(quel volumed'eaupas separunit´ ede

temps`atraversn otred´ etecteur).Sinousavionsv ouluund´ebit massique(quellemassed'eaupasseparunit´e

detemp s`atraversnotre d´etec teur),nousaurionsmultip li´elefluxpar ladensit´evolumiquedel'eau.

1.2Flux ´el´ementaire

Nousallons g´en´eraliser lanotiondefluxaper¸cuepr´ec´edemment.S oitunch ampdevecteurs A.On consid`ereunesurface´el´emen tairedSautourd'unpoint Md'unesurfacecompl `eteS(figure3.4).La

surface´el´ementaire estorient´ee,c'est`adirequ'onpeutdis tinguerles deuxfaces:audessusetendessous

oubi enint´erieu retext´erieur.Ond´efinitlevect euruni taire!nnormal`adS,et sonsen sd´efin itl'orientation

Outilsmath´ ematiques

1-R app el(oupas):fluxd'u nchampdeve cteursetanglesol ide 41

delasu rface.O nd´efinit´egalementleve cteurs urface´el´ementaire dS=dS.!n.

Figure3.4:Flux´el ´ementaired'u nchamp

A`atrave rsunesurface

dS Leflux´el´e mentaired#estlepro duitsc alaireduvecteurchampd´e finiaupointM,

A(M)aveclevecteur

surface´el´ementaire dS: d#=

A(M).!ndS(3.1)

Si"estl'anglee ntre

A(M)et!n,le flux´e l´ementair epeuts'´ecrired#= A(M) !cos(")dS.Com me A(M) !>0etdS>0,ona troi scas enfonctiondel 'angle": -si A(M)es tdirig´ev erslemˆemecot´edelasu rfaceque!n,ona d#>0 -si A(M)es tdirig´e verslecot´eoppos´e`a!n,ona d#<0 -si A(M)es tdirig´es elonlasurface,c'est`ad ireperpendi culaire `a!n,ona d#=0 Figure3.5:Signedufl ux´el´ementaire d'unch amp

A`atrave rsunesurface

dS

1.3Flux total`atraversunesurf ace

Leflu xtotal`atra versunesu rfaceSestlasomme desflu x´el´ementair es: S d#= S

A(M).!n(M)dS(3.2)

42Chapitre3-Th´eor`emedeGau ss

Figure3.6:Fluxd'u nchampdevect eurs`atraversu nesurfaceS Pourunesur faceferm´e e$,qu id´efinitu nvolumeint´erieurV ,onc hoi sitd'orientertousles vecteurs!n versl'ext´ erieurdeV .Lefl ux estalorsappe l´e"sortant".

1.4Angles olide

Lanot iond'anglesolide ,tr`esimportante danscequivasuivre, m´eriteunpetitr appel.Ils'agitdel'ex- tensiondelanotiond'an gle`atr oisdim ensions. Mesured'unangle":soi tuncercle derayon R,la valeur del'angleestlerapp ortent relalongueurs

del'ar cdecercleint ercept ´epardeuxrayonss´ep ar´esdecetangleetlerayonR:"=s/R.Ilestmesur´e

enradian s(sansdimension).

Anglesolidec'estl'extension `atroisdimensionsdelad´efinitionp r´ec´ edente:soitun esph`erede

rayonR,la valeurd el'anglesolide%estlerappor tentre lasurfaceSdelasp h`erei ntercept´eepar lecˆon edesommetO(centredelasph`ere)et leray onRaucar r´e:%=S/R 2 .Lec ˆone n'estpas

forc´ementuncˆoneder´evolution (voirfigu re3.7).Onpe utvoirl 'anglesolidecom melasurfac esur

laquelleseprojetteunob jetque lconquesurunesph`ereunit ´elorsq u'ilestvudu centredelasph`ere. Figure3.7:D ´efinitiondel'anglesolide!(figurededroite). Silasp h`ereaunrayonR=1,lavaleurdel'angle solideestS.La figurede gaucheillust redeux anglessolidesdi"´erents,pasuniquement avecuncˆo ne der´evo lution. L'unit´ed'anglesolideestl est´eradian(not´e "sr"),etilestsans dimension.

Cas´el´ ementaire.Pou rlesutili sationsqui vontsuivre,nousavonsbesoinded´efin irl'anglesol ide

´el´ementaire.Ils'agitdel'anglesolidesouslequ elonvoit unesurface´e l´emen tairedS.C ommerepr´esen t´e

surlafigur e3.8,ce ttesurfaceestque lconque,danscetexem pleellees tinclin´eed'unangle"parrappor t `alape rpend iculaire`alalignedevis´ee(repr´esent´eeparle vecte urunit aire!u= OM/ OM

2-T h´eo r`emedeGauss43

Figure3.8:Angleso lide´el´ementai red!souslequelon voitunesurfacedSquiestinclin ´eed 'unangle"par

rapport`alaperpen dicula ire`al alignedevis´ee OM. Lapr ojectiondedSperpendiculairement`alalignedevis´eeestlasurfaced#etona d#=dS.cos"(3.3) Onnoter a!nlevect eurunitaireperpendicu laire`adS,et dS=!n.dSlevect eursurface´el´ementair e.Sion noter= OM !ladis tanceOM,l' anglesolide´el´em entaired%secalc uled'apr`eslad´efini tion: d%= d# r 2 dS.cos" r 2 !u.!n.dS r 2 (3.4)

Retrouverl'expressiondel' anglesolided´elimit´eparuncˆoneder´ev olution de1/2angleausommet$

Recherchepersonnelle

2Th ´eor`emedeGauss

2.1Approc heintuitive

Co¨ıncidences

Soitunech argeponctuel leQsitu´eeenM.Con sid´eronsunesph`ereScentr´eesurMetdera yonr.Ch erchons

`acalcu lerlefluxduchampcr´e´e parQ`atrav erslasph`ereS.En unpoint Pdelasp h`ere ,lechamp´electrostatique

estdirig´ eradialementselon MP.Pou runeporti ondesurface ´el´ementairede S,qu enousappelon sdS(voir

figure3.9),leve cteurn ormal!nest´egaleme ntradial.Doncleflux´el´emen taireautourd'unpoi ntMsurla sph`ere

est d#=

E(M)·

dS= Q 4%& 0 r 2 !u·!n·dS= Q 4%& 0 r 2

·dS(3.5)

car!u= MP MP et!nsontunitair esetcolin´eaires. Sionsomm etou slespetits´ el´ements deflux,ilf autlefairesurl'ense mbledelasph`ere.Onobtient Q 4%& 0 r 2 sphere dS= Q 4%& 0 r 2

·4%r

2 Q 0 (3.6)

44Chapitre3-Th´eor`emedeGau ss

Figure3.9:Illustrat ionduflux´el´ementaired'unchamp´el ectros tatique Ecr´e´eparunecharge Qplac´eeenM`atrave rs unesurfaces ph´eriqueS

Carlasu rfacede lasph`ereS=

sphere dS=4%r 2 .Il estrem arquableque l'expressiondufluxned´epend e pasder,c equivi entbiensˆ urdelad´ependan ceduchampen1/r 2

Consid´eronsmaintenantunecharger´ep artieuniform´ementsurunfil infini.Pard esargumentsde sym´etrie,

quenousavon sd´evelopp ´eauchapitre2,onm ontr equelechamp´ele ctrostatiqu eestpe rpendiculair eaufil

(regardezbienlafigure3.13).Sonin tensit ´epeutsecalculerdirectement(vou sleferezsans douteen T.D.)et

l'onobtient E(M)= 2%& 0 r !u(3.7)

o`u!uestunvec teurun itaireperpendiculaireau fildansladirection(fil-p ointM)et'estladensit ´elin ´eique

decharge surlefil.

Calculons,commepourlasph`er e,lefluxducham p`atrave rsuncy lindrecentr´esurlefil,de rayonr.On fait

dececy lindre unesurfaceferm´eeenyajout antdesbouc hons(voirencorelafigure 3.13).Leflux duc hampest

alorslasomm edesflu xsurlecylind reetsurl esbouchons: S surfacecylindriqueferm ´ee E· dS= S cylindre E. dS+ S bouchons E· dS

Leve cteur

dS=dS·!nesttoujour spard´efinitionnormal`a lasur face.Surlesbouchons,ilestdoncc olin´eaire aufil etsur lecorps ducylindr eperp endiculaireaufi l.Doncl eproduitscalaire E· dSestnulsu rlesbouchon s et´egal` a E· dS= E dS !=E·dSsurlecorp sducyl indre,etcequ elque soitlapositiondelasurface

´el´ementairedS.Lefl uxe stdonc

S cylindre E. dS= S cylindre

E·dS=

S cylindre 2%& 0 r

·dS

L'´el´ementdesurfacedSpeuts'exprim erencoordonn´eescylindriqueslel ongdufi ldS=r·d$·dz.Pou r

cefaire ,onplaceunsyst`e med 'axescylindri quetel quel'originesoitsurl'undes bouchons.dzestun ´el´ ement

infinit´esimaldel'axezquenouspl a¸conslelong dufil,$estl'anglee ntreunaxexetladi recti onradialedufil

verslepointMo`usetrou vedS.Lefl ux estalors:

2-T h´eo r`emedeGauss45

S cylindre 2%& 0 r

·rd$dz

2%& 0 2! 0 d$ L 0 dz o`uLrepr´esentelalongueurducylindre.Fi nalemen t,apr`esint´egration: 2%& 0

·2%L=

'L 0 (3.8)

o`u'Ln'estriend'autr equelachargetot ale(densit´elin´ei quedecharge multi pli´eeparlongue ur)quise

trouve`al'int´er ieurde lasurface.

Bref,onaunebel leco¨ı nci denceo`u,d ansdeuxcasdi!´erents(sph`ereau tourd'unechargeponctuell eet

cylindreautourd'unfilin finicharg´e),lefluxdu champ´electros tatique `atraversunesurf aceferm´eed´efinie

autourd'unensembledech argesest´egal,`a uneconstantepr `es,`al achargetotalec ontenu e`al'int´erieu rdela

surface. Cecin'estpas uneco¨ıncidence etnous allonsleg´e n´eraliser.

Mod`eleillustrantleth ´eor`eme

Avantdenousat taquerf rontalemen t`alad´emonstration,d onnonsunmod`elequinouspermettra deraison ner

ensuitepartransposition. Imaginonsunesourceponct uelledegr ainsdelumi`ere(d esphotons)qui´emetdanstoutesl esdire ctionsde

fa¸conisotrope( vouspouvezpenser`al asourcecomme`a une´etoile).Cons id´eronsunesurfacef erm´ee quelcon que

Squientoure cettesource.Lasource ´emetQphotonsparsecondedan stoutes lesdirections.Consi d´eronsun e

directionparticuli`ered´e finieparunvecteurunitaire!uetlasu rface´e l´ementairedSsurSquiest"touc h´ee"par

desphotons partantautourdeladi rectiond´efiniep ar!u.On suppos equedSest`auned istance rdelasou rce.

SidSestperpen diculaire`a!u,le nombre dephotonsquitouche ntdSparsecon deest: dN=Q· dS surfacedelasph`ere derayon r =Q· dS 4%r 2 (3.9) Silasu rfacedSn'estpasperpend iculair e`aladirection!u,nou savonslem ˆemeprobl`eme quedan slecas

dud´et ecteurinclin´emesurantlefluxde courantd'unerivi`ere(voirc i-dessus).Nousdevonsteni rcompt edela

surfacedSprojet´eesurladirectionper pendicul aire`a!u.Len ombr edephotonstraver santdSestalors dN=Q· dS·cos($) 4%r 2 (3.10)

Sil'ond ´efinitlev ecteur

dS=dS·!ncommecolin´eair eauvecteurnormale!n`alas urface, onadS·cos($)= dS·!u et dN=Q· dS·!u 4%r 2 Q 4%r 2 !u· dS

Lepr emiertermeduproduit,

G= Q 4!r 2 !uressemblefurieusement`al'e xpressiond'unchamp´electrostatique! Ilaurae xactement lesmˆemespropri´et´esmath´em atiques.

46Chapitre3-Th´eor`emedeGau ss

Figure3.10:Mod`eleill ustrantleth´eor`emedeG auss.Unesourcelumineuseenvo iedesp hotonsdefa¸conisotropeavec

unfluxtotal Q.Un esurfaceferm ´eeSentourantenti`erementlaso urceestconsid´er´ee.Surlafigure,on

montrelasurface´e corch´e epourdesraisons decompr´ehension.

Sionappe ll eceterme

G,le nombre dephotonsparseconde dNpeuts'interp r´etercommeunflux´el´ementaire dN= Q 4%r 2 !u· dS= G· dS=d#(3.11) Sionsomm ele nombredephoton sparsec ondesurtoutelasur face,on vaobtenirlefluxtot al`atr aversla

surface,etpuisqu'iln' yaqu' uneseulesourceetqu'elle´eme tQphotonsparseconde, etquel asurfacel'entoure

enti`erement,ondoitretrouvercenombreQ: Q= surface dN= surface G· dS=#(3.12)

Ontrouv edefa¸connaturelle ,quel efluxduvecteu rG`atrav ersunesurfacequelconqueentourantla"charge"

Qest´egal`a Q.Lac onst antedeproportionalit´eest letemp spendantlequeloncomptelesphotonsquipasse nt,

c'est`a dire1s. Etsila charge´e tait`al 'ext´erieur delasurface?Leflu xestd´ efinicomme G· dSet dSestunv ecte urdirig´e versl'ext´erieurdelasu rface.D oncsi

Gestentrant et

dSsortant,leproduitscal airese ran´egatif.Autrement dit,oncompter an´ egativementlesphotonsqui entrentetpositivementlesphotonsquis ortent.Etc ommela sourceest`al'ex´ erieurde lasurf ace,siunphotonentredanslasurface,ildoi tensort ir.Lefl uxtotalde G`a traverslasurfaceseranu l!

Onpeut continuerler aisonnementenposantplusieur scharges `al'int´erieuro`u`al'ext´erie urdel asurface,

maisnousallon sfairelad´ emonstrationri goureuse.

2.2Flux duchamp´electrostatiquecr ´e´ epar unechargeponctuelle

Chargeponctuell eQsitu´eeenO.Ch ampenunpointM(avec!u= OM/ OM E(M)= Q 4%& 0 r 2 !u(3.13)

2-T h´eo r`emedeGauss47

Flux´el´emen taire

Leflu xduchamp´ electr ostatique`atr aversunesurface´el´ementairedSquelconquedontlecentreestaupoi nt

Mest d#= E(M). dS= Q 4%"esdbs_dbs25.pdfusesText_31

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