[PDF] Formes quadratiques. Espaces euclidiens

View - Download Formes quadratiques. Espaces euclidiens

Previous PDF

Next PDF

Formes quadratiques. Espaces euclidiens

d"apr`es O. Simon, Universit´e de Rennes 1

4 d´ecembre 2006

Etant donn´esn?N?,Kun corps commutatif etEun K-e.v. de dimension finien, on noteL(E,E) le

K-e.v. des endomorphismes deEetMn(K), l"anneau des matrices carr´ees d"ordren`a coefficients dansK.

1 Rapport entre endomorphisme, forme bilin´eaire et matrice

D´efinition 1.1Une forme bilin´eaireest une applicationφdeE×EdansKtelle que -?x,y,z?E, φ(x+y,z) =φ(x,z) +φ(y,z) -?x,y,z?E, φ(x,y+z) =φ(x,y) +φ(x,z) -?x,y?E,?λ?K, φ(λx,y) =λφ(x,y) -?x,y?E,?λ?K, φ(x,λy) =λφ(x,y) On noteFB(E)l"ensemble des formes bilin´eaires surE×E.FB(E)est un K-e.v.

Siφ?FB(E)v´erifie :

?(x,y)?E2, φ(x,y) =φ(y,x) on dit queφest une forme bilin´eaire sym´etriquesurE. On noteFBS(E)l"ensemble des formes bilin´eaires sym´etriques surE.FBS(E)est un K-e.v. Une forme bilin´eaire est lin´eaire par rapport `a chacune de ses variables. Proposition 1.2Si on choisit une base deE,B= (ei)i=1,...,n, on a deux bijections naturelles : u?-→MB(u)φ?-→MB(φ) o`uMB(u) = (u(e1),...,u(en))etMB(φ) = (φ(ei,ej)). La restriction deγB`aFBS(E)induit une bijection sur l"ensembleSn(K)des matrices sym´etriques.

Proposition 1.3Ecriture matricielle

Soientu?L(E,E),φ?FB(E),(x,y)?E2. Si on choisit une baseBdeE, siXB,YBsont les vecteurs

colonnes repr´esentantx,ydans cette base, on a (en identifiant, de mani`ere classique, une matrice carr´ee

d"ordre 1 avec son unique coefficient) : -u(x) =MB(u)XB -φ(x,y) =tXBMB(φ)YB

Les applicationsu,φont des d´efinitions intrins`eques, leurs valeurs pour un vecteur donn´e sont ind´ependantes

du choix de la base. Mais selon ce choix, elles ont des ´ecritures diff´erentes. D´efinition 1.4SoientB1etB2deux bases deE. On appelle matrice de passage deB1`aB2, la matriceP dont les colonnes sont les vecteurs deB2exprim´es dans la baseB1.

Pour un ´el´ement donn´ex?E, siX1etX2d´esignent respectivement les coordonn´ees dexdans l"ancienne

base et la nouvelle base , on a la relation matricielle : X 1=PX2 Il faut noter que cette relation exprime les anciennescoordonn´ees en fonction des nouvelles.

Proposition 1.5SoientM?Mn(K)et une baseB1deE.Mpeut ˆetre consid´er´ee comme la matrice, dans

cette base, d"un endomorphismeuou d"une forme bilin´eaireφ:M=MB1(u) =MB1(φ). SiB2est une autre base, alors on a : M

B2(u) =P-1MB1PetMB2(φ) =tPMB1P

1 2 En effet,?(x,y)?E2,φ(x,y) =tX1MB1Y1=t(PX2)MB1PY2=tX2(tPMB1P)Y2.

En g´en´eral,P-1?=tPet donc, `a partir de la mˆeme matriceMB1, on obtient deux matrices diff´erentes,

M

B2(u), MB2(φ).

Pour une forme bilin´eaire,MB1etMB2ne sont pas forc´ement semblables. Proposition 1.6Soit une forme bilin´eaireφ, et soientˆφet˜φles applications :

E-→E?=L(E,K)E-→E?

x?-→φ(x,.)y?-→φ(.,y) alors, ˆφet˜φsont des applications lin´eaires. touti, j,e?i(ej) = 0 sii?=jete?i(ei) = 1.

SiMest la matrice deφdans la baseB, alors la matrice deˆφesttMet celle de˜φestM. En effet, si

y=?n k=1ykek, alors, pout toutide{1,···,n},

φ(ei)(y) =φ(ei,y) =n?

k=1y kφ(ei,ek) =n? k=1φ(ei,ek)e?k(y)

D"apr`es le calcul de changement de bases, on sait que le rang de la matrice d"une forme bilin´eaire est

ind´ependant de la base choisie.

D´efinition 1.7On appelle rang d"une forme bilin´eaireφ, le rang, dans une base donn´ee de la matrice

M

B(φ). On noterang(φ).

On remarque querang(φ) =rang(ˆφ) =rang(˜φ).

D´efinition 1.8Une forme bilin´eaire, est dite non d´eg´en´er´eesi son rang est maximum, c"est-`a-dire ´egal `a

la dimensionndeE. D´efinition 1.9Soit une forme bilin´eaire sym´etriqueφ, - on dit que des ´el´ementsx,ydeEsont orthogonaux pourφ, siφ(x,y) = 0.

- siFest un sous-ensemble deE, on d´efinit l"orthogonal deFpourφ, not´eF?, comme l"ensemble des

vecteurs deEorthogonaux `a tous les ´el´ements deF:F?={y?E| ?x?F,φ(x,y) = 0}.F?est un s.e.v. deE. - on appelle noyau de la forme bilin´eaire sym´etriqueφl"ensemble E ?=N(φ) ={y?E| ?x?E,φ(x,y) = 0}

Par lin´earit´e, pour tout sous-ensembleF, on aF?= (< F >))?o`u< F >d´esigne le s.e.v. deEengendr´e

parF.

Pour toutA?E, on aN(φ)?A?.

On aN(φ) =Ker(˜φ).

Proposition 1.10Soit une forme bilin´eaireφ. On a : dim(E) =dim(N(φ)) +rang(φ)

Th´eor`eme 1.11Siφest une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee, pour tout s.e.v.F, on a

dimF+dimF?=dimE Ce th´eor`eme n"implique pas queF∩F?={0}. Chercher des contre-exemples. D´efinition 1.12SiKest un corps ordonn´e, une forme bilin´eaire, est dite - positivesi pour toutx?E,φ(x,x)≥0 - d´efinie positivesi elle est positive et si pour toutxdeE,φ(x,x) = 0?x= 0.

Remarque :Il n"y a pas d"ordre "naturel" surC.

3

D´efinition 1.13SiKest un corps ordonn´e, on appelle produit scalairesur unK-espace vectorielE, toute

forme bilin´eaire sym´etriqueφd´efinie positive. On dit queEest muni du produit scalaireφ.

Exercice: Siφest d´efinie positive montrer qu"elle est non d´eg´en´er´ee.

orthogonale pourφsi, pour tout couple(i,j)tel quei?=j, φ(ei,ej) = 0. On dit queBest orthonorm´ee pourφsi elle est orthogonale et si de plus, pour touti? {1,...,n},:φ(ei,ei) = 1.

Sur un corps ordonn´e, s"il existe une base orthonorm´ee pourφ, alorsφest d´efinie positive, sym´etrique.

x?E, on ax=?n i=1φ(x,ei)ei

Proposition 1.15Sicar(K)?= 2, pour toute forme bilin´eaire sym´etriqueφ, il existe une base orthogonale.

Donnedu p.36, par r´ecurrence. Grifone seulement pour les produits scalaires. D´efinition 1.16On dit queM?Mn(K)est une matrice orthogonalesi : tMM=In

Proposition 1.17SiMest orthogonale, alors

-det(M) =±1 -Mest inversible etM-1=tM tMest orthogonale ettMM=MtM=In

D´efinition 1.18On appelle groupe orthogonal d"ordren, le groupe multiplicatif des matrices orthogonales

deMn(K),

O(n,K) ={M?Mn(K)|tMM=In}

SiM?O(n,K)etdet(M) = 1, on dit queMest orthogonale directe, et on note

SO(n,K) =O+(n,K) ={M?O(n,K)|det(M) = 1}

Le sous-groupeSO(n,K)deO(n,K)est appel´e groupe sp´ecial orthogonal, appel´e aussi groupe des rotations.

Proposition 1.19La matrice de passage d"une base orthonorm´ee `a une autre base orthonorm´ee est une

matrice orthogonale.

Soient en effetB1= (ei) etB2= (Vi) deux bases orthomorm´ees pourφetP:B1→B2(matrice de passage).

Avec les abus d"´ecriture usuels, on aP= (V1,V2,...,Vn). Notonsxi1,···,xinles coordonn´ees deV1

dansB1:Vi=?n k=1xikek. On a alors, d"une parttViVj=?n k=1xikxjk, et d"autre part,φ(Vi,Vj) =

φ(?n

k=1xikek,?n k=1xjkek) =?n k=1xikxjk, carB1est orthonorm´ee. Comme de plusB2est orthorm´ee pour

φ, on a finalement bientPP=In.

2 Formes quadratiques

D´efinition 2.1Une applicationq:E-→Kest une forme quadratique surEsi l"une des conditions

´equivalentes suivantes est v´erifi´ee :

1. il existe une forme bilin´eaire sym´etriqueφsurE×Etelle que

?x?E, q(x) =φ(x,x)

2.qest une application deEdansKs"exprimant comme un polynˆome de degr´e 2, homog`ene en les

coordonn´ees, dans une base donn´ee deE. On noteFQ(E) l"ensemble des formes quadratiques surE.

Pour toute baseB= (Vi)i=1,...ndeE, six?Eetx=(

((((x 1 x 2 x n) ))))dans la baseB, alors q(x) =q(n? i=1x iVi) =n? i=1x

2iq(Vi) + 2?

ixjφ(Vi,Vj).

Selon la base choisie, la valeurq(x) =?

i,jaijxixja des ´ecritures diff´erentes. 4

Proposition 2.2Soientqune forme quadratique etφune forme bilin´eaire sym´etrique la d´efinissant, alors :

-φest unique et est appel´ee la forme polaire associ´ee `aq?x,y?E, φ(x,y) =12 (q(x+y)-q(x)-q(y))(formule de polarisation)

On a une bijection :

π:FQ(E)-→FBS(E)

- Pour toute baseBdeE, on a une bijection

FQ(E)-→Sn(K)

On noteMB(q) =MB(φ).

-?x?E,?λ?K, q(λx) =λ2q(x)

D´efinition 2.3Pour une forme quadratiqueq, on a les d´efinitions associ´ees `a sa forme polaireφ:

- Le rang(resp. le noyau) d"une forme quadratiqueqest celui de sa forme polaire.

- Une forme quadratique est qualifi´ee de non d´eg´en´er´eeou de positiveou encore de d´efinie positivesi sa

forme polaire l"est. - L"orthogonalit´e au sens d"une forme quadratique est celle au sens de sa forme polaire.

Th´eor`eme 2.4(In´egalit´e de Cauchy - Schwarz) SiK=R, soitqune forme quadratique positive etφsa

forme polaire. Alors, Th´eor`eme 2.5(In´egalit´e de Minkowski) SiK=R, soitqune forme quadratique positive. Alors, C"est une g´en´eralisation de l"in´egalit´e triangulaire. Th´eor`eme 2.6(Th´eor`eme de Pythagore) Soientqune forme quadratique surEetx,ydansE. Alors :xetysont orthogonaux si et seulement siq(x+y) =q(x) +q(y)(ou encore si et seulement si q(x-y) =q(x) +q(y)). D´efinition 2.7Soitqune forme quadratique surE.

On dit quexest un vecteur isotrope pourqsiq(x) = 0. On appelle cˆone isotropeet on noteI(q)l"ensemble

des vecteurs isotropes pourq.

On aN(q)?I(q).

Exercice: SoientE=R2etq(x) =x21-x22. Calculerrang(q), N(q), I(q).

Th´eor`eme 2.8(R´eduction en carr´es) Soitqune forme quadratique de rangr, alors c"est une combinaison

lin´eaire `a coefficients non nuls dercarr´es de formes lin´eaires ind´ependantes. Franchini. Voir, en exercices, la m´ethode de r´eduction de Gauss.

Th´eor`eme 2.9Loi d"inertie de Sylvester.

SoientEunR-e.v. de dimensionnetqune forme quadratique de rangret de forme polaireφ. Alors, il i=1xiei, q(x) =p? i=1x 2i-r? i=p+1x 2i i=1yifi, etq(x) =m? i=1y 2i-r? i=m+1y

2i, on am=p.

Donnedu p.76

D´efinition 2.10On appelle signature d"une forme quadratiqueqle couple d"entiers(p,s)tel que, dans une

d´ecomposition en carr´es ind´ependants,pest le nombre de termes positifs etsle nombre de termes n´egatifs.

On ap+s=r=rang(q).

5

3 Espace euclidien.

Matrices sym´etriques `a coefficients r´eels,Sn(R)

D´efinition 3.1On appelle espace pr´ehilbertien r´eeltoutR-e.v. E, muni d"un produit scalaire.

On appelle espace euclidientoutR-e.v. E, de dimension finie, muni d"un produit scalaire.

Siφd´esigne le produit scalaire, on note, pour (x,y)?E2,φ(x,y) =< x,y >; d"o`u la notation pour d´esigner

un espace pr´ehilbertien r´eel ou euclidien : (E,<,>). SoitEun espace pr´ehilbertien r´eel. On a les notions de norme et de distance : ?x?E,?x?2=< x,x >, d(x,y) =?x-y?

Proposition 3.2Dans un espace euclidien, il existe au moins une base orthonorm´ee pour le produit scalaire.

A partir d"une base quelconque, on peut en obtenir une par le proc´ed´e d"orthonormalisation de Schmidt.(voir en exercice)

On a la traduction du th´eor`eme de Pythagore et des in´egalit´es avec des pr´ecisions : Th´eor`eme 3.3Soit(E,<,>)un espace euclidien. Alors,

1. (th´eor`eme de Pythagore) Soit(x,y)?E2. Les vecteursxetysont orthogonaux si et seulement si

?x+y?2=?x?2+?y?2(ou encore si et seulement si?x-y?2=?x?2+?y?2). sixetysont li´es.

3. (in´egalit´e de Minkowski)

Avec l"´egalit´e si et seulement si?

?x= 0 ou ?λ≥0, y=λx Proposition 3.4Soit(E,<,>)un espace euclidien, alors, pour tout s.e.v.F, on a

F?F?=E

D´efinition 3.5Soit(E,<,>)un espace euclidien. Pour tout s.e.v.F, on d´efinitPFla projection orthogo-

nale surF(i.e. parall`element `aF?) etSFla sym´etrie orthogonale par rapport `aFpar : six=x1+x2avec

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] Une approche bilinguiste du contact des langues - Hal

[PDF] English Bill of Rights 1689

[PDF] Déclaration des droits / Bill of rights Angleterre, 13 février 1689

[PDF] Cahier technique 3 Bandes - Fédération Française de Billard

[PDF] Techniques et trucs de billard - Sogides

[PDF] cahier technique du joueur débutant - Fédération Française de Billard

[PDF] dynamique des billards - Institut Fourier

[PDF] Championnat de France snooker Cadets - District Aisne De Billard

[PDF] Paramètres d 'exécution Un autre système Numérotation 2 bandes

[PDF] La lettre de change - Les clés de la banque

[PDF] Contre cette LETTRE DE CHANGE stipulée SANS FRAIS Veuillez

[PDF] Guide tarifaire - Viamomelun

[PDF] Voyageurs | tgv pro première - Voyages-sncfcom

[PDF] bon de commande - LE MANSorg | Billetterie officielle - ACO

[PDF] https://wwweventbritefr/e/billets-tour-de-france-des - Douane