[PDF] Calcul intégral 1 Intégrale et aire

View - Download Calcul intégral 1 Intégrale et aire

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 6Calcul intégral

1 Intégrale et aire

1.1 Intégrale d"une fonction continue positive sur un intervalle[a;b]

Définition:L"unité d"aire

SoitPun plan muni d"un repère orthogonal(O;~{; ~|).

SoientI,J, etKles points définis par :

¡!OI=~i;¡!OJ=~jet¡¡!OK=~i+~j

On appelleunité d"aire(notée en abrégé u.a) l"unité de mesures des aires telle que :

Aire(rectangleOIKJ)= 1 u.a.~~j

IJ K xy O

1 u.a.

Remarques :

²OIKJpeut-être un carré lorsque le repère(O;~{; ~|)est orthonormé.

²Si l"on a, par exemple,OI= 3cm etOJ=2 cm, alors une unité d"aire correspond à 6 cm2(1u:a:= 6cm2).

Dans tout le chapitre, le plan est muni d"un repère orthogonal(O;~{; ~|).

Définition:

Soient :

²aetbdeux réels aveca6b.

²fune fonction continue et positive sur l"intervalle[a;b]. On appelleintégrale deaàbdef, l"aire, exprimée en u.a., du domaineDsuivant :

D=fM(x;y)2Ptels quea6x6bet06y6f(x)g

(Dest le domaine délimité par la courbe def, l"axe des abscisses et les deux droites verticales d"équationsx=aetx=b)

On note cette quantité :

Z b a f(x)dx -1123456 -1 1 2 abC f D

Remarques :

²Dans l"écritureZ

b a

f(x)dx, la variablex(outou autre) est "muette"; elle peut-être remplacée par toute autre lettre.

On a aussi bien :

Z b a f(x)dx=Z b a f(t)dt=Z b a f(u)du. ²Le symboledxne joue aucun rôle pour le moment, si ce de préciser quelle est la variable.

1.2 Premiers exemples

On considère un repère orthonormal(O;~{; ~|)aveck~ik=k~jk= 1cm. Ainsi,1.u.a. = 1 cm2. a.

Cas d"une fonction constante et positive.-1123456

-1 1 2 abC f y=kk Sifest constante et positive égale àksur[a;b], alorsZ b a f(x)dx=k(b¡a). On a simplement appliqué la formule pour calculer l"aire du rectangle). b.

Cas d"une fonction affine positive-1123456

-1 1 2 abC f y=mx+p

Sifest affine positive sur[a;b], alorsZ

b a f(x)dxest l"aire du trapèze. c.

Cas d"une parabole

On a vu dans l"activité "aire sous une parabole" que cette aire est la limite commune de deux suites adjacentes :

l"une(Sn)égale à la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et l"autre(S0n)égale à la somme des aires

des rectangles situés au dessus de la courbe. 1 1 y=x2 O

Dans l"activité, on a montré que :

8n>2,Sn=123n2

n¡1X k=0k

2=16(2

n¡1)(2n+1¡1)22net queS0n=123n2 nX k=1k

2=16(2

n+ 1)(2n+1+ 1)22n.

Or,8n>2,1

6 (2 n¡1)(2n+1¡1) 2 2n=1 6 2 nµ

1¡1

2

£2nµ

2¡1

2 2 2n=1 6

1¡µ1

2 n¸·

2¡µ1

2 n¸

Comme,limn!+1µ

1 2 n = 0,limn!+1Sn=2 6 =1 3

Alors,

Z 1 0 x2dx= =1 3 d. Cas d"une fonction en escalier (toujours supposée positive)a=a0a1a2a3a4a5=bl 0 l 1l 2 l 3 l 4 fest une fonction en escalier et positive sur[a;b].

Il s"agit d"une fonction constante égale à¸isur chaque intervalle]ai;ai+1[oùa=a0< a1< a2< ::: < an¡1<

a n=bet prenant n"importe quelle valeur enai.

Alors,Z

b a f(x)dx=n¡1X i=0¸ i(ai+1¡ai): c"est la somme des aires des rectangles de largeurai+1¡aiet de hauteur¸i. e.

On montre que l"on peut toujours calculer l"intégrale d"une fonction continue et positive sur[a;b]comme la limite

de deux suites adjacentes construites de la façon suivante : On subdivise l"intervalle[a;b]en2nintervalles tous de largeurb¡a 2 n. On définit alors deux suites de fonc- tions en escalier(sn)et(s0n)telles que,8x2[a;b],sn(x)6f(x)6s0n(x).

Les fonctionssnsont les fonctions en escalier dont les courbes sont situées sous celle defet les fonctionss0nsont

les fonctions en escalier dont les courbes sont situées au dessus de celle def. S

nest alors l"aire sous la courbe desn: c"est la somme des aires des rectangles situés sous la courbe def.

S

0nest alors l"aire sous la courbe des0n: c"est la somme des aires des rectangles situés au dessus de la courbe def.

Les suites(Sn)etS0n)sont alors adjacente et de limite communesZ b a f(x)dx. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3

1.3 Extension aux fonctions de signe quelconque sur un intervalle[a;b]

Définition:Cas d"une fonction négative

Soitfune fonction continue négative sur un intervalle[a;b]. L"intégrale deaàbdefest l"opposé de l"aire, exprimée en u.a., du domaineDsuivant :

D=fM(x;y)2Ptels quea6x6betf(x)6y60g

Cette quantité est notée

Z b a f(x)dx. Autrement dit, lorsquefest négative sur[a;b], on a : Z b a f(x)dx=¡Z b a jf(x)jdx

Exercice :

Montrer queZ

1 0 (¡2x¡2)dx=¡3. Définition:Cas d"une fonction de signe quelconque Soitfune fonction continue sur un intervalle[a;b]. SoitCsa courbe représentative.

SoitA1(resp.A2) l"aire de la partie du plan délimité parC, l"axe des abscisses et les deux droites verticales

d"équationx=aetx=bet située au dessus (resp. au dessous) de l"axe des abscisses.

L"intégrale deaàbdefest alorsZ

b a f(x)dx=A1¡A2

En d"autres termes,

Z b a f(x)dxse calcule en comptant positivement l"aire des domaines oùfest positive et négative- ment l"aire des domaines oùfest négative.

Exemples :

-1123456 -2 -1 1 Cf a bOA 1 A2

Exercice :

1.CalculerI=Z

5 2 (x¡3)dx, puis calculer l"aire du domaine hachuré.

2.CalculerZ

1 0p

1¡x2dx-112345

-4 -3 -2 -1 1 2 Cf O+

1.4 Valeur moyenne d"une fonction continue sur un intervalle[a;b]

Définition:

Soitfune fonction continue sur[a;b].

On appellevaleur moyennedefsur[a;b], le nombre réel¹défini par :

¹=1

b¡aZ b a f(x)dx

Interprétation graphique :

La valeur moyenne defcorrespond à la valeur de¹qu"il faut donner à la hauteur du rectangle de largeurb¡apour

que celui-ci ait la même aire que celle sous la courbe def. -112345 -1 1 2

3=1ba?

b a f(x)dx a b

1.5 Calcul de l"aire située entre deux courbes

Propriété:Calcul de l"aire située entre deux courbes Soientfetgdeux fonctions continues et définies sur un intervalle[a;b].

On suppose que :06g6fsur[a;b].

Alors, l"aire du domaineDdéfini par :

D=fM(x;y)2Ptels quea6x6betg(x)6y6f(x)g

est donnée, en u.a., par : Zb a f(x)dx¡Z b a g(x)dx

Exemple :

Soientfetgdéfinies sur[0 ; 1]parf(x) =xetg(x) =x2.

L"aire hachurée ci-dessous estZ

1 0 x dx¡Z 1 0 x2dx=1 2 ¡1 3 =1 6 .1 1 CfC g O

2 Propriétés de l"intégrale

2.1 Bornes d"intégration

Définition:

Soitfune fonction continue sur un intervalleI.

Pour tous réelsaetbdeI, sia < b, on pose

Z b a f(x)dx=¡Z a b f(x)dx Z a a f(x)dx= 0

Propriété:Relation de Chasles

Soitfune fonction continue sur un intervalleI.

Soienta,betcdansI, alors :Zb

a f(x)dx=Z c a f(x)dx+Z b c f(x)dx

2.2 Linéarité

Propriété:Linéarité de l"intégrale

Soientfetgdeux fonctions continues sur un intervalleIcontenantaetbet®un réel : Z b a f(x) +g(x)dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx Z b a

®f(x)dx=®Z

b a f(x)dx

2.3 Inégalités

Propriété:Positivité de l"intégrale

Soitfune fonction continue etpositivesur un intervalle[a;b]aveca6b, alors : Z b a f(x)dx>0

Remarque :

²La démonstration est immédiate puisque une aire est positive.

²Évidemment, sifest négative sur[a;b]alors son intégrale est négative. En revanche, on ne peut rien dire,a priori,

du signe de l" intégrale d"une fonction changeant de signe sur[a;b]. Propriété:Compatibilité avec l"ordre (intégration d"une inégalité) Soientfetgdeux fonctions continues sur un intervalleIcontenantaetb, alors : f6gsur[a;b]alorsZ b a f(x)dx6Z b a g(x)dx

Interprétation en termes d"aires :CfC

g a b

Théorème:Inégalité de la moyenne

Soitfune fonction continue sur un intervalleI= [a;b].

SoientmetMdes réels tels que :m6f(x)6M surI

Alors m(b¡a)6Z b a f(x)dx6M(b¡a)

Remarque :

Une fonction continue sur un intervalle[a;b]est toujours bornée (et de plus atteint ses bornes). Les réelsmetM

existent toujours.

Interprétation en termes d"aires :aAD C

E F b BmM Lorsquefest positive etmetMpositifs, l"aire deABEFestm(b¡a)et celle deABCDestM(b¡a). Théorème:Inégalité de la moyenne (bis) Soitfune fonction continue sur un intervalleI= [a;b].

Sijfj6MsurIalors¯

¯¯¯¯Z

b a f(x)dx¯

¯¯¯¯6Mjb¡aj

Exercice :

1.

Prouver que :

Z 3 1 sin(t2)dt62 2.

Montrer que :06Z

1 0x

1 +x2dx61

3 Notion de primitive d"une fonction sur un intervalle

3.1 Définition et théorème

Définition:

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.

On appelleprimitive defsurItoute fonctionFdérivable surItelle queF0=fsurI.

Exemple :

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) = 3x2¡2x+ cosx.

Trouver (mentalement) une primitiveFdefsurR.

La fonctionFdéfinie parF(x) =x3¡x2+ sinxconvient.

Remarquons que si l"on avait choisi pourFla fonction définie parF(x) =x3¡x2+ sinx+ 215, nous aurions encore

eu une candidate satisfaisante. Donc si une fonctionfadmet une primitive, alors elle en admet une infinité.

Théorème:

Soitfune fonction admettant des primitives sur un intervalleI. SoientFetGdeux primitives d"une fonctionfsur un intervalleI.

AlorsFetGdiffèrent d"une constante :

F(x) =G(x) +c(c2R)pour toutx2I

Démonstration :

PuisqueFetGsont des primitives defsurI, on a :

F

0=G0=f

Par conséquent,F0¡G0= 0surI.

Or,F0¡G0= (F¡G)0, donc(F¡G)0= 0surI.

Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constantes, donc on a, surI:F¡G=cavecc2R.

Graphiquement, dans un repère orthonormal(O;~{; ~|)les représentations graphiquesCFetCGse correspondent par une translation de vecteurc~jCF C G a bc

3.2 Tableau des primitives usuelles

f(x) =

F(x) =

(c= constante) I k(constante) kx+c R x 1quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

[PDF] valeur des temps 3eme

[PDF] les valeurs des temps exercices

[PDF] aire prisme droit

[PDF] aire 6eme

[PDF] evaluation cm1 aire et perimetre avec correction

[PDF] exercice périmètre cm1 pdf

[PDF] évaluation cm1 périmètre carré rectangle

[PDF] leçon aires cm1

[PDF] exercices périmètre cm1

[PDF] évaluation périmètre aire cm2

[PDF] mesures d'aires cm1

[PDF] exercices aires cm1 ? imprimer

[PDF] séquence aire et périmètre cycle 3

[PDF] grandeurs et mesures

[PDF] exercice aire et périmètre 6ème