[PDF] En ING-150 pourquoi utilise-t-on le produit vectoriel?

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En ING-150, pourquoi utilise-t-on le produit vectoriel? Réponse : parce que c'est une façon simple et efficace de calculer le moment d'une force par rapport à un point.... On pourrait probablement agir autrement, en utilisant des bras de levier, mais ça pourrait devenir rapidement compliqué.

Exemple #1 :

O A BC 2m3m 1mx z 10 Ny La force de 10 N, appliquée au point C, a un moment par rapport au point O. Si on voulait se passer du produit vectoriel, on se dirait : a) la force de 10 N a une tendance à faire tourner l'objet autour de l'axe Oz et son bras de levier par rapport à cet axe est de 1 m. Le moment par rapport à Oz a une grandeur de 10 N.m et de plus, si on utilise la règle de la main droite, ce moment est dirigé vers les z négatifs. b) la force de 10 N a une tendance à faire tourner l'objet autour de l'axe Oy et son bras de levier par rapport à cet axe est de 3 m. Le moment par rapport à Oy a une grandeur de 30 N.m et de plus, si on utilise la règle de la main droite, ce moment est dirigé vers les y positifs.

Conclusion :

O

M 30 j - 10 k Nm

Si on utilise le produit vectoriel :

a) on trouve un vecteur r , qui est le vecteur reliant le point O (point par rapport auquel on calcule le moment) au point C (point d'application de la force) : r = 2 m i + 1 m j + 3 m k . b) on calcule le moment en effectuant le produit vectoriel O

M r F. Avec

votre calculatrice, cette opération est facilement faite : crossp( [ 2, 1, 3], [10, 0, 0] ) .

Résultat :

O

M 30 j - 10 k N.m .

On peut considérer que l'on perd un élément " visuel » en utilisant l'outil " produit

vectoriel », plutôt que de calculer le moment à l'aide de bras de levier. Peut-être, mais on

y gagne en efficacité! Et encore ici, la force n'avait qu'une composante! Examinons un exemple où la force est plus " difficile » :

Exemple #2 :

O A BC 2m3m xy z 10 N 20 N F1m

La force appliquée au point C est

F = 10 N i + 20 N k

G . Quel est son moment par rapport au point O ?

Sans produit vectoriel :

a) la force de 10 N a une tendance à faire tourner l'objet autour de l'axe Oz et son bras de levier par rapport à cet axe est de 1 m. Le moment par rapport à Oz a une grandeur de 10 N.m et de plus, si on utilise la règle de la main droite, ce moment est dirigé vers les z négatifs. b) la force de 10 N a une tendance à faire tourner l'objet autour de l'axe Oy et son bras de levier par rapport à cet axe est de 3 m. Le moment par rapport à Oy a une grandeur de 30 N.m et de plus, si on utilise la règle de la main droite, ce moment est dirigé vers les y positifs. c) la force de 20 N a une tendance à faire tourner l'objet autour de l'axe Ox et son bras de levier par rapport à cet axe est de 1 m. Le moment par rapport à Ox a une grandeur de 20 N.m et de plus, si on utilise la règle de la main droite, ce moment est dirigé vers les x positifs. d) la force de 20 N a une tendance à faire tourner l'objet autour de l'axe Oy et son bras de levier par rapport à cet axe est de 2 m. Le moment par rapport à Oy a une grandeur de 40 N.m et de plus, si on utilise la règle de la main droite, ce moment est dirigé vers les y négatifs.

Conclusion :

O O

M - 10 k +30 j + 20 i - 40 j N.m

M = 20 i - 10 j - 10 k N.m

Si on utilise le produit vectoriel :

a) on trouve un vecteur r , qui est le vecteur reliant le point O (point par rapport auquel on calcule le moment) au point C (point d'application de la force) : r = 2 m i + 1 m j + 3 m k . b) on calcule le moment en effectuant le produit vectoriel O

M r F. Avec

votre calculatrice, cette opération est facilement faite : crossp( [ 2, 1, 3], [10, 0, 20] ) .

Résultat :

O

M = 20 i - 10 j - 10 k N.m

L'opération " produit vectoriel » (

crossp) multiplie correctement les bras de levier et les composantes de force correspondantes, en tenant compte des signes. C'est simple et efficace.

Et pourquoi utilise-t-on le produit scalaire?

Le produit scalaire est utilisé principalement afin de calculer le moment d'une force par rapport à un axe. Le moment par rapport à un axe donné se calcule par: axe O =ȜM axe

M. En fait M

axe est la projection de O M sur l'axe donné. On peut utiliser un exemple pour se convaincre que le produit scalaire avec un vecteur unitaire calcule bien une projection.

Le produit scalaire et la projection.

Disons qu'on veut calculer la projection (la grandeur du trait plein) de la force de 100 N sur l'axe ci-dessous.

50°

30°

100 N
xy AXE Dans le cours on a vu que cette projection pouvait se calculer par : axe

ȜF.

C'est vrai ou pas?

Ici : oo oo axe

F=100 N cos(50 )i+100 N sin(50 )j

Ȝ=cos(30 )i+sin(30 )j

(Pour le vecteur unitaire , en 2D, il suffit de trouver les composantes d'un vecteur de grandeur 1 sur les axes x et y.).

Si on fait le produit scalaire, ça donne :

(100 N cos(50º))cos(30º)+(100 N sin (50º))sin(30º) = 93.97 N

Maintenant essayons graphiquement:

Le moment par rapport à un axe :

Le moment par rapport à un axe quelconque est la projection du vecteur O

M sur l'axe en

question. Exemple: on veut calculer le moment de la force de 10 N par rapport à l'axe OA. xy z OA 3m4m 5m 10 N B 100 N
xy

100 N sin(50°)

50°30°100 N cos(50°)

30°

Les 2 traits pleins valent : celui du haut : (100 N cos(50º)) cos(30º) celui du bas : (100 N sin(50º)) sin(30º) Et la somme des 2 : (100 N cos (50º)) cos(30º)+(100 N sin (50º)) sin(30º) =

93.97 N !!!!

Bien sûr, un observateur astucieux aurait simplement fait : 100 N cos (20º) =

93.97 N... ! En 3D, comme la trigo est immensément + difficile, on préfère

(beaucoup plus efficace) utiliser le produit scalaire pour faire des projections. Commençons par calculer le moment par rapport au point O (un des points de l'axe OA) : O

M r F où r = + 5 m k et F = -10 N j

O

M 50 N.m i

Ce vecteur n'a pas vraiment de " point d'attache », mais représentons-le tout de même comme s'il était " attaché » au point O. xy z OA 4m 3m Comme M OA est la projection du vecteur O M sur l'axe OA, il faut effectuer le produit scalaire M OA OA O

ȜM.

Ici OA

Ȝ 0,8 i + 0,6 j

et O

M 50 N.m i

alors M OA = 40 N.m. Note intéressante : parmi tous les axes passant par O, l'axe pour lequel l'efficacité de la force de 10 N à faire tourner est maximale est l'axe de O M . L'efficacité de la force à faire tourner l'objet par rapport à n'importe quel autre axe est plus petite.

Une autre utilité du produit scalaire :

De façon secondaire, le produit scalaire est aussi un outil permettant de calculer l'angle entre deux droites quelconques en 3D.

Exemple : On désire calculer l'angle

compris entre les deux bouts de tuyau OA et OB ci-dessous. xy z OA 4m 3m 2m5m B En général, le produit scalaire d'un vecteur P par un vecteur Q aura pour résultat cos( )PQ, où est l'angle entre les vecteurs P et Q (P et Q sont les grandeurs des deux vecteurs). En termes concis,

P Q = cos( )

PQ

En particulier, F Ȝ = (1) cos( ) cos( )

FF , soit la projection de F dans la direction de

Pour évaluer

entre OA et OB, le plus simple est d'effectuer le produit scalaire OA OB

ȜȜ. En effet

OA OB

ȜȜ(1)(1) cos( ) cos( )

Dans notre exemple :

OA

Ȝ = 0,8 i + 0,6 j

et OB

Ȝ = 0,3714 i + 0,9285 k

. Le produit scalaire OA OB ȜȜ = 0,297 (on a pu l'effectuer par dotp([0.8, 0.6, 0], [0.3714, 0,

0.9285])) .

Donc 0,297 = cos(

) et l'angle entre les deux bouts de tuyau est = 72,7.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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