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Chapitre 5GE0 3

Produit Vectoriel

À la fin de ce td, vous devez être capable de : •Savoir tracer une courbe paramétrée définie par des fonctions polyno- miales. •Établir le tableau des variations conjointes d"une courbe paramétrée. •Tracer une courbe à partir des variations conjointes. •Déterminer un vecteur directeur de la tangente en un point où le vecteur dérivé n"est pas nul. Calcul de produit vectoriel en utilisant la définition.

5.1Calculs algébriques de produit vectoriel.

L"espace est muni d"un repère orthonormal (O;?i,?j,?k) de sens direct.

1.En utilisant la définition du produit vectoriel, donner la valeur de chacun des

produits vectoriels suivants : a.→i?→i; b.→i?→j; c.→i?→k;d.→j?→i; e.→j?→j; f.→j?→k;g.→k?→i; h.→k?→j; i.→k?→k;

2.Soient→uet→vdeux vecteurs de l"espace de coordonnées :

u(((xyz))) et→v(((x y z a.Développer et, en utilisant la question 1, simplifier l"expression : b.Déduire de la question précédente les coordonnées de→w=→u?→v. Calcul de produit vectoriel avec les coordonnées.

5.2Annales CPI 2009.

(O;?i,?j,?k) est un repère orthonormal direct de l"espace. On considèreles vecteurs u(((31 -2))) et→v(((-2 2 -2)))

Le produit vectoriel

→u?→vest : réponse A : →w(((-6 2 4))) réponse B :→0 réponse C :→w(((2 10 8)))

5.3Annales CPI 2011.

(O;?i,?j,?k) est un repère orthonormal direct de l"espace. On considèreles vecteurs u(((111))) et→v(((131)))

La norme du produit vectoriel

→u?→vest réponse A :

2 réponse B : 2⎷2 réponse C : 4

5.4Vérification sur un exemple de quelques propriétés du produit vectoriel.

On donne les vecteurs

u(((-1 1 0))) →v(((-1 1 1))) →w(((010)))

1.Soit→a=→u?→v. Déterminer les coordonnées de→a.

2.En utilisant le produit scalaire :

a.Vérifier que→aest orthogonale à→uet à→v. b.Déterminer l"angle (→u;→v). c.Vérifier que l"on a bien||a||=||u|| × ||v|| ×sin(→u;→v).

3.a.Calculer→v?→u.

b.A-t-on→u?→v=→v?→u? Si oui, prouvez le, sinon rectifier l"égalité.

4.a.Calculer (→u+→v)?→w.

c.Quelle propriété est illustrée par les deux questions précédentes?

5.a.Calculer→u?(→v?→w).

b.Calculer (→u?→v)?→w. c.Quelle propriété usuelle n"est pas respectée par le produitvectoriel?

6.Vérifier que l"on a bienl"égalité de Lie, à savoir :

u?(→v?→w) +→w?(→u?→v) +→v?(→w?→u) =→0

Calcul d"aire et de volume.

5.5Calcul de l"aire d"un triangle.

Dans l"espace rapporté à une repère orthonormal de sens direct (O;?i,?j,?k) et d"unité le

centimètre, on considère les points

A(2;-2;3) ;B(4;-6;-1) etC(0;-1;5)

1.Déterminer les coordonnées des vecteurs-----→ABet-----→AC.

2.Calculer les coordonnées du vecteur-----→AB?-----→AC.

3.Déterminer la valeur approchée à 10-1près de l"aire en cm2du triangleABC.

5.6Calcul de l"aire d"un parallélogramme.

Dans l"espace rapporté à une repère orthonormal de sens direct (O;?i,?j,?k) et d"unité le

centimètre, on considère les points

A(4;5;0) ;B(6;8;3) ;C(2;7;4) etD(0;4;1)

1.a.Démontrer que le quadrilatèreABCDest un parallélogramme.

b.Calculer le produit scalaire-----→AB·-----→ADet les longueursABetAD. En déduire la mesure en degré, à 0.1 près, de l"angle géométrique ?BAD.

2.a.Calculer les coordonnées du vecteur-----→AB?-----→AD.

b.En déduire l"aire du parallélogrammeABCD.

5.7Calcul de distances et d"aires dans l"espace.

Le plan est muni d"un repère orthonormal (O;?i,?j,?k) de sens direct. On considère les pointsA(2,1,0),B(-3,2,3) etC(1,-2,1).

1.Faire une figure en perspective cavalière.

2.Calculer les coordonnées des vecteurs-----→AB,-----→ACet-----→BC.

3.Calculer les distancesAB,ACetBC.

4.Calculer le produit scalaire-----→AB·-----→AC.

5.Déduire de ce qui précède une valeur approchée arrondie à 10-1près de l"angle

?BAC.

6.a.Calculer le produit vectoriel-----→AB?-----→AC.

b.En déduire l"aireSdu triangleABC. c.Donner une valeur approchée à 10-1deS.

5.8Volume d"une pyramide.

L"espace est muni d"un repère orthonormal (O;?i,?j,?k) de sens direct. On considère les pointsA(0,0,1),B(2,0,0) etC(0,2,2).

1.Faire une figure en perspective cavalière.

2.Écrire les coordonnées des vecteurs-----→AB,-----→ACet-----→BC.

3.a.Donner les valeurs exactes des distancesAB,ACetBC.

b.Quelle est la nature du triangleABC?

4.a.Calculer le produit scalaire-----→AB·-----→AC.

b.En déduire une valeur approchée arrondie à 10-1près de l"angle?BAC.

5.a.Calculer le produit vectoriel-----→AB?-----→AC.

b.En déduire l"aireSdu triangleABC. c.Donner une valeur approchée à 10-1deS. d.On noteDle point tel que-----→AD=-----→AB?-----→AC. Démontrer que les coordonnées du pointDsont (2,-2,5) e.Placer le pointDsur la figure.

6.On désigne parVle volume de la pyramideDABC.

Démontrer queV= 4.

5.9Étude d"un tétraèdre.

On considère un cubeAMBONPQCque l"on munit du repère orthonormal de sens direct AMP N O BQ C

1.a.Donner les coordonnées des pointsO,A,B,M,C,N,PetQ.

b.Déterminer les coordonnées des vecteurs-----→AB,-----→ACet----→AP.

2.a.Calculer les coordonnées du produit vectoriel→u=-----→AB?-----→AC.

b.Calculer le produit scalaires=----→AP·→u. c.on admet que le volumeVdu tétraèdreABCPestV=1 6s.

Calculer le volumeV.

3.SoitI(x;y;z) le pied de la hauteur [IP] du tétraèdreABCP.

a.On admet que les vecteurs---→IPet-----→ABsont orthogonaux. En déduire quex=y. b.On admet que les vecteurs---→IPet-----→ACsont orthogonaux. En déduire quex=z. c.On admet que le pointIétant dans le plan (ABC), ses coordonnées vérifient x+y+z= 1. Déduire des questions précédentes les coordonnées du pointI. d.Montrer que---→IA+---→IB+---→IC=→0. e.Que représente le pointIpour le triangleABC?

5.10Aire d"un hexagone.

L"esapce étant muni d"un repère orthonormal (O;?i,?j,?k) d"unit 1cm, on considère les points : A(4;1;2) ;B(3;1;3) ;C(2;2;3) ;D(2;3;2) ;E(3;3;1) ;F(4;2;1) etS(6;5;5)

1.Montrer que les segments [AD], [BE] et [CF] ont même milieuI.

2.a.Calculer le produit vectoriel→u=---→IA?---→IB.

b.Montrer que ce vecteur→uest colinéaire à--→IS. c.En déduire que la droite (IS) est perpendiculaire au plan déterminé par les droites (AD) et (BE).

3.a.Calculer le produit scalaire--→IS·-----→CF.

b.En déduire que les pointsA,B,C,D,EetFsont coplanaires.

4.Montrer que les pointsA,B,C,D,EetFsont les sommets d"un hexagone régulier.

5.Calculer l"aire de cet hexagone.

5.11Aire d"un triangle variable.

Le planPest rapporté à un repère orthornormal (O;?i,?j), d"unité graphique 1cm. On considère les pointsA(0,2);B(0;1) etM(m;m) oùmun réel quelconque.

1.Montrer que l"ensemble des pointsMquandmvarie est une droite dont on déter-

minera un point et un vecteur directeur.

2.Déterminer les valeurs dempour lesquelles le triangleABMest rectangle enM.

3.Vérifier que l"un des ces triangles est isocèle.

4.L"espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O;?i,?j,?k); le plan (O;?i,?j)

étant le planPprécédemment défini.

Les pointsA,B, etMont donc pour coordonnées dans le repère (O;?i,?j,?k) :

A(0;2;0) ;B(0;1;0) etM(m;m;0)

Soitfla fonction qui à tout réelmassocie l"aire en cm2du triangleABM. On rappelle quef(m) =||-----→AB?------→AM|| 2. a.Caclulerf(m) en fonction dem. b.Déterminer les valeurs dempour lesquelles l"aire du triangleABMest égale à 4cm 2.

5.12Calcul vectoriel et calcul intégral : Volume d"un tronc de pyramide.

Les deux parties de l"exerice sont indépendantes et peuventêtre traitées de façon séparées.

L"espace est rapporté à un repère orthonormal (O;?i,?j,?k) de sens direct et d"unité gra-

phique 1cm. On considère les pointsA(1,3,0)B(3,1,0)C(4,4,0) etS(4,4,2).

Partie A - Calcul du volume d"une pyramide.

1.a.Déterminer les coordonnées du pointDtel queABCDsoit un parallélogramme.

b.Déterminer les longueursBCetBAainsi que la valeur approchée arrondie à l"unité de la mesure en dégré de l"angle ?BAC.

2.a.Déterminer le vecteur-→N=-----→BC?-----→BA.

b.Montrer que la droite (SC) est une hauteur de la pyramideSABCD. c.Calculer la norme du vecteur-→N. Quelle est l"aire du parallélogrammeABCD? d.Déduire des questions précédentes le volume de la pyramideSABCD. Partie B - Calcul du volume d"un tronc de pyramide. On considère un plan horizontal qui coupe les arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD] de la pyramide respectivement aux pointsA1,B1,C1, etD1. On notezla côte des quatres pointsA1,B1,C1, etD1. (0?z?2).

1.En écrivant que les vecteurs------→SA1et----→SAsont colinéaires, montrer que les coordon-

nées du pointsA1sont?2 + 3z

2;6 +z2;z?

On admet que les coordonnées des pointsB1etC1peuvent respectivement s"écrire : B

1?6 +z

2;2 + 3z2;z?

etC1(4;4;z)

2.a.Déterminer, en fonction dez, les coordonnées du vecteur---------→B1C1?---------→B1A1.

b.En déduire que l"aire de la section planeA1B1C1D1de la pyramide estS(z) =

2(2-z)2.

3.On noteT(h) le volume du tronc de la pyramide limité par les plans d"équation

z= 0 etz=h.

On admet que

T(h) =?

h

0S(z)dz

a.Montrer queT(h) =16

3-23(2-h)3.

b.Que représenteT(2) pour la pyramideSABCD?

D"autres applications du produit vectoriel.

5.13Équation d"un plan.

L"espace est muni d"un repère orthonormal (O;?i,?j,?k) de sens direct. On considère les pointsA(0,0,1),B(4,2,3) etC(-3,1,1).

1.En utilisant le produit vectoriel :

a.Justifier que les pointsA,BetCne sont pas alignés. b.Déterminer un vecteur-→Northogonal aux vecteurs-----→ABet à-----→AC.

2.On considère le plan (ABC) (bien défini puisque les trois points ne sont pas alignés).

SoitM(x;y;z) un point du plan (ABC).

a.Que peut-on dire des vecteurs-→Net------→AM? b.En utilisant le produit scalaire, en déduire une équation duplan (ABC). c.En procédant de même, déterminer une équation du plan (DEF) passant par

D(1;7;-4)E(1;7;-6) etF(7;-1;9).

d.Proposez un algorithme permettant d"obtenir l"équation d"un plan à partir des coordonnées de trois points de ce plan.

5.14Pot pourri.

Soient les pointsA(2,1,0),B(-3,2,3) etC(1,-2,-1).

1.Déterminer les coordonnées du vecteur-----→AB?-----→AC.

2.En déduire une équation du plan (ABC).

3.Calculer l"aire du triangleABC.

4.Calculer, en degré, les mesures des angles du triangleABC.

5.Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangleABC.

6.On admet que la distanceδd"un pointM(x0,y0,z0) au plan d"équationax+by+

cz+d= 0 est donnée par

δ=|ax0+by0+cz0+d|

⎷a2+b2+c2

Calculer le volume du tétraèdreOABC.

5.15Moment d"une force.

On considère un pointOde coordonnéesO(0;0;0). Dans chacun des cas suivants, déter- miner le moment enAde la force→Fpar rapport au pivotO.

1.A(2;3;0) et→F(((003)))

2.A(2;0;1) et→F(((0

-2 0))) .3.A(0;4;-1) et→F(((003)))

4.A(a,b,c) et→F(((α

5.16Xcas et le calcul vectoriel.

On donne ci-dessous les principales instructions concernant le calcul vectoriel sous Xcas : •Définir un vecteur par ses coordonnées u :=[1,2,3] •Produit vectoriel : cross(u,v) •Produit scalaire : u*v •Norme d"un vecteur : norm(u)

1.En utilisant Xcas, résoudre à nouveau les exercices 2 à 10 de ce livret.

2.En utilisant Xcas, automatiser le calcul de l"équation d"unplan passant par trois

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