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TD Groupe C Geometrie | Cercle d'Euler et transformations du plan

Antoine Derimay

6 Mars 2021

L'idee est de resoudre les exercices sans les indications, mais ca ne sert a rien de rester bloque pendant une

demi-heure sans savoir vers ou partir non plus...

Exercices

Exercice

0

Echauement

SoitABCun triangle, montrer que le symetrique de son orthocentre par rapport a un c^ote du triangle est sur

son cercle circonscrit. Retenez bien ce resultat pour le reste de ce TD :) Pour ceux qui ont besoin d'une piq^ure de rappel sur le cercle d'Euler...

Exercice

1 On considere deux pointsB;C, ainsi qu'un pointOsur la mediatrice deBC. Soit le cercle de centreO

passant parBetC. Montrer qu'il existe un cercle tel que peu importe la position d'un pointAde ;le cercle

d'Euler deABCsoit tangent a ce cercle. Indication : quel est le milieu de OH, avecHl'orthocentre deABC?

Exercice

2

SoitABCun triangle,Ole centre de son cercle circonscrit etDle pied de la hauteur issue deAdeABC. Soit

Sl'intersection du cercle circonscrit aAODet du cercle d'Euler (qui n'est pasD), montrer queSB=SC. Indication : Quelle homothetie envoie le cercle circonscrit deABCsur son cercle d'Euler ? Autre indication : Considerer la symetrie d'axeMBMCouMBest le milieu du segmentAC.

Exercice

3 (EGMO 2012)

SoitABCun triangle,Hson orthocentre etKun point sur l'arcBCne contenant pasAde (ABC). On note Lle symetrique deKpar rapport aAB, etMcelui par rapport aBC. (LBM) et (ABC) se rencontrent une deuxieme fois enE. Montrer que les droitesBC;EM;HKsont concourantes.

Indication : Considerer les symetriques deHpar rapport aABetBC, et essayer de montrer les alignements

qui ont l'air d'^etre vrais.

Exercice

4 SoitABCun triangle,Hson orthocentre etOle centre de son cercle circonscrit. SoitMle milieu deBC, et Nle milieu deAH:La droite perpendiculaire aAMpassant parNcoupeAMenK, etAOenL.

1) Montrer queKest sur le cercle d'Euler deABC.

2)(a priori, pas de rapport avec la 1)) Montrer queB;C;K;Lsont cocycliques.

Indication : ConsidererTle point d'intersection deKLetBC, et montrer queTBTC=TA2=TKTL

Exercice

5 (Relation d'Euler)

SoitABCun triangle, on noteIle centre du cercle inscrit etOcelui du cercle circonscrit. On note egalement

Xl'intersection deBIavec (ABC) etX0le point diametralement oppose aX. Enn,le cercle inscrit deABC est tangent aBCenD. 1

1) Montrer queBDIetX0CXsont semblables.

2) Montrer queXICest isocele enX.

3) En deduire qued2R2=2Rr;oud=OI; Rest le rayon du cercle circonscrit etrest le rayon du cercle

inscrit.C'est la relation d'Euler.

4) En deduire que le cercle d'Euler deABCest plus grand que son cercle inscrit.

En fait, le cercle inscrit est m^eme tangent interieurement au cercle d'Euler : c'est le theoreme de Feuerbach.

Exercice

6 SoitABCun triangle non isocele enA,Dle milieu deBCetEle pied de la hauteur issue deA. La mediatrice deDEet la perpendiculaire a la bissectrice interieure de\BACpassant parDse coupent enP.

Montrer quePest sur le cercle d'Euler deABC:

Indication : Montrer queXPDest isocele, ouXest le centre du cercle d'Euler, en calculant\XPD, et\PXD en considerant l'homothetie de centreHet de rapport2.

Correction

Solution de l'exercice

0 ConsideronsH0l'intersection deAHavec (ABC) qui n'est pasA, il sut de montrer queBCest la mediatrice

deHH0. On a\H0BC=\H0AC= 90\ACB, et\HBC= 90\ACB, et on a ni.

Solution de l'exercice

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