[PDF] PREUVES EN GÉOMÉTRIE PAR LE CALCUL FORMEL 1

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PREUVES EN G

EOMETRIE PAR LE CALCUL FORMEL

1.Introduction

Les theoremes classiques de geometrie, connus et demontres depuis bien longtemps, peuvent maintenant ^etre demontres en un instant par le cal- cul formel. Il sut en eet de denir quelques procedures de bases, pour calculer des chose comme l'equation d'une droite passant par deux points, ou tangente a un cercle, une conique en un point, l'intersection de deux droites, etc. : toutes ces notions qui interviennent dans les constructions geometriques. Ensuite, on peut aussi denir d'autres procedures qui perme- ttent de verier les faits qui interviennent souvent dans les theoremes : la concourance de trois droites, l'alignement de trois points, l'orthogonalite, le fait qu'un triangle soit rectangle, isocele, equilateral, etc. Il ne reste alors qu'a suivre l'enonce du theoreme choisi, apres avoir choisi un repere, construisant les objets selon les hypotheses imposees, puis a verier que la conclusion est bien veriee. Nous proposons ici d'illustrer ce fait par des exemples. Bien s^ur, d'autres exemples que ceux-ci peuvent ^etre choisis. On peut egalement se servir du calcul formel comme aide a la demons- tration de certains theoremes. Nous proposons ici un exemple ou le calcul sur machine de resultants donne une solution au probleme pose. Gr^ace au logiciel Maple, on peut aussi illuster ces theoremes par des gures.

2.Le theoreme de Morley

Theoreme 2.1.SoitABCun triangle, et soient3a,3bet3cles angles en A,BetCde ce triangle. SoientPle point tel que(\[AP);[AC)) =aet \[CA);[CP)) =c,Qle point tel que(\[BQ);[BA)) =bet(\[AB);[AQ)) =a, etRle point tel que(\[CR);[CB)) =cet(\[BC);[BR)) =b. Alors le triangle

BQRest equilateral.

Pour montrer cela, on peut choisir un repere orthonorme ouAetBont pour coordonnees respectives (0;0) et (1;0). On peut denir une procedure qui donne l'equation de la droite passant par un point et faisant un angle donne avec l'axe des abscisses, et une procedure calculant le point d'intersection de deux droites dont on conna^t les equations. On peut alors calculer les coordonnees deCen fonction des anglesaetb, ainsi que les coordonnees de P,QetR. Il nous faut aussi une procedure calculant le carre de la distance 1

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entre deux points, et enn une derniere procedure testant si un triangle est equilateral. Attention, pour les comparaisons, il faut utiliser une fonction qui simplie les expressions. Dans maple :simplify, avec, ici, optiontrig.

3.Le theoreme de Brianchon

Theoreme 3.1.SoitEune ellipse. SoientPi,i= 0;:::;5six points deux a deux distincts tels que les droites(Pi;Pi+1)et(P5;P0)soient tangentes a E. Alors les droites(P0;P3),(P1;P4)et(P2;P5)sont concourantes. Pour demontrer ce theoreme, on peut utiliser une equation parametree d'une ellipse. L'ellipse d'equation xc1d 1 2 +yc2d 2 2 = 1 a pour equation parametree x=c1+d1cost,y=c2+d2sint; outparcourtR. On peut aussi utiliser x=c1+d1t+ 1=t2 ,y=c2+d2t1=t2i; outparcourt le cercle des nombres complexes de module 1. On peut denir une procedure qui calcule la tangente a l'ellipse au point correspondant a une valeur donnee du parametret, et appliquer cette procedure a des valeurs indetermineest1;:::;t5. Puis, on calcule les coordonnees des points P i, gr^ace a une procedure qui calcule le point d'intersection de deux droites. Une autre fonction permettant de calculer l'equation d'une droite passant par deux points donnes nous donne les droites (P0;P3), (P1;P4) et (P2;P5). Gr^ace aux equations obtenues, on verie la propriete de concourance requise.

4.Le theoreme des six cercles

Ici, nous allons donner l'esquisse d'une demonstration pour un theoreme de geometrie. Cette demonstration utilise un calcul de resultant. Theoreme 4.1.Soientxyzun triangle,ile centre du cercle inscrit axyz,T l'enveloppe convexe dexyz,Cx(resp.Cy,Czl'ensemble des cercles tangents a(x;y)et(x;z)(resp.(y;z)et(y;x),(z;x)et(z;y)) centres sur[x;i)(resp. [y;i),[z;i)) qui rencontrentT. SoitCu2 Cxun cercle de rayonuqui rencon- treT. Alors il existe un cercleCv2 Cyde rayonvtangent exterieurement a C u, un cercleCw2 Czde rayonwtangent exterieurement aCv, et un cercle C u02 Cxde rayonu0tangent exterieurement aCw. De plus, ces cercles etant donnes, il existe un cercleCv02 Cyde rayonv0tangent exterieurement aCu0et un cercleCw02 Cyde rayonw0tangent exterieurement aCv0tels queCw0est tangent exterieurement aCu.

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Dans la demonstration, on va supposer que le cercle inscrit est de rayon

1. Soient 2(resp. 2, 2

) la mesure de l'angle enx(resp.y,z) dans ]0;[. Lemme 4.2.Le cercleCu(resp.Cv,Cw) rencontreTsi et seulement si u1tantan (resp.v1tan tan,w1tantan). Preuve.Soitjle centre du cercle exinscrit enx, c'est a dire le cercle exterieur au triangle tangent aux droites (x;y), (x;z) et (z;y) tel que le point de tangence avec cette derniere droite soit dans le segment [y;z]. Alors le cercleCurencontreTsi et seulement si son centre appartient a [x;j]. En considerant des triangles rectangles bien choisis, on peut montrer que siCu est de centrej, alorsutan=xy+utan, et quexy=1tan+1tan. Cela donne : utan=1tan+1tan+utan, et par suiteu=1tantan Lemme 4.3.Si les cerclesCu,Cv,CwetCu0sont comme dans le theoreme, on a les relations1tan(1u) +1tan(1v) 2 = 4uv;

1tan(1v) +1tan

(1w) 2 = 4vw; 1tan (1w) +1tan(1u0) 2 = 4wu0: Preuve.Soientsettles centre des cerclesCuetCv, on demontre que st

2= (u+v)2= (uv)2+1tan+1tanutanvtan

2 ce qui donne la formule desiree. On change maintenant de notations, en posanta=1tan,b=1tan,c= 1tan . Alorsa+b+c=abc,a >0,b >0 etc >0. De plus, les relations du lemme 4.3 s'ecrivent (1) (a(1u) +b(1v))24uv= 0 (2) (b(1v) +c(1w))24vw= 0 (3) c(1w) +a(1u0)24wu0= 0 Par ailleurs, les conditions du lemme 4.2 s'ecrivent 0ubc, 0vca, 0wab. Lemme 4.4.Siubc, alors les elementsvdenis par l'equation (1) sont reels positifs ou nuls et satisfontvca.

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Preuve.L'equation (1), vu comme polyn^ome env, a pour discriminant = 4(ab1)(bcu)u. Par hypothese,bcu0, et les conditions sura, betcmontrent queab1>0 etbc1>0. Ainsi, 0 et les racines envsont reelles. Comme le terme constant (a(1u) +b)2est positif ou nul et que le coecient devest negatif ou nul, les racines sont toutes deux positives ou nulles. Il reste a montrer que sivest une racine, alorsvca, ce qui se fait en utilisant les formules donnant les racines d'un polyn^ome de degre 2. Soient les polyn^omes deZ[U;V;W;U0;A;B;C] denis par

P(U;V;A;B;C) = (A(1U) +B(1V))24UV= 0;

Q(V;W;A;B;C) = (B(1V) +C(1W))24V W= 0;

R(W;U0;A;B;C) =C(1W) +A(1U0)24WU0= 0:

Soient les resultants

S(V;U0;A;B;C) =ResW(Q(V;W;A;B;C);R(W;U0;A;B;C));

T(U;U0;A;B;C) =ResV(S(V;U0;A;B;C);P(U;V;A;B;C)):

Soientu,v,w,u0,a,b,csatisfaisant les relations (1), (2) et (3). Alors S(v;u0;a;b;c) = 0, etT(u;u0;a;b;c) = 0. Or, on peut factoriser le polyn^ome

T(U;U0;A;B;C)T(U0;U;A;B;C) en (A+B+CABC), ou 2

Z[U;U0;A;B;C]. Commea+b+c=abc, il suit queT(u;u0;a;b;c) = T(u0;u;a;b;c), et donc queT(u0;u;a;b;c) = 0. De la, on peut deduire l'existence dev0etw0convenables tels que P(u0;v0;a;b;c) =Q(v0;w0;a;b;c) =R(w0;u;a;b;c) = 0; et demontrer le theoreme.

References.

Methodes modernes en geometrie, par Jean Fresnel.

Le theoreme des six cercles et sa demonstration m'ont ete communiques par Jean Fresnel. Le theoreme des sept cercles, par Evelyne, Money-Coutts et Tyrrell. Le site web de Doron Zeilberger http://www.math.rutgers.edu/ zeilberg/ (Ekhad's Geometry WebBook)quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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