PROBABILITES
Un événement est un ensemble d'issues. Si le résultat de l'expérience aléatoire est une des issues de l'événement on dit que l'événement est réalisé.
FICHE DE MEMORISATION PROBABILITES 3e Quest-ce quune
Qu'est-ce qu'un événement impossible ? Quelles issues contient-il ? Quelle est sa probabilité ? Quand dit-on que deux événements sont incompatibles ?
Cours de probabilités et statistiques
un phénom`ene dont on ne peut pas prédire l'issue avec certitude Quelle est la probabilité qu'elle ait moins d'un an et des fleurs roses ?
ÉCHANTILLON REPRÉSENTATIF (DUNE POPULATION FINIE
30 déc. 2011 Mots clés : Echantillon représentatif Sondage
PROBABILITES
résultats ou issues (1 ou 3 par exemple) et que l'on ne peut pas prévoir On pourrait se demander qu'elle est la probabilité que cet évènement se ...
Introduction aux probabilités et à la statistique Jean Bérard
C'est dans cet état d'esprit qu'il est souhaitable d'aborder l'étude de ces étudiée doit donc pouvoir être rattachée à une et une seule issue figurant.
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE
En effet sachant que le résultat est une boule rouge
Effectifs et fréquences Vocabulaire Définitions Caractéristiques de
Une médiane d'une série de données est une valeur telle qu'il y a : est égale à 3/8. 8. OBJECTIF 8. Lien entre la fréquence des issues et la probabilité.
Probabilités et variables aléatoires
Il est alors intéressant de calculer la probabilité qu'un 0 ait été émis expérience à 2 issues (succès-échec)
Description mathématique dune expérience aléatoire : événements
7 mai 2009 Qu'est ce qu'une expérience aléatoire ? ... possibles (en fonction de ce que l'on veut observer) et la probabilité d'obtention d'une issue.
Chapitre Probabilités - ac-versaillesfr
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement impossible Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certains La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1 Exemple 3) Equiprobabilité Définition
Notions de probabilités - HEC Montréal
probabilité qu'un événement A se produise sachant qu'un autre événement n est réalisé Nous noterons par cette probabilité En quelque sorte ce type de probabilité nous oblige à considérer n (plutôt que ·˜˜comme étant l'espace
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1 Espace de probabilité Une probabilité (ou mesure de probabilité) est une mesure positive P sur un espace mesurable (?A ) telle que P(?) = 1 On dit aussi loi de pro-babilité Le triplet (?A P) est appelé espace de probabilité La Théorie des Probabilités utilise la Théorie de la mesure mais pour des
Comment calculer la probabilité d’une issue ?
La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0 et 1. Plus ce nombre s’approche de 1, plus l’événement associé a de chances de se réaliser. Plus ce nombre s’approche de 0, moins l’événement associé a de chances de se réaliser. La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
Quels sont les notions de probabilité?
5 6 II) Notions de probabilités 1) Définition Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un évènement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée probabilité. Notation Soit A un évènement, on note p(A) la probabilité que l’évènement A se réalise.
Qu'est-ce que la probabilité?
2) Propriétés Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement impossible. Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certains. La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1 Exemple 3) Equiprobabilité Définition
Quelle est la différence entre une probabilité nulle et un évènement impossible?
Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement impossible. Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certains. La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1 Exemple 3) Equiprobabilité Définition
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Stage ATSM - Ao^ut 2010
Cours de probabilit
´es et statistiques
A. Perrut
contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr 2Table des matiµeres
1 Le modµele probabiliste 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
34TABLE DES MATIµERES
5 Tests statistiques 47
5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B Tables statistiques 61
C.1 Variable quantitative discrµete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Chapitre 1
Le modµele probabiliste
1.1 Introduction
Exemples :
- l'enfant µa na^³tre sera une ¯lle, - Proportion :P(A) =3
6 = 1=2. AlorsP(¯lle) = limn!+1k
n n mais cette limite a-t-elle un sens? - Opinion : pour que l'OL soit championne de France? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme subjectif. 56CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
Exemples :
\Lyon ne gagne pas". chi®re pair", ieA=f2;4;6g. jcelui du second.B: \on obtient pile au deuxiµeme lancer" est
B=f(f;p;f);(f;p;p);(p;p;f);(p;p;p)g
le nombre de \face" obtenus. Alors, =f0;1;2;3g. Le modµele est beaucoup plus simple, notations vocabulaire ensembliste vocabulaire probabiliste ensemble plein ensemble vide A sous-ensemble de !2A !appartient µaAA½B
Ainclus dansB
AimpliqueB
A[B AouB A\B intersection deAetB AetB A cou A A\B=;AetBdisjoints
AetBincompatibles
Exemple : soit =f0;1;2g. ConstruisonsP().
P() =n
;;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f0;2g;f1;2g;o telle que : -P(A) =X -P() =X !2P(!) = 10.95 :Ava trµes probablement se produire.
4.0 : incorrect.
-2 : incorrect.0.5 : une chance sur deux.
8CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
faire quelques calculs :1) SiAetBsont incompatibles,P(A[B) =P(A) +P(B).
2)P(Ac) = 1¡P(A).
3)P(;) = 0.
5)P(A[B) =P(A) +P(B)¡P(A\B).
2) CommeAetAcsont incompatibles,1 =P() =P(A[Ac) =P(A) +P(Ac).
3)P(;) = 1¡P(;c) = 1¡P() = 0.
P i2NA i´ =X i2NP(Ai) - axiome 3 :P() = 11 =P() =X
!2P(!) =X !2p=p£card()D'oµup=P(!) =1
card()P(A) =X
!2AP(!) =card(A) card() dire : - choisir, parP(BjA) =P(A\B)
P(A) Utilisation 2 : QuandP(BjA)etP(A)sont faciles µa trouver, on peut obtenirP(A\B). Exemple 6Une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l'une =frouge;verteg £ frouge;verteg rouge".P(A\B) =P(BjA)P(A) =r¡1
r+v¡1¢r r+vP(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
10CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
preuve : CommeA[Ac= ,P(B) =P(B\(A[Ac)) =P((B\A)[(B\Ac)). OrB\AP(B) =P(B\A) +P(B\Ac)
On garde le m^eme formalisme.
P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
r¡1 r+v¡1¢r r+v+r r+v¡1¢v r+v =r r+v (i)[i2IAi= (ii) lesAisont deux µa deux incompatibles : pour tousi6=j,Ai\Aj=;.P(B) =X
i2IP(BjAi)P(Ai) dans l'ordre chronologique. Nous allons maintenant voir une formule µa remonter le temps...1etP(B)>0. Alors,
P(AjB) =P(BjA)P(A)
P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
preuve :P(AjB) =P(A\B)
P(B)=P(BjA)P(A)
P(B) i2I,P(AijB) =P(BjAi)P(Ai)
P j2IP(BjAj)P(Aj) bleaux sur informatique. Les tableaux deAcomportent des fautes dans 5,2% des cas et ceux deBdans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. T TF=\ le tableau comporte des fautes".
P(TAjF) =P(FjTA)P(TA)
P(FjTA)P(TA) +P(FjTB)P(TB)
P(A\B) =P(A)P(B)
P(BjA) =P(B)()P(AjB) =P(A)()P(A\B) =P(A)P(B)
Proposition 14Soit =E£FoµuEest de cardinalnetFde cardinalp. Supposons queP(!) =P((x;y)) =1
card() =1 np =PE(fxg)PF(fyg) =fP;Fg £ f1;:::;6g12CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
8!2; P(!) =1
card() = 1=12 P N³ (!1;:::;!N)´ =P(!1)¢¢¢P(!N) surN. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le m^eme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors?1.6 Exercices
3) On tire trois cartes dans un jeu .
suppose queP(A[B) = 7=8; P(A\B) = 1=4; P(A) = 3=8:
CalculerP(B),P(A\Bc),P(B\Ac).
ros impairs ont chacun la m^eme chance d'appara^³tre, chance qui est deux fois plus grande hasard, et l'on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant?1.6. EXERCICES13
Exercice 6 {SoientM1,M2,M3trois personnes. La premiµereM1dispose d'une infor- la transmet µaM3. Malheureusement, µa chaque fois que l'information est transmise, il y a le bon message? Et siM3transmet l'information dont il dispose µa une quatriµeme personneM4, quelle est elle re»coit un vaccin? daire? Exercice 8 |Dans une usine, la machine A fabrique 60% des piµeces, dont 2% sont C? Exercice 9 |Dans une jardinerie : 25% des plantes ont moins d'un an, 60% ont de 1 µa 2 ans, 25% ont des °eurs jaunes, 60% ont des °eurs roses, 15% ont des °eurs jaunes et moins d'un an, 3% ont plus de 2 ans et n'ont ni °eurs jaunes, ni °eurs roses. 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, ont des °eurs jaunes, 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, n'ont ni°eurs jaunes ni °eurs roses. On suppose que les °eurs ne peuvent pas ^etre µa la fois jaunes
et roses. On choisit une plante au hasard dans cette jardinerie.14CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
Exercice 10 |Deux chau®eurs de bus se relaient sur la m^eme ligne. Lors d'une grµeve, le premier a60%de chances de faire grµeve et le second80%. Pendant la prochaine grµeve, Exercice 11 |Une loterie comporte 500 billets dont deux seulement sont gagnants.Chapitre 2
PPP PPF PFP FPP FFP FPF PFF FFF
valeur deX3 2 2 2 1 1 1 0
k(valeur prise parX)3 2 1 0
fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg k(X=k) = 15 elle est ditecontinue(exemples : hauteur d'un arbre, distance de freinage d'une voiture souvent une formule, plut^ot qu'une liste. [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0] fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg1/8 3/8 3/8 1/8
F(x) =P[X·x]
Exemple :Xest le nombre de Face quand on lance trois fois une piµece. On a vu que la loi deXest P[X= 0] = 1=8; P[X= 1] =P[X= 2] = 3=8; P[X= 3] = 1=8D'oµu,
F(x) =8
>>>>>:0six <0;1=8si0·x <1;
4=8si1·x <2;
7=8si2·x <3;
1six¸3
1)Fest croissante,
3) lim x! ¡1F(x) = 0;limx!+1F(x) = 1E[X] =X
kkP[X=k] oµu on somme sur toutes les valeurskque peut prendreX.E[g(X)] =X
kg(k)P[X=k] preuve : observons queg(X) =yssiX=xavecg(x) =y. Ainsi,P(g(X) =y) =X
x:g(x)=yP(X=x)E(Y) =X
yyP(Y=y) =X yX x:g(x)=yg(x)P(X=x) =X xg(x)P(X=x)Var(X) =Eh
(X¡E[X])2i =X k(k¡E[X])2P[X=k] =E[X2]¡E[X]2 k2X()jkjP(X=k)<1 sa valeur moyenneE[X]. Exemple 18: nous avons la loi du nombreXde PILE quand on lance trois fois une piµece.E[X] =3X
k=0kP[X=k] = 3¢1 8 + 2¢3 8 + 1¢3 8 + 0¢1 8 =12 8 =3 2Var(X) =E[X2]¡E[X]2=3X
k=0k2P[X=k]¡E[X]2
= 32¢1
8 + 22¢3 8 + 12¢3 8 + 02¢1 8¡µ3
2 2 3 4 nbr de PILE [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0]0.125 0.375 0.375 0.125
0.2 0.6 0.1 0.1
partir de quelques observations.P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j]
P[(X;Y) = (i;j)] =P[X=i;Y=j].
touti2X(),P[X=i] =X
j2Y()P[X=ijY=j]P[Y=j]SoitZ=X+Y. Quelle est la loi deZ?
valeur que prendX, la valeur que prendYet la valeur deZ. XnY1 2 3 4 5 6
12 3 4 5 6 7
23 4 5 6 7 8
34 5 6 7 8 9
45 6 7 8 9 10
56 7 8 9 10 11
67 8 9 10 11 12
pour tous1·i;j·6; P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j] = 1=362] =P[Z= 12] = 1=36,P[Z= 3] =P[Z= 11] = 2=36,P[Z= 4] =P[Z= 10] = 3=36,
1·j·12.
P[Z=j] =6X
i=1P[Z=jjX=i]P[X=i] 1 6 6 X i=1P[X+Y=jjX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡ijX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡i] rappeler queP[Y=k] = 1=6seulement sikest dansf1;:::;6g. preuve : pour le premier point, il faut observer que X yP(X=x;Y=y) =P³ (X=x)\([y(Y=y))´ =P³ (X=x)\´ =P(X=x) et il vientE[X+Y] =X
x;y(x+y)P(X=x;Y=y) X x;yxP(X=x;Y=y) +X x;yyP(X=x;Y=y) X xxP(X=x) +X yyP(Y=y) =E[X] +E[Y] Pour le second point, on montre tout d'abord queE(XY) =E(X)E(Y), la suite venant facilement. Ainsi,E[XY] =X
x;yxyP(X=x;Y=y) X x;yxyP(X=x)P(Y=y) µX =E(X)E(Y)P[Y= 1] =p; P[Y= 0] =q= 1¡p
Var(Y) =E[Y2]¡E[Y]2=E[Y]¡E[Y]2=p(1¡p).
conditions.P(E) =q= 1¡p.
P(X=k) =µn
p k(1¡p)n¡kpour tout0·k·n oµu ¡n k¢=n! k!(n¡k)!.P(!) =pk(1¡p)n¡k
Il en existe¡n
P(X=k) =X
!:X(!)=kP(!) = card(f!:X(!) =kg)pk(1¡p)n¡k µn p k(1¡p)n¡k np(1¡p). (preuve) AouB. Puis on le remet dans le lot et on recommence : on choisit µa nouveau un individu binomialeB(n;NA=N). loi binomialeB(4;p).P(X= 0) =¡4
0¢q4=q4,
P(X= 1) =¡4
1¢p1q3= 4pq3,
P(X= 2) =¡4
2¢p2q2= 6p2q2,
P(X= 3) =¡4
3¢p3q1= 4p3q,
P(X= 4) =¡4
4¢p4=p4.
Pourp= 1=5, on obtient les va-
leurs :0 1 2 3 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Loi binomiale pour n=4, p=1/5
valeurs de X probabilitesVoici d'autres exemples.
0 1 2 3 4 5
0.05 0.15 0.25
Loi binomiale pour n=5, p=0.5
valeurs de X probabilites0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20
Loi binomiale pour n=10, p=0.5
valeurs de X probabilites0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20 0.30
Loi binomiale pour n=10, p=0.2
valeurs de X probabilites0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20 0.30
Loi binomiale pour n=10, p=0.8
valeurs de X probabilites X=nX i=1Y i2.4. TROIS AUTRES LOIS DISCRµETES23
par le traitement?P[X·6] =P[X= 0] +P[X= 1] +¢¢¢+P[X= 6]
1 215³
µ15
+µ15 +µ15 +µ15 +µ15 +µ15 +µ15 1 215(1 + 15 + 105 + 455 + 1365 + 3003 + 5005)
= 0:304 P[6·X·10] =P[X= 6] +P[X= 7] +P[X= 8] +P[X= 9] +P[X= 10] = 0:790 P[X¸12] =P[X= 12] +P[X= 13] +P[X= 14] +P[X= 15] = (455 + 105 + 15 + 1)=215 = 0:018En¯n,E[X] = 15=2 = 7;5.
2.4 Trois autres lois discrµetes
8k= 1;2;::: P[Y=k] =p(1¡p)k¡1
preuve : admettons tout d'abord que, sur[0;1[, 1X k=0x 0 =1X k=0(xk)0=1X k=1kx k¡1 etµ1X
k=0x 0 =µ1 0 =1 (1¡x)2D'oµu, pourx= 1¡p,
E[Y] =1X
k=1kP[X=k] =p1X k=1k(1¡p)k¡1=p=p2= 1=p Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice).2.4.2 Loi de Poisson
Cette loi est une approximation de la loi binomiale quandnpest petit etngrand (en8k2N; P[X=k] = exp(¡¸)¸k
k! informatique pendant une minute, le nombre de globules rouges dans un ml de sang, le nombre d'accidents du travail dans une entreprise pendant un an... Dans le cas de l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, le paramµetre de la loi de Poisson est¸=np.2.4.3 Loi uniforme
Mis µa part le prestige d^u µa son nom, la loi uniforme est la loi de l'absence d'information. valeur le m^eme poids :1=n. Et8k= 1;:::;n; P[X=k] =1
nOn montre facilement que
E[X] =n+ 1
2 etVar(X) =(n+ 1)(n¡1)quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] qu'est-ce qu'un événement non élémentaire
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