[PDF] Indépendance conditionnelle permutable





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CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE - maths et tiques

INDEPENDANCE Dans tout le chapitre E désigne l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire et P désigne une loi de probabilité sur E I Probabilité conditionnelle Définition : Soit A et B deux événements avec P(A)?0 On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A la probabilité que l'événement



Tanagra Naive Bayes Classifier Explained

Ceci nous donne une deuxi eme interpr etation de la probabilit e conditionnelle comme la probabilit e trace sur un sous ensemble de Cependant l’usage est de parler des even ements sur l’univers et non des ev enements traces sur H C’est pour cela que l’on dit que P(:=H) est une probabilit e sur et non sur le sous-univers H 1 1 Trois



Probabilités conditionnelles et indépendance

IV Indépendance de deux événements IV 1 Dé nition DEFINITION : Soit A et B deux événements On dit que A et B sont indépendants ssi P(AB) = P(A) P(B) IV 2 Propriétés PROPRIETE : Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles Il est alors équivalent d'écrire : P(AB) = P(A) P(B) (1) P B(A) = P(A) (2) P A(B) = P(B) (3)



Probabilités conditionnelles et indépendance – Fiche de cours

3 Indépendance a Evénements indépendants Définition : Soit A et B deux événements de probabilité non nulle A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre : Deux événements A et B sont indépendants ssi : P(A?B)=P(A)×P(B) Lorsque A et B sont deux événements indépendants



Chapitre 2 Probabilités conditionnelles et indépendance d

conditionnelle : P(B 1jB 2) = P(B 1 B 2) P(B 2) = P(B 2jB 1)P(B 1) P(B 2): A présent on peut e ectuer le calcul : P(B 1jB 2) = 1 2 1 3 7 18 = 3 7: Nous avons donc utilisé la formule suivante qui est la base de la formule de Bayes : Soient E et F deux événements avec P(E) et P(F) non nuls Alors P(FjE) = P(EjF)P(F) P(E)



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CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE Tous les exercices de cette feuille sont à faire et seront considérés comme traités même s’ils ne le sont pas durant les séances de TD Vous pouvez (et êtes encouragés à) poser des questions aux chargés de TD ou au chargé de cours (mais pas la semaine précédent

Qu'est-ce que le modèle d'indépendance conditionnelle?

Comprendre le modèle d’indépendance conditionnelle (Classifieur Bayesien Naïf). Le classifieur bayesien naïf est une méthode d’apprentissage supervisé qui repose sur une hypothèse simplificatrice forte : les descripteurs (Xj) sont deux à deux indépendants conditionnellement aux valeurs de la variable à prédire (Y)1.

Quels sont les critères de l’indépendance?

L’indépendance se mesure ainsi au regard des agissements de l’employeur, de la qualité des adhérents, du comportement du syndicat et de son autonomie financière. Ce critère doit être apprécié lors de l’exercice de chaque prérogative et non de manière globale (Cass. soc. 27/09/2017, n° 16-60264).

Quelle est la clé de l’indépendance?

« L’indépendance, c’est être capable de dire des choses désagréables au client et, le cas échéant, être prêt à le perdre. » « C’est avoir du courage, ne pas être complaisant. La clé de l’indépendance, c’est aus- si être capable de douter, de prendre du recul.

Quelle est la différence entre l’absolution conditionnelle et inconditionnelle ?

Tel que son nom l’indique, dans le cas de l’absolution conditionnelle, l’accusé aura des conditions à respecter, par exemple faire un don à un organisme, effectuer des heures de travaux communautaires, dédommager la victime, etc. Dans le cas de l’absolution inconditionnelle, le contrevenant n’a pas de conditions à respecter.

ANNALES DE L"I. H. P.,SECTIONBÉTIENNECARNAL

Indépendanceconditionnellepermutable

Annales de l"I. H. P., section B, tome 16, no1 (1980), p. 39-47 © Gauthier-Villars, 1980, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Annales de l"I. H. P., section B » (http://www.elsevier.com/locate/anihpb) implique l"accord avec les condi- tions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti- lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

Indépendance

conditionnelle permutable

Étienne CARNAL

Département

de

Mathématiques,

École

Polytechnique

Fédérale

Lausanne,

avenue de Cour 61,
1007

Lausanne,

Suisse.

Ann.

Inst. Henri

Poincaré,

Vol. XVI, n° 1, 1980,
p.

39-47.

Section

B :

Calcul des Probabilités et

Statistique.

RÉSUMÉ.

- Si une suite de variables aléatoires { X1, X2, est telle que pour chaque sous-ensemble fini d'indices { i1, i2, in }, la suite Xi2, forme une chaîne de

Markov, alors elle est

indépen- dante conditionnellement

à la

tribu

SUMMARY. 2014

If a séquence { X1, X2, of random variables has the property that for each finite set of indices {i1, i2, in}, the sequence Xi2, is a

Markov

chain, then it is conditionally independent given the

03C3-algebra ~ 03C3 {

Xi}. i 1.

INTRODUCTION

Nous

étudions

essentiellement le problème suivant :

étant

données trois variables aléatoires X, Y, Z sur un espace de probabilité (Q, E, P), valeurs dans les espaces mesurables respectifs (E,, i 1, 2, 3, quellesrestrictions impose le système d'indépendances conditionnelles :

Annales de l'Institut

Henri

Poincaré-Section B-Vol.

XVI,

0020-2347/1980/39/$ 5,00/

Gauthier-Villars.

39
40

E. CARNAL

Dans le cas

dénombrable, nous noterons (i, j, x E2 x E3 dénombrable. Si nous supposons p(i, j, k) > 0 'd(i, j, k), les relations (I) nous permettent d'écrire sans autres Vi E

Ei, j, j'

E

E2, k, k'

E E3, si nous mettons p(i 1 j, k) pour

Ceci nous

permet facilement de conclure à l'indépendance de X, Y, Z. Qu'en est-il si on lève la condition de positivité dans le cas dénom- brable ? Y a-t-il une réponse dans le cas général ?

Peut-on donner une

hypothèse de positivité dans le cas général qui impliquerait l'indépen- dance ?

Si nous

supposons X, Y,

Z de distribution

conjointe normale, centrées, de variance 1, avec

E(XY) = a, E(YZ)

b, E(XZ) c, le système (I) se ramène aux

équations

c = ab, a = bc, b ac qui imposent soit la dépen- dance stricte, soit l'indépendance. La réponse générale comporte ces deux alternatives comme ses deux extrêmes.

DÉFINITION.

- Soit ( Xi, X2, ... }, une suite finie ou infinie de variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (Q, E, P)

à valeurs dans des

espaces mesurables (Ei, ~i) quelconques et di i 1, 2, ... les sous-tribus associées. On dira que la suite des Xi a la propriété d'indépendance conditionnelle permutable si pour tout i et pour tous sous-ensembles finis d'indices Il et I2, on a l'indépendance conditionnelle et o- { Xk, k E

I2 ~ par rapport

~i.

Remarque.

Il revient au même de dire

que pour tout sous-ensemble fini forme une chaîne de Markov.

Le résultat

principal s'énonce de la façon suivante :

THÉORÈME 1.

- Si ( est une suite finie ou dénombrable de variables aléatoires, il y a

équivalence

entre les deux affirmations : i) les Xi ont la propriété d'indépendance conditionnelle permutable, ii) les Xi sont indépendantes conditionnellement à la tribu ri .d;. iE1 Nous donnerons la démonstration de ce théorème au paragraphe 5, après avoir étudié le cas particulier du système (I) aux paragraphes 3 et 4 ;

Annales de l'Institut Henri Poincaré-Section B

41

INDÉPENDANCE CONDITIONNELLE PERMUTABLE

au n° 3 nous traitons le cas de variables à valeurs dénombrables à part, pour lequel nous préciserons la nature de la tribu de conditionnement. Nous commençons par rappeler certaines règles sur l'indépendance condi- tionnelle, particulièrement utiles dans ce contexte :

2. RÈGLES SUR L'INDÉPENDANCE CONDITIONNELLE

Dans ce

qui suit, si, B, F, ... sont des sous-tribus d'une

03C3-algèbre 03A3

et nous écrirons si indép. ~ ~ ~ pour exprimer l'indépendance conditionnelle de A et B par rapport

à F.

Le lemme suivant est issu de la liste de

règles sur l'indépendance condi- tionnelle donnée par Hunt [1 ] :

LEMME 1. -

dès que CC Les règles suivantes permettent d'affaiblir le conditionnement, la pre- mière étant tirée de McKean [2], la deuxième ayant une démonstration immédiate :

LEMME 2.

3. CAS DE VARIABLES DISCRÈTES

Nous donnons un énoncé détaillé dans cette situation, qui découle d'une démonstration plus constructive, mais qui équivaut en fait à celui que nous donnons plus bas dans le cas général :

PROPOSITION 1. - Si

X, Y,

Z sont à valeurs dans les ensembles dénom-

brables respectifs Ei, E2, E3, le système (I) implique l'existence de parti- 1, 2, ... de

El, E2, E3

telles que Vol. XVI, n° 1-1980.

42E. CARNAL

f) si Fn An x Bn x Cn et est la mesure induite par (X, Y, Z) sur y Ei x E~ x E~, ~ est concentrée sur n' M= 1 ii) Si D~ et ~ or

1, 2, ... },

alors X,

Y et Z sont

indépendantes conditionnellement à la tribu ~ ou, ce qui revient au même, leurs restrictions à D~ sont indépendantes V~.

Démonstration.

On suppose ce qui n'enlève rien à la généralité.

On choisit un élément

quelconque i 1 dans E 1.

On dira

que (A, B, C) possède la propriété (Pl ) si Soit ri 1 l'ensemble des triplets (A, B, C) possédant la propriété (Pl),

On ordonne

ri 1 par inclusion. tels que On peut donc appliquer le lemme de Zorn àquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
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