Cours de mathématiques Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance PDF

Indépendance et incompatibilité. Evénements incompatibles. Deux événements A et B sont incompatibles ssi A ?B=?. Autrement dit deux événements sont

PROBABILITES

Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. Exemples : Dans le tirage d'une carte au hasard dans un jeu classique

Complémentaire et incompatible

Contraire complémentaire

PROBABILITÉ - BOÎTE À QUESTIONS Décris un événement

On mélange on tire une boule au hasard et on regarde le nombre inscrit. Décris deux événements incompatibles. 7. Dans un sac

Evénements indépendants événements incompatibles

Sont-ils mutuellement indépendants ? Exercice 2. A quelle condition nécessaire et suffisante deux événements peuvent-ils être incompatibles et indépendants ?

Chapitre n°10 : « Notion de probabilité »

considère l'événement A : « Choisir une boule rouge ou verte ». VI. Événements incompatibles. Événements contraires. Exemple 1.

correction Devoir libre 20 3èmes

Les événements A et B sont incompatibles puisqu'on ne peut pas tirer à la fois un roi et un d) Propose un événement D incompatible avec l'événement C.

T ES Probabilités

Des événements forment une partition d'un événement A s'ils sont incompatibles deux à deux et si leur réunion est égale à A. 3) Probabilité

Cours de mathématiques Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance

26 janv. 2009 I.C Conditionnement par un événement de probabilité non nulle . ... Les événements A et B sont disjoints ou incompatibles si A ? B = 0.

Probabilités et variables aléatoires

L'inclusion A ? B signifie que l'événement A ne peut être réalisé sans que B le soit. DÉFINITION 5. — Deux événements A et B sont dits incompatibles si la

Evénement incompatible l'événement A "Obtenir un nombre impair" et soit l’événement D ={4 6} Aucune éventualité ne réalise simultanément A et D; on dit que A et D sont incompatibles et on note A D = Evénement contraire Soit E "Obtenir un nombre premier" donc E = {2 3 5}

Quels sont les événements incompatibles?

Événements incompatibles. Deux événements A et B sont incompatibles ssi A ? B =?. Autrement dit, deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps. exemple: On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Les événements A=”obtenir un cœur ????” et B=”obtenir un pique ?” sont bien incompatibles.

Comment savoir si 2 événements sont compatibles ?

2 événements sont compatibles s'ils peuvent se produire en même temps. 2 événements compatibles possèdent au moins 1 issue en commun. La probabilité que 2 événements compatibles se réalisent en même temps est supérieure à 0. "Tirer un as" et "Tirer un coeur" sont 2 événements compatibles. L'as de coeur est une issue commune aux 2 événements.

Comment calculer les événements incompatibles?

Les événements A=”obtenir un cœur ????” et B=”obtenir un pique ?” sont bien incompatibles. Dès lors, P(A B)=0 Axiome 3 : si deux événements A et B sont incompatibles, alors P(A ? B)= P(A)+ P(B) exemple: On lance deux dés et on fait la somme des points obtenus.

Comment savoir si les évènements données sont incompatibles ?

Donc pour déterminer si les évènements données sont incompatibles, il faut vérifier s’il existe des cartes dans le jeu de 52 cartes qui permettent de réaliser les deux évènements. Il y a deux façons de vérifier si les évènements «?choisir une carte de cœur?» et «?choisir une carte noire?» sont incompatibles.

Cours de mathématiques

Terminale S1

Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance

Année scolaire 2008-2009

mise à jour 26 janvier 2009

Fig.1 - Andreï Kolmogorov

Un précurseur de la formalisation de la théorie des probabilités 1

Table des matières

I Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance-Probabilités conditionnelles3 I.A Introduction(fiche). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.B Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.B.1 Quelques définitions vues en Première S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.B.2 Variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.C Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. . . . . . . . . . . . 4 I.C.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.C.2 Représentation à l"aide d"un arbre de probabilités. . . . . . . . . . . . . . 5 I.C.3 Formule des probabilités totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.D Evénements indépendants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.D.1 Indépendance de deux événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.D.2 Indépendance de deux variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Informations sur la mise en page

Le document s"inspire des nombreux livres de Terminale S desdifférentes éditions. Les figures de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros de J-M Sarlat.

L"environnement

bclogo, utilisé pour la réalisation de ce document, est téléchargeable ici : 2 I Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance-Probabilités condition- nelles

I.A Introduction(fiche)

I.B Rappels

I.B.1 Quelques définitions vues en Première S

Rappels

- En général, on notee1,e2, ...,en, les résultats possibles d"une expérience aléatoire.

L"ensemble de ces éventualités est appelél"univers, on noteΩ ={e1,e2,...,en}. Un événementAest un sous-ensemble ou partie deΩ. - Unévénement élémentaireest un événement qui ne contient qu"une seule issue, par exemple{ei}. A chaque événement élémentaire{ei}, on associe un nombrepi, appeléprobabilité de En outrep1+p2+...+pn= 1. On dit que l"on a défini une probabilité surΩ.

- La probabilité d"un événementA, notéeP(A), est la somme des probabilités des évé-

nements élémentaires inclus dansA. On poseP(Ω) = 1etP(∅) = 0. - Dire que les événements élémentaires sontéquiprobablessignifie queP(ei) =P(ej), pour toutietj.

Si leur nombre estn, alorsP(ei) =1

n, et la probabilité d"un événementAest donnée par :

P(A) =nombre d"éléments deA

nombre d"éléments deΩ. - L"événementAest l"ensemble de toutes les issues qui ne sont pas dansA,P(A)+P(A) = 1.

Aest l"événement contraire deA.

L"événementA∩Best réalisé si les événementsAetBsont réalisés. L"événementA?Best réalisé si l"événementAou l"événementBest réalisé. AB

A∩B

Les probabilités deA,B,A∩BetA?Bsont liées par l"égalité :P(A?B) =P(A) +

P(B)-P(A∩B).

Les événementsAetBsontdisjoints ou incompatiblessiA∩B=∅.

SiAetBsont disjoints, alorsP(A?B) =P(A) +P(B).

I.B.2 Variable aléatoire

Variable aléatoire

Ω ={e1,e2,...,en}est l"univers d"une expérience aléatoire sur lequel est définie une probabilité. Unevariable aléatoireXest une fonction deΩdansR. Notonsx1,x2, ...,xqles valeurs deX. On notepila probabilité queXsoit égal àxi. L"ensemble des couples(xi,pi)estla loi de probabilité deX. On la présente en général sous forme d"un tableau.

X=xix1...xn

P(X=xi)p1...pn

Paramètres d"une variable aléatoire

Espérance :E(X) =x1p1+x2p2+...+xqpq=q?

k=1x kpk Variance :V(X) = [x1-E(X)]2p1+...+ [xq-E(X)]2pq=E(X2)-[E(X)]2

Ecart-type :σ(x) =?

V(X) I.C Conditionnement par un événement de probabilité non nulle

I.C.1 Définition

Exemple

Dans un lycée, les 250 élèves qui étudient une seconde languese répartissent, suivant le

choix de cette langue, selon le tableau garcons0.20.0440.1560.4 filles0.120.1560.320.6 total0.320.20.481

Une expérience aléatoire consiste à choisir un élève au hasard. On modélise cette expé-

rience par la loi équirépartie sur l"ensembleΩdes 250 élèves. On considère les événementsA: "l"élève étudie l"allemand" etF: "l"élève est une fille".

On s"intéresse à la probabilité notéePF(A), que l"élève étudie l"allemand sachant que c"est

une fille. Le lycée compte0,6×250 = 150filles dont0,12×250 = 30étudient l"allemand, doncPF(A) =30

150=15.

Cette probabilité est ainsi égale à

0,12

0,6, c"est à direP(A∩F)P(A).

Définition 1:

Une loi de probabilité est définie sur un ensembleΩ.

AetBsont deux événements avecP(A)?= 0.

La probabilité de l"événementBsachantA, notéePA(B), est définie par :PA(B) =

P(A∩B)

P(A). Remarque :La probabilité conditionnellePA(B)se note parfoisP(B/A). 4

Théorème 1-facile à démontrer

AetBsont deux événements deΩde probabilité non nulle.

1.P(A∩B) =PB(A)×P(B) =PA(B)×P(A)

2.PA(B) +PA(¯B) = 1

I.C.2 Représentation à l"aide d"un arbre de probabilités On peut représenter l"expérience aléatoire, dé- crite dans l"exemple précédent, par un arbre de probabilités.

Considérons les événements :

G: "l"élève est un garcon",

I: "l"élève étudie l"italien"

etE: "l"élève étudie l"espagnol".

Sur les deux premières branches, figurent les

probabilités des événementsFetG:P(F) =

0,6etP(G) = 0,4.

Puis sur les branches suivantes, on note les pro-

babilités de chacun des événementsA,IouE sachantFouG. F GA I E A I E 0.6

0.40.2

0.26 0.54 0.5 0.11 0.39

I.C.3 Formule des probabilités totales

Définition 2:

Dire que les événementsB1,B2, ...,Bn

forment unepartitiondeΩsignifie que les ensemblesBisont deux à deux disjoints et que leur réunion estΩ.

ΩB1B

n B n-1

Théorème 2

Les événementsB1,B2, ...,Bnforment une partition deΩ. Alors, pour tout événement A: P(A) =P(A∩B1) +P(A∩B2) +...+P(A∩Bn), c"est à dire : P(A) =PB1(A)×P(B1) +PB2(A)×P(B2) +...+PBn(A)×P(Bn).

Démonstration :

Les événementsA∩B1,A∩B2, ...,A∩Bnsont deux à deux incompatibles et 5 leur réunion estA, la formule en découle. Remarque :On obtient en particulier, pour tous événementsAetBdeΩ,P(B) =P(B∩A)+

P(B∩¯A).

Exercice 1:

On dispose de trois urnes contenant chacune cinq boules, rouges ou noires. La première contient 3 rouges et 2 noires, la deuxième 2 rouges et 3 noireset la troisième 1 rouge et

4 noires.

Julien lance un dé bien équilibré.

S"il obtient 1, il extrait au hasard une boule de l"urne 1. S"il obtient 3 ou 5, il extrait au hasard une boule de l"urne 2. S"il obtient 2, 4 ou 6, il extrait au hasard une boule de l"urne3.

1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge et provienne de l"urne 1?

2. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge?

Solution

1. Illustrons cette situation par un arbre pondéré oùUk(k? {1,2,3}), etRdésignent respec-

tivement les événements : la boule est extraite de l"urneket la boule obtenue est rouge. :

La probabilité cherchée estP(R∩U1).R∩U1est représenté par la branche supérieure de

l"arbre. On a :P(R∩U1) =PU1(R)×P(U1)et doncP(R∩U1) =3

5×16=110.

U1 U 2 U 3R N R N R N 1 6 1 3 1 23
5 2 5 2 5 3 5 1 5 4 5

2. Les événementsU1,U2etU3représentent une partition deΩ.

On a alors :P(R) =P(R∩U1) +P(R∩U2) +P(R∩U3) P(R) =PU1(R)×P(U1) +PU2(R)×P(U2) +PU3(R)×P(U3) d"oùP(R) =3

5×16+25×13+15×12=13.

I.D Evénements indépendantsUne loi de probabilité est définie sur un ensemble d"éventualitéΩ.

I.D.1 Indépendance de deux événements

Définition 3:

Dire que deux événementsAetBsontindépendantssignifie que :P(A∩B) =P(A)× P(B).

Remarques

- SiAetBsont indépendants et de probabilités non nulles alors : P

A(B) =P(A∩B)

P(A)=P(A)P(B)P(A)=P(B)et de mêmePB(A) =P(A).

- La notion d"indépendance est une notion probabiliste, alors que la notion d"incompati- bilité est une notion ensembliste. À l"avenir, il ne faudra pas confondre (AetBindépendants) et (AetBincompa- tibles).

Théorème 3

Si deux événementsAetBsont indépendants, alors :

1. les événements

¯AetBsont indépendants

2. les événementsAet¯Bsont indépendants

3. les événements

¯Aet¯Bsont indépendants

Démonstration :

AetBsont indépendants, doncP(A∩B) =P(A)P(B).

1.P(¯A∩B) =P(B)-P(A∩B) =P(B)-P(A)P(B) =P(B)(1-P(A)) =P(B)P(¯A)

donc

¯AetBsont indépendants.

2. C"est la même démonstration, il suffit de changerAetB.

3. d"après 1.,

¯AetBsont indépendants, et d"après 2.,¯Aet¯Bsont indépendants. I.D.2 Indépendance de deux variables aléatoires

Définition 4:

XetYsont deux variables aléatoires surΩ.

On notex1,x2, ...,xnles valeurs prises parXety1,y2, ...,ynles valeurs prises parY. Dire queXetYsont indépendantes signifie que pour tousietjles événements(X=xi) et(Y=yj)sont indépendants. 7quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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Quels sont les événements incompatibles?

Comment savoir si 2 événements sont compatibles ?

Comment calculer les événements incompatibles?

Comment savoir si les évènements données sont incompatibles ?

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Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance

Année scolaire 2008-2009

Fig.1 - Andreï Kolmogorov

Table des matières

Informations sur la mise en page

L"environnement

I.A Introduction(fiche)

I.B Rappels

Rappels

Si leur nombre estn, alorsP(ei) =1

P(A) =nombre d"éléments deA

Aest l"événement contraire deA.

A∩B

P(B)-P(A∩B).

SiAetBsont disjoints, alorsP(A?B) =P(A) +P(B).

I.B.2 Variable aléatoire

Variable aléatoire

X=xix1...xn

P(X=xi)p1...pn

Paramètres d"une variable aléatoire

Espérance :E(X) =x1p1+x2p2+...+xqpq=q?

Ecart-type :σ(x) =?

I.C.1 Définition

Exemple

150=15.

Cette probabilité est ainsi égale à

0,6, c"est à direP(A∩F)P(A).

Définition 1:

AetBsont deux événements avecP(A)?= 0.

P(A∩B)

Théorème 1-facile à démontrer

1.P(A∩B) =PB(A)×P(B) =PA(B)×P(A)

2.PA(B) +PA(¯B) = 1

Considérons les événements :

G: "l"élève est un garcon",

I: "l"élève étudie l"italien"

Sur les deux premières branches, figurent les

0,6etP(G) = 0,4.

Puis sur les branches suivantes, on note les pro-

0.40.2

I.C.3 Formule des probabilités totales

Définition 2:

Dire que les événementsB1,B2, ...,Bn

ΩB1B

Théorème 2

Démonstration :

P(B∩¯A).

Exercice 1:

4 noires.

Julien lance un dé bien équilibré.

1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge et provienne de l"urne 1?

2. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge?

Solution

1. Illustrons cette situation par un arbre pondéré oùUk(k? {1,2,3}), etRdésignent respec-

5×16=110.

2. Les événementsU1,U2etU3représentent une partition deΩ.

5×16+25×13+15×12=13.

I.D.1 Indépendance de deux événements

Définition 3:

Remarques

A(B) =P(A∩B)

P(A)=P(A)P(B)P(A)=P(B)et de mêmePB(A) =P(A).

Théorème 3

1. les événements

¯AetBsont indépendants

2. les événementsAet¯Bsont indépendants

3. les événements

¯Aet¯Bsont indépendants

Démonstration :

1.P(¯A∩B) =P(B)-P(A∩B) =P(B)-P(A)P(B) =P(B)(1-P(A)) =P(B)P(¯A)

¯AetBsont indépendants.

2. C"est la même démonstration, il suffit de changerAetB.

3. d"après 1.,