Complexité Corrigé
12 mars 2012 Comme la boucle s'exécute n fois le temps d'exécution du programme est alors en Θ(n). 2 Correction de l'exercice 1.2. Le programme étudié est ...
Exercice 1 : Complexité des algorithmes (8 points) DIU Enseigner l
4 juil. 2019 Déterminer ensuite par la méthode du Master Theorem
TD1.1 Analyse dalgorithmes calculs de coûts
comparer des algorithmes selon leur complexité; évaluer la qualité d'un algorithme selon sa complexité. Exercice 1 : Itérations emboîtées (30 min). Compter
TD : Complexité des algorithmes
Quelles conséquences peut-on en tirer ? Page 2. PROPOSITION DE CORRIGE. Durée Exercice 2 Revoir poly transparents 33
SUJET + CORRIGE
Exercice 2 : Algorithmes de rang. (14 points). Le probl`eme de la sélection complexité en O(n × (n − r)). Ainsi la complexité dans le pire des cas est en ...
Algorithmes et structures de données : TD 5 Corrigé
Exercice 5.1 Temps d'un algorithme T(n). Pour chacun des fonctions Ti(n) Déterminer la complexité asymptotique des deux algorithmes dans la notation Grand-O.
Travaux Dirigés Algorithmique no3 - Complexité fonctions usuelles
Pour montrer qu'un algorithme est correct on écrit une propriété P qui est conservée à chaque étape de boucle que l'on appelle invariant de boucle. Exercice 1.
TD 01 – Introduction à lalgorithmique (corrigé)
Exercice 1. Grand Saut Nous allons montrer que la complexité exacte est 3n − ⌊log n⌋ − 3 en exhibant un algorithme ayant cette complexité ainsi qu'en.
TD dalgorithmique avancée Corrigé du TD 2 : récursivité
5. Qu'elle est la complexité (en nombre d'additions) de cet algorithme? La complexité de l'algorithme Fib-Paire en
Algorithme correction
https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/igt/eiserm/enseignement/mae/mae-chap08.pdf
Complexité Corrigé
12 mars 2012 Comme la boucle s'exécute n fois le temps d'exécution du programme est alors en ?(n). 2 Correction de l'exercice 1.2. Le programme étudié est ...
TD : Complexité des algorithmes
Conclure en donnant la complexité temporelle pour chaque algorithme PROPOSITION DE CORRIGE ... Exercice 2 Revoir poly transparents 33
SUJET + CORRIGE
Dans cet exercice nous allons adapter des algorithmes de tri vus Rappel : La complexité
TD1.1 Analyse dalgorithmes calculs de coûts
évaluer la qualité d'un algorithme selon sa complexité. Exercice 1 : Itérations emboîtées (30 min). Compter le nombre d'opérations Schtroumpfer exécutées
Algorithmes et structures de données : TD 5 Corrigé
Exercice 5.1 Temps d'un algorithme T(n). Pour chacun des fonctions Ti(n) suivant déterminer sa complexité asymptotique dans la.
Algorithmique I - Cours et Travaux Dirigés L3 Ecole Normale
Quelle est la complexité de l'algorithme ? 21. Page 22. Exercice 2.6.2. Plus grand et deuxi`eme plus grand de
Calculs de complexité dalgorithmes
?Complexité des algorithmes ?Un algorithme à partir d'une donnée établit un résultat . ... Exercice. ?Chaque jour pour mon goûter
Algorithmique et complexité de calcul
Exercice : Faire la trace pour l'exemplaire (1753). Modifier cet algorithme pour avoir une seule boucle et en utilisant seulement des variables scalaires. Page
Algorithme correction
https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/igt/eiserm/enseignement/mae/mae-chap08.pdf
TD 01 – Introduction à lalgorithmique (corrigé)
TD 01 – Introduction à l'algorithmique (corrigé). Exercice 1. Grand Saut La complexité en O(log2(n)) qui est indiquée nous aiguille vers une dichotomie.
Exercice 1 : Complexité des algorithmes (8 points)
Exercice 1 : Complexité des algorithmes (8 points) Question 1 1: On considère le code suivant comportant deux « tant que » imbriqués On cherche à mesurer la complexité de cette imbrication en fonction de n Pour cela on utilise la variable compteur qui est incrémentée à chaque passage dans le « tant que » interne def procedure(n) :
Travaux Pratiques Méthodes Numériques
Exercice 1 : Complexité des algorithmes On considère la fonction suivante réalisant la fusion de deux listes triées passées en paramètres La fonction retourne la liste fusionnée elle-même triée def fusion(liste1liste2) : 1 i1i2 = 00 2 resultat = [] 3 while i1 < len(liste1) and i2 < len(liste2) : 4 if liste1[i1] < liste2[i2] :
TD : Complexité des algorithmes - LIMSI
PROPOSITION DE CORRIGE Durée prévue : une séance Exercice 1 a) tableau à deux dimensions algo : somme := 0 pour cptL := 1 à n faire {pour chaque ligne} pour cptC := 1 à n faire {pour chaque colonne} somme := somme + tab[cptL cptC] 1 complexité spatiale : n * n 2 complexité temporelle : n* n sommes b) tableau à une dimension
TD11 Analyse d'algorithmes calculs de coûts - GitLab
comparer des algorithmes selon leur complexité; évaluer la qualité d'un algorithme selon sa complexité Exercice 1 : Itérations emboîtées (30 min) Compter le nombre d'opérations Schtroumpfer exécutées par chacun des algorithmes suivants 1 (1) pour i = 1 à n faire (2) pour j = 1 à n faire (3) Schtroumpfer() 2 (1) pour i = 1 à n faire
Complexité Corrigé
3 Correction de l’exercice 1 3 Cet exercice ressemble beaucoup à l’exercice 1 2 avec une di?érence fondamentale dans la boucle interne En e?et dans l’exercice 1 2 la boucle interne réalise un nombre constant d’opé-rationsalorsquedansleprésentexercicelenombred’opérationsdépenddescaractéristiquesdes
Quelle est la complexité des algorithmes?
Nous les présentons dans l’ordre de complexité croissante des algorithmes. Dans le cas de la méthode de dichotomie, la seule information utilisée est le signe de la fonction f aux extrémités de sous-intervalles, tandis que pour les autres algorithmes on prend aussi en compte les valeurs de la fonction et/ou de ses dérivées. I.2.
Quelle est l’existence d’un algorithme de résolution de complexité polynomiale?
La question de l’existence d’un algorithme de résolution de complexité polynomiale nous amène à définir des classes de complexité : intuitivement on aimerait avoir une classe des programmes que l’on peut résoudre en temps polynomial, une classe de problème plus compliqués, et un moyen de déterminer à quelle classe appartient un problème.
Quelle est la théorie de la complexité?
La théorie de la complexité a commencé en adaptant les méthodes de la calculabilité au cas du temps de calcul borné. Par exemple, on retrouve de nombreux ingrédients issus de la calculabilité dans la démonstration du théorème 3-AK de Ladner datant de 1975.
Qu'est-ce que la classe de complexité P?
Définition 14 (Classe de complexité P).La classe de complexité P est l’ensemble des problèmes concrets de décision qui sont résolubles en temps polynomial. Pour quoi s’embêter avec des codages plutôt que de définir directement la complexité d’un problème abstrait?
AlgorithmiqueI-CoursetTravauxDiri g´es
L3,Ecol eNormaleSup´er ieuredeLyon
CoursAnneBe noit
TravauxDirig´es(200 8-2009)
BenjaminDepardon,Chris topheMouilleron,Cl´ement ResvoySeptembre2009
2Tabledesmati` eres
1In troduction:calculdex
n 9 1.1 Enonc´eduprobl`eme.. ..... ....................... ... .91.2Algorit hmena¨ıf............ ............... ... .. ... ..9
1.3M´et hodebinaire............. ................. ... ... 9
1.4M´et hodedesfacteurs......... ......... ................10
1.5Arbre deKnuth.... ...... .............. ... ... ... ... .10
1.6R´es ultatssurlacomplexit´e...... ......... ...... .........11
1.7Exe rcices.................... ... ... ... ... ... .. ... 12
1.8R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................14
2D iviserpourr´egner15
2.1Algorit hmedeStrassen........ ...... ..................15
2.2Prod uitdedeuxpolynˆomes... ...... ............ .........17
2.3Maste rtheorem....... .................. ... .. ... ... .18
2.4R´es olutiondesr´ecurrences...... ........ ................19
2.4.1R´esol utiondesr´ecurrenceshomog`ene s........ ............19
2.4.2R´esolu tiondesr´ecurrencesavecsecon dmembre.. .............19
2.5Mult iplicationetinversiondematrices....... ...... ...........20
2.6Exer cices..................... .. ... ... ... ... ... ..21
2.7R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................23
3P rogrammationdynamique25
3.1Pi`e cesdeMonnaies......... ...... .................. .. 25
3.2Leprob l`e medusac`ados............. ...... ..... ...... .26
3.2.1Englouton ...... ........... ... ... ... ... ... .. .26
3.2.2Parprogr ammationd ynamique................ ........26
3.3Quel quesexemplesdeprogrammationd ynamique................ ..27
3.3.1Chaˆın esdematrices............ ...... ............27
3.3.2Pluslon guesous-suite. ........... .................28
3.3.3Locationd eskis.......... ..... ............ ... ..30
3.4Exe rcices.................... ... ... ... ... ... ... .. 32
3.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................34
4A lgorithmesgloutons35
4.1Exem pledugymnase.......... ...... .............. ... .35
4.2Route `asuivrepourl eglouton. ................. ........ ..36
4.3Colori aged'ungraphe...... ........... ............ ... .37
4.3.1Algorithm eglouton1.............. ............ ... 38
4.3.2Algorithm eglouton2.............. ............ .. .38
34.3.3Graphed 'intervalles.... ..........................39
4.3.4Algorithm edeBrelaz............ ...... ...........39
4.4Th´ eoriedesmatro¨ıdes..... ........ ....................41
4.4.1Matro¨ ıdes...................... ... ... ... ... ..41
4.4.2Algorith meglouton............... ........... ... ..42
4.5Ordon nancement........................... ... .. ... .42
4.6Exer cices..................... ... ... ... .. ... ... ..44
4.7R´ef ´erencesbibliographiques............. .................45
5Tri47
5.1Trif usion.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .47
5.2Trip artas:Heapsort ...... ..... ... ............... .. ..47
5.2.1D´efini tions......................... ... ... ... .47
5.2.2Tripart as........ ..... ...... ... ... ... ... .. ..48
5.2.3Inser tiond'unnouvel´el´ement.. ............ ...........48
5.2.4Suppre ssiond'un´el´ementdutas........ ........... ....49
5.2.5Comple xit´edutripartas............... ...... ......49
5.3Trir apide.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .49
5.3.1Coˆut. ............... .. ... ... ... ... ... ... .. .50
5.3.2M´edian eentempslin´eaire.... ...... .............. ...50
5.4Compl exit´edutri.................. ...... ........ ... .51
5.4.1Lesgrands th´eor` emes....... ......................51
5.4.2D´emons trationdesth´eor`emes.............. ........ ...52
5.4.3Peut-on atteindrelaborne?.. ....................... .54
5.5Exer cices..................... ... ... ... ... ... .. ..55
5.6R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................57
6G raphes59
6.1D´efi nitions....................... ... ... ... ... .. ... 59
6.2Arbre s............. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 59
6.2.1Caract´e risation............................. ... .59
6.2.2Parcours d'arbresbinaires... ..................... ...60
6.2.3Arbresb inairesderecherc he.................. ...... ..63
6.3Stru cturesdedonn´eespourlesgraphes... ...... ...............65
6.4Acce ssibilit´e............................ ... ... .. ... 69
6.4.1Rappel ssurlesrelationsbinai res..... ......... .........69
6.4.2Chemin sdanslesgraphes........ ......... ......... .70
6.4.3Fermet uretransitive.............. ................70
6.5Plus courtschemins .............. .................... 73
6.5.1D´efin itions........................ ... ... ... ..73
6.5.2Pr´es entationdespluscourtschemins....... ......... .....74
6.5.3Avecdes poidspositi fs...... ............ ...........74
6.5.4Chemin salg´ebriquesdanslesse mi-anneaux.................75
6.5.5Algorithm edeDijkstra......... ...... .............76
6.6Parcou rsenlargeur......... ..... ............... ... .. .78
6.7Parcou rsenprofondeur...... ..... .....................80
6.7.1Premi` ereversion................. ...............80
6.7.2Analysefi neduparcoursenprof ondeur... ...... ..........81
6.8Trit opologique.. .................... ... ... ... ... ... 82
6.9Forte connexit´e... .......................... ... .. ... 83
46.10Exer cices..................... ... ... ... ... .. ... ..83
6.11R´ef ´erencesbibliographiques............. .................88
7Tab lesdehachage89
7.1Rech ercheentable............... ...... ............ .. 89
7.2Table sdehachage....... ...... ............ ... .. ... ..89
7.3Colli sionss´epar´ees.......... .........................90
7.4Adre ssageouvert.......... .............. ... ... ... .. .91
7.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................92
8A nalyseamortie93
8.1Compt eur................. ... ... ... ... ... .. ... ... 93
8.1.1M´etho dedesacomptes............ ......... ........93
8.1.2M´etho dedupotentiel........... ...... ............94
8.2Mallo cprimaire....... .................... ... ... .. ..94
8.2.1M´etho deglobale................. ............ .. .94
8.2.2M´etho dedesacomptes............ ......... ........94
8.2.3M´etho dedupotentiel........... ...... ............94
8.3Inse rtionETsuppression....... ...... ...................95
8.4Gest iondespartitions.... ........ .....................95
8.4.1Repr´e sentationenlisteschaˆın´ees............. ..... .....95
8.4.2Repr´ esentationenarbres....................... ....95
8.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................96
9NP-Compl´etude97
9.1Probl `emesdeP.....................................97
9.1.1Pens´e edujour(PJ).......... ...... ......... .....97
9.1.2D´efini tion....................... ... ... ... ... .97
9.1.3Exempl es..................... ... ... ... ... .. .98
9.1.4Solution d'unprobl`eme..... ............ ...........99
9.2Probl `emesdeNP...................................99
9.2.1D´efini tion....................... ... ... .. ... ..99
9.2.2Probl`e mesNP-complets.............. ..............99
9.2.3Exempl esdeprobl`emesdansNP.......................100
9.2.4Probl`e mesded´ecisionvsoptimisation.. ...... ............100
9.2.5Exempl edeprobl`emesn'´etantp asforc´e mentdansNP...........100
9.2.6Probl` emespolynomiaux.............. ..............101
9.3M´e thodeder´eduction....... ...... ....................102
9.43-SAT ........... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..102
9.5Cliq ue................ .. ... ... ... ... ... ... .. ... .104
9.6Couve rtureparlessommets.......... ...... ........ ......105
9.7Cycl ehamiltonien.... .......................... ... ..106
9.8Colorat iondegraphes......... ..... ............... ... .106
9.8.1COLOR.. ............ .. ... ... ... ... ... ... .. .107
9.8.23-COLOR ............... ... .. ... ... ... ... ... .109
9.8.33-COLOR- PLAN..................... ... ... ... .. 110
9.9Exer cices..................... .. ... ... ... ... ... ..112
9.10R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................114
510A lgorithmesd'approximation115
10.1D´efi nition..................... ... ... ... ... .. ... ..115
10.2Vert excover.......... .............. ... ... ... ... ... 115
10.2.1Version classique......... ....................... 115
10.2.2Version pond´er´ee........ ........................116
10.3Voyage urdecommerce:TSP... ..... .................... .116
10.3.1D´efini tion....................... ... ... ... ... .116
10.3.2Inappro ximabilit´edeTSP...........................117
10.3.32-approx imationdanslecaso`ucv´erifiel'in´egalit ´etriangul aire... ...117
10.4BinP acking:BP ................. ... ...... ... ... ... .118
10.4.1D´efini tion....................... ... ... ... ... .118
10.4.2NextFit ......... ........ ... ... ... ... ... .. ... 119
10.4.3DecFir stFit(DFF )............. ......... ........119
10.52-Part ition................... ... ... ... ... ... .. ... 120
10.5.1NP-compl ´etudeausensfaibleetausensfort......... ... ....120
10.5.2Approxi mationgloutonnes.................. .........120
10.5.3Une(1+ ?)-approximation....................... ... .121
10.5.4FPTASpou r2-Partition... ........ .................123
10.6Exe rcices.................... ... ... ... ... ... .. ... 125
10.7R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................127
6Pr´eface
Lestradi tionschangentetlecoursd'algon 'estplustoujourslem ercred i`alam ˆemeheure, lesensei gnantsrajeunissent,etlepolyse d´eboguegrˆaceauxgentils´etudiants,TD-menet enseignants. Doncvoicila nouvelleversi ondupol yremis`aneuf,toujourspou rsatisfairevotreenvi ede savoir.Biensˆurilr estesansnuld outedenombreus eserre ursgliss´eesdans cespages,me rcide mefaire partdevostrouvai llesparcou rrier´ electr onique`aAnne.Benoit@ens-lyon.fr.Lyon,Juille t2007
AnneBenoit
Pr´efaced'YvesRobert
Cepolyc opi´erassemblelescoursettr avauxdirig´es(aveccorrig´ es)dumod uleAlgorithmique del'ENS Lyon.Al'origine pr´evupour lap remi`ereann´eeduMagist` ered'Informatique,l emodule s'int`egred´esormaisdanslatrois i`emeann´eedelaLicenced'In formatique .Etdir equepersonne nes'es trenducompteduc hangement! Celafait`ape inedixansq uej'en seignececours.Ad ´efautdech angerle contenu(pou r fairequoid'autr e?)oud'uti liserautrechosequeletableau et lacraie(idem?),jechangeles irr´esistiblestraitsd'humourquifonttoutlecharm edecess´eancesd uMercredi(l'horairene changepasnonplu s).Etj 'usetou teunebatteriedeTD- menandw omen,lesquelsont apport´e leurcontribut ionaufildesans,construisantouam´elioran tde ss´ean cesdetrav auxdirig´e s. Jelesr emercietou ssinc`erement,parordred'ap parition:Od ileMillet-Botta,TanguyRisset, AlainDarte,B runoDurand,Fr´e d´ericVivien,Jean -ChristopheDubacq,O livierBodini,DanielHirschko
ff ,Mat thieuExbrayat,NatachaPort ier,EmmanuelHyon,EricThier ry,MichelMorv an etYvesC aniou. Sansaucunep ressionoupresque, YvesCaniouetEricThierry ontr ´eussi`asemotiver pourrassemb lerlesTD.L'ann´eepr´ec´edent e,j'avaisr assembl´e lescours.Enfin,quand ondit rassembler,c' estsurtoutlesgen tils´etudiants-scr ibesquiras semblent,entapotantd eleursdoigts agileslaquint essenc edenotreenseignementin´egalable. Cepolyc opi´eestleconcurrentleplu ss´erieu xduCorm endanslemonde,oudumoinsdans lesept i`emearrondissementdeLyon!Maisr enon¸cant`adefabuleuxdroitsd'auteur,l'´e quipe p´edagogique(c'estnous)ad´ec id´edemettrecetouvr age`alalibred isp ositiondesnombreux´etudiantsassoi
ff ´esdesavoi r(c'es tvous).Enjoy!Etmer cidesignalererreu rsetomi ssionspar courrier´electronique` aYves.Robert@ens-lyon.fr.Lyon,Mai2005
YvesRobert
7Biblio
Voiciquelques pointeursbibliographiques(v oiraussilesr´ef´erencesdon n´ees`alafindechaque chapitre): IntroductiontoAlgorithmsdeT.H.C ormen,C .E. LeisersonetR.L.Rives t[2].L'ou - vrageder´e f´eren ceparexcellence,`aacheteretconserve rtoute savied'informaticien.Ilse murmurequ'unedeuxi`em e´editionestparue,a vecunauteurdeplus.Etunetradu ction fran¸caise. ComputersandIntractability, aGuide totheTheoryofNP-CompletenessdeM.R . GareyetD.S.Joh nson[5]. Essent ielle mentpoursonintrod uction`al aNP-compl´etudeau sensfort,etqu elquesjolies r´educ tions.Onrevienttoujours`as oncataloguedeprobl`em esNP-complets.
Theartof Compute rPr ogramming,le stroistomes deKnuth[6],e tbientˆotquatr e,pour leursexercices incroyablesSinon,j'aimebien:
-TypesdeDonn´eeset Algorit hmes,le livred eFroidevaux,Gaude letSori a[4],pourl'analyse finedesprob l`emesdet ri -leNP-com pendium,maintenusurleWeb(http://www.nada.kth.se/ viggo/problemlist/ compendium.html),pourl esr´esult atsd'appro ximation.Lelivrequicorrespond,Com- plexityandApproxim ation,de Ausiell oetal.[1]estvraimenttr` escompl et,ave cune bonneintroduc tionauxsch´emasd'approximation. -AlgorithmsandComplexity,le livred eWilf[12],dontlap remi`e re´edition,´e puis´ee, est wilf/.Une joliein troduction `alaNP -compl´ etude,avecunepreuveconciseduth´eor`emede Cook,pleind' algorithmes, del'h umour,dansunfichier.pdf`at ´el´echarge rabsolum ent -Comparedtowhat?:anintro ductio ntotheanalysiso fal gorith ms,le livred eRawlins[8], quicontien tunemined'exercicesor iginaux -IntroductiontoGraphTheory,de West[ 11],monlivrepr´ ef´er´ed egraphesEnfin,deuxlivre splusdi
ffi ciles,`ar´eserver auxplus aventureux:celuideKozen[7],Thedesign andanalys isofalgorithms,c ontientlesnotesdecourset exercice s(certainscorr ig´es )d'uncours denive auavanc´edonn´e`a Cornell,etceluideVaz irani[10],Approximationalgorithms,don tle titrer´esumebi enlecontenu. 8Chapitre1
Introduction:calculdex
n Cechap itresebasesurunpetitex emple facilepourd ´efinirl'al gorithm iqueetlanotionde complexit´ed'unprobl`eme. 1.1Enonc´eduprobl`eme
On´etu dieleprobl`emeducalcul dex
n ,´e tantdonn´esxetn(n´etan tunentierpositi f). Soulignonsquexn'estpasn´ecess airemen tunnombre,ilpeuts'agird'unematriceoud'un polynˆome`aplusieursind ´eter min´ees:silamultiplicationau nsens,ladivisionn'enapas!Onposey
0 =x,et onutili sel a"r`egledujeu"suivante: sij'aid ´ej`acalcul´ey 1 ,y 2 ,...,y i-1 jepeux calculery i commeproduit dedeuxr´esultatspr´ec ´edent sarbitraires: y i =y j ·y kLebu testd'atte indrex
n leplus vitepossible, i.e.detrouve rOpt(n)=min{i/y
i =x n1.2Algori thmena¨ıf
y i =y 0 ·y i-1 Onay n-1 =x n ,le coˆut estdoncden-1.1.3M´ethode binaire
Ontrouv efacilementunalgori thmepluse
ffi cace: x n x n/2 ·x n/2 sinestpair, x ?n/2? ·x ?n/2?·xsinestimpair.
Onpeut aussiformulerl 'algorithmedel afa¸consuivante.On´ecri tnen´ecr iturebinaire.Puis onre mplacechaque"1"parSXetchaq ue"0"parS,etonenl`e vel eprem ierSX( celuiq uiest`a gauche).Lemotobtenudonn eun efa¸cond ecalculerx n ,en traduis antSparl'op´erationmettre aucarr ´e(squaring),etXparl'op´erationmultiplierparx.Par exempl e,pourn=23( n=10111) , 9 lacha ˆıneobtenueestSXSSXSXS X,enenlevantlepremi erSX,onobti entSSXS XSX.O n calculedoncdansl'ordre x 2 ,x 4 ,x 5 ,x 10 ,x 11 ,x 22,etx 23
Lac orrectiondel'algorithmesejust ifiefac ilement`apartirdespropri´et´ esdusy st`emebinaire.
Leco ˆutestde:
?logn?+ν(n)-1, o`uν(n)re pr´esentelenombrede1dansl'´ecritu rebinai reden.Bi ensˆur,commed anstout ouvraged'informat iquequiserespecte,leslogarithmessonten base2. Cettem´ethodebi nairen'estpasoptimale:parexe mpleavecn=15,on obt ien tlachaˆıne SXSXSX,d'o`u6m ultiplicationalorsq uee nremarquantque15=3·5,ona bes oind e2 multiplicationspourtrouvery=x 3 (y=(x·x)·x)pu isde3autrespou rcalcu ler x 15 =y 5 (on appliquelam´ethodebin aire:y 2 ,y 4 ,y 51.4M´ethode desfacteurs
Lam´ ethodedesfacteursestbas´e esurlafact orisationden: x n (x p q sipestleplu spetit facteurpremie rden(n=p×q), x n-1·xsinestpr emier.
Exemple:x
15 =(x 3 5 =x 3 .(x 3 4 =.. .(5multip lication s). Remarque:Aveclespu issancesde 2,cettem´ethodeestidentique `alam´ et hodebinaire. Remarque:Cettem´ethoden' estpasoptimale,parexemplepou rn=33on a7m ult ipl ica- tionsaveclam ´ethodedesfac teurse tseulement6aveclam´etho debinaire . x 33=(x 3 11 =x 3 .(x 3 10 =x 3 .((x 3 2 5 =x 3 .y.y 4 avecy=(x 3 2 x 33
=x.x 2 5 Remarque:Ilexis teuneinfinit´edenom brespourle squelslam´ethodedesfacte urses t meilleurequelam´ethodebinai re(prendr en=15·2 k ),et r´eciproque ment(prendren=33·2 k Arnaque:Ilfaut soulignerqu elecoˆutdelarecherch edelad´ec ompositi ondenenfacte urs premiersn'estpasprisencom ptedansnotreformu lation.C 'estpourtantn ´ecess airepourquan- tifiercorrectemen tlecoˆutdelam´ethodedesfacteurs.Le probl` emeestqu'onnesait pas,`ac e jour,trouverla d´ecompositionentemp spolynom ialenn.Ce probl`e meestNP-complet(notions deNP-com pl´etudedanslasuiteducours).
1.5ArbredeK nuth
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] examen d'algorithmique
[PDF] examen principe de gestion 1ére année
[PDF] examen principe de gestion ihec
[PDF] principe de gestion 2
[PDF] comptabilité générale exercices corrigés maroc
[PDF] examen comptabilité générale s1 corrigé pdf
[PDF] examen de comptabilité générale
[PDF] examen comptabilité générale s1 pdf maroc
[PDF] cours de comptabilité générale s1 pdf
[PDF] examen comptabilité générale corrigé
[PDF] examen de comptabilité générale s2 corrigé
[PDF] exercices corrigés sur le décodage d adresses
[PDF] examen algorithmique récursivité
[PDF] examen algorithmique avancée corrigé
