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Concours X - polytechnique - 2018 - MP- corrigé O.Ansor Etude du dispositif de propulsion du lanceur Arian 5 1. Analyse préliminaire
1. On considère le système fermé de vitesse vpar rapport au référentiel d'étude supposé galiléen,
constitué à l'instant t de la massem t de la fusée et à l'instant t+dt de sa masse m t dt et de la
masse dm éjectée entre t et t+dt. On a :P t mv tet( ) ( )sP t dt m t dm v t dt dm v t dt v ( ) ( )sdP t m t dv t dmv ex sdP t dvF m Dvdt dt . de la forme : ( )( )exdv tm t F Fdt . Avec: sF Dv : force de poussée.2. la vapeur d'eau est assimilée à un gaz parfait en équilibre à la température T0 dont l'énergie est
purement cinétique (interactions entre molécules négligeables). le champ de vitesse est en plus isotrope.
D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie on a :2 2 20 0
0 03 31 3 332 2 2
x B H O k T RTm v m v k T v rTm M . 3. 20 0 0 0 0 0 03 3th th thF Dv A v A rT P A .
4. AN : 6#6,5.10thF N. thFest inférieure au poids de la fusée sur terre (6
0 0#7,8.10Fm g N), donc
insuffisante, d'où la nécessité de la tuyère.5. La loi de Laplace, pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, s'écrit :
2p dp d dp pcst c rTp d .
6. 0 0 0
0 0 0 0
0 0DA DA PD v A vrT . AN : 1
0#330 .v ms.
7. 10 0#1450 .c rT ms. 0
#0,23 1vMc : écoulement subsonnique.2. Relation de Hugoniot
8. en régime stationnaire, le débit massique D vAest constant.
9. 0d dv dA dA d dv d dp dvvA cstv A A v dp v
. Or : 21d dp c et dpvdv .Donc :
2 21 1dA vdv dv v dv dvMA c v c v v
(5).10. pour 1M, 0 0dv dA
v A : la tuyère (a),divergente ne convient pas (décroissance de v dans (a))11. pour1M, 0dv
dA:dans une tuyère de Lavale, la vitesse croit dans la partie convergente et décroit dans la partie divergente. Elle est maximale au col de section minimale.12. Avions supersoniques (1M).
3. Dépendance des grandeurs avec le nombre de Mach
13. on a :
2 2 v v dM dv dTMc rT M v T (5').14. évolution adiabatique réversible du gaz parfait:
2pc 1 1 dp dTp T cstp T . Et d'après(4) on a : 2 2 21dv dp p dp dpdp vdvv v v p M p . Soit : dv dT v M T (5'').15. (5') et (5'')
2 22 12 22 11 1
MdM dv dT dT dT
M v T M T M T
et d'après (5) et (5'') 2 22 2 2 21 12 111 1 2 1
M MMdA dv dT dMMA v M T M M M
. Soit : 2 2 1 1 1112dA M dM M dM
A M M MM
. Avec : 1 16.1 3 2 12 31
1 2 32 2 2
1, 1; 0; 11 1 1
C C M C M CC C MCMM C C CMM M M M
17. 2 2212 20 ln21 11
dA dM MdM dA dM MdM AMcstA M A MM MMSoit : ( )Af M cst. Avec :21
Mf M . On a bien : 0 ( )lim 1M f M18. on a : Af cst. A est minimale au col, donc f y est maximale.
19. on a :0 0f. lim 0
Mf M2 12 2 2 21 '( ) 1 2 1M f M M M M
2 21' 0 1 2 12 1f M M M M
(2 1 1/ ) : Donc f est maximale en Mc.A y est minimale. lim
MA M . lim MA M 20.1ier cas : 1M au col.
M Diminue quand A augmente
2ième cas : 1M au col
M est croissant dans toute la conduite
21. pour une conduite amorcée, M augmente avec x au long de la conduite.
22. pour un nombre de Mach '
0 01M M , on aura 1CM. Donc M croit dans le convergent et décroit
dans le divergent.4. Caractérisation de la situation au sol
23. 00 02 0 0
A fk MA f M
. Le rapport 0ckdiminue avec M0: plus M0 est grand plus il faut réduire la section au col de la conduite pour qu'elle soit amorcée. 24. 20 0#0,15, #3,83 et #0,23 #0,83 et #0,075c cM k A m .
Graphiquement, pour 0#0,23M 0 0/ 2,5 #0,4c cA A k.5. Adaptation en pression
25. sis ep p, le jet ne sera pas déformé. si la pression extérieure est supérieure à celle du gaz, le jet
sera comprimé vers l'intérieur. D'où l'association : (a) : s ep p; (b) : s ep p ; (c) : s ep p .
26. (5)''
1 1 1 1
dv dT c dT rT dT rvdv dTv M T T Tquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] concours polytechnique sujet pdf
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