Inverser un nombre modulo n
Soit n un entier > 1. On cherche à trouver l'inverse de a modulo n s'il existe. On sait que a est inversible modulo n (c'est-à-dire dans l'anneau Z/nZ) si
Rappel darithmétique : Anneaux modulo N
U?1 · U ? 1 (mod N)) l'entier U est l'inverse de a. On peut utiliser l'algorithme étendu d'Euclide pour calculer l'inverse multiplicatif de a tel que pgcd(a
INVERSE MODULAIRE DUN ENTIER RELATIF
a?1 b [n]. Mais peut-on toujours inverser ainsi un entier relatif ? ... Si n est un nombre premier combien de nombres admettent un inverse modulo n ?
Sans titre
Définition du résidu : Modulo p pour tout nombre n
Petit théorème de Fermat
12 oct. 2016 Inverse modulaire de a dans Zn : entier b = a-1 tel que a × b = 1 mod n. Z. * n = l'ensemble des éléments inversibles modulo n. Attention !
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
Théorème 1.3. Soient n et a entiers avec n ? 1. Alors a est congru modulo n à exactement un des nombres 01
Propriétés de Z/nZ
Si x est un entier on appelle classe d'équivalence de x modulo n On dit que a ? Z/nZ est inversible s'il existe b ? Z/nZ
Rappel : relation déquivalence • Nouveaux nombres : Q et Z /mZ. • C
Cl(nd); la classe d'équivalence de (n
Cryptographie
Soit n ? 2 un entier fixé. Définition 1. On dit que a est congru à b modulo n si n divise b ? a. On note alors a ? b (mod n). Pour nous n = 26.
Congruences et théorème chinois des restes
On définit l'addition et la multiplication modulo n de la ma- nière suivante : Le nombre d'éléments ayant un inverse modulo n est noté. ?(n).
[PDF] Inverser un nombre modulo n
On cherche à trouver l'inverse de a modulo n s'il existe On sait que a est inversible modulo n (c'est-à-dire dans l'anneau Z/nZ) si et seulement si
[PDF] Rappel darithmétique : Anneaux modulo N - CNU 27 Marseille
En appliquant le modulo N cette équation on obtient les entiers Ue ? 1 (mod N) Donc selon la definition de l'inverse modulo N l'entier U est l'inverse de e
Inverse modulo n [PGCD et nombres premiers]
On dit qu'un entier relatif admet un inverse modulo n ( n ? N n ? 2 ) lorsqu'il existe un entier relatif b tel que a b ? 1 [ n ]
Déterminer un inverse modulo n [PGCD et nombres premiers]
Il y a plusieurs façons de procéder : on peut soit tester toutes les possibilités (16 au total) de nombres b pour que 5 b ? 1 [ 16 ] ce qui va assez vite
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
[PDF] Inverse modulo n – Fonction indicatrice dEuler
Inverse modulo n – Fonction indicatrice d'Euler Exercice 1 – Déterminer les éléments inversibles dans Z/14Z et calculer les inverses Exercice 2 –
[PDF] Petit théorème de Fermat - DI ENS
12 oct 2016 · Inverse modulaire de a dans Zn : entier b = a-1 tel que a × b = 1 mod n Z * n = l'ensemble des éléments inversibles modulo n Attention !
(PDF) Rappel d arithmétique : Anneaux modulo N - Academiaedu
Download Free PDF Nombres: éléments de mathématiques pour philosophes Calcul de l'inverse (mod N ) 2 2 1 Calcul de l'inverse modulaire avec Euclide
[PDF] Cours dintroduction `a larithmétique - Igor Kortchemski
L'entier u est appelé inverse de a modulo p et on note û = â?1 Exemple 5 Pour p = 7 2 est inverse de 4 3 est inverse de 5 et 6 est son propre inverse
[PDF] Devoir à la maison - IREM Clermont-Ferrand
On a donc 125 × 91 ? 1 mod 242 L'inverse de 125 modulo 242 est 91 Exercice 2 (3 points) 1 Montrez que pour tout entier naturel n 12n + 1 et 30n + 2
Comment trouver l'inverse d'un nombre modulo n ?
Le nombre x poss? un inverse modulo n si et seulement si (x,n)=1. Or, par le théorème de Bézout, de tels y et k existent si et seulement si 1 est divisible par (x,n). Autrement dit, on doit avoir (x,n)=1 ce qui signifie que x poss? un inverse si et seulement si il est premier avec n.Qu'est-ce qu'un inversé modulo n ?
Définition : On dit qu'un entier relatif admet un inverse modulo ( n ? N , n ? 2 ) lorsqu'il existe un entier relatif tel que a b ? 1 [ n ] . On dit aussi que est inversible modulo .Quel est l'inverse d'un modulo ?
L'inverse modulaire de A mod C est la valeur de B qui fait que A * B mod C = 1 .- l'inverse de 15 modulo 26 est 7 (et l'inverse de 7 modulo 26 est 15 ).
Aujourd"hui nous allons discuter :
•Rappel : relation d"équivalence •Nouveaux "nombres" :QetZ/mZ. •Calculer avecQetZ/mZ.MAT15001 of 40Relations d"équivalences
Rappel. SoitUun ensemble avec une relationa≂bentre deuxélements deU.
Alors≂est une relation d"équivalence si pour chaquea,b,cdansUon aurait :
(i)a≂a; (ii)(a≂b)→(b≂a); (iii)((a≂b)?(b≂c))→(a≂c).MAT15002 of 40 Soit≂une relation d"équivalence surU. Eta?U.C?(a):= {u?U|c≂u}.
Considère C?(a)?P(U).
L" ensemble des class esd"équivalence différentes :U/≂:={C?(a)|a?U} ?P(U).
Et la fonction classification :
C?:U→U/≂.
Qui est surjective.
On a divisé Uen classes.MAT15003 of 40On a C?(a) =C?(b)si et seulement sia≂b.
Les classes forment une
pa rtition de U: les classes sont non-vides, l"union des classes estU, et l"intersection de deux classes diférentes est vide.MAT15004 of 40
m Pour chaque entierm>0, la relation≡mest une relation d"équivalence surZ.La classe dens"écrit commeC ?m(n). On a
C?m(n) =C?m(n+3·m) =C?(n-1234·m)
Il y a exactementmclasses d"équivalence différentes. L"ensemble des classes d"équivalence s"écrit commeZ/mZ:=Z/≡m
={C?m(0),C?m(1),C?m(2),...,C?m(m-1)}MAT15005 of 40Ondéfinit :
C?m(n1) +C?m(n2) :=C?m(n1+n2);
C?m(n1)·C?m(n2) :=C?m(n1·n2).
Est-ce que ça fait du sens?
Ils se comportent comme des "nombres".
MAT15006 of 40
Autre exemple : Les fractions.
SoitU:={(n,d)?Z×Z|d?=0}.
Posons
(n,d)≂(n?,d?)si et seulement sind?=n?d. C"est une relation d"équivalence surU:MAT15007 of 40Démonstration.
Soient(n1,d1),(n2,d2)et(n3,d3)trois éléments deU. C.-à-d.,n1,n2,n3trois entiers, etd1,d2,d3trois non-zéro entiers.Il faut vérifier trois choses.
(i)(n1,d1)≂(n1,d1); c"est le cas parce qued1n1=d1n1.(ii) si(n1,d1)≂(n2,d2)alors(n2,d2)≂(n1,d1); c"est le cas car
n1d2=n2d1implique quen2d1=n1d2.MAT15008 of 40
(Suite). (iii) Supposons(n1,d1)≂(n2,d2)et(n2,d2)≂(n3,d3). (Il faut montrer(n1,d1)≂(n3,d3).) Par cette hypothèse :n1d2=n2d1etn2d3=n3d2. Alors aussi n1d2d3=n2d1d3etn2d3d1=n3d2d1etn1d2d3=n3d2d1. Donc
d2(n1d3-n3d1) =0.
Nous savons
: si rs=0 etr?=0 alors nécessairements=0 (r,s entiers). Par hypothèsed2?=0 etd2(n1d3-n3d1) =0. Donc nécessairement (n1d3-n3d1) =0, oun1d3=n3d1, ou(n1,d1)≂(n3,d3). Alors en effet,≂est une relation d"équivalence surU.MAT15009 of 40 Nous connaissonsdéjà les classes d"équivalen ces!Definition
Avec cette relation d"équivalence≂surU.
(i) Pour(n,d)?U(doncn,dsont deux entiers, dontd?=0) nous définissonsla fraction nd :=C?(n,d); la classe d"équivalence de(n,d)?U. (ii) Nous définissonsQ:=U/≂;
l"ensemble des classes d"équivalence.MAT150010 of 40
En particulier
n1d 1=n2d 2 si et seulement si(n1,d1)≂(n2,d2) si et seulement si (par définition) n1d2=n2d1.
Par exemple25
=615 car 2·15=6·5=30. Et 20 n"est pas définie!MAT150011 of 40 Nousdéfinissons l"addition et la multiplication : n 1d 1+n2d2:=n1d2+n2d1d
1d2; n 1d1·n2d
2:=n1n2d
1d2.Est-ce que ça fait du sens?
MAT150012 of 40
Il y a quelque chose à vérifier : est-ce que ça dépend du choix d"écrire la fraction? Si n 1d1=n?1d
?1etn2d2=n?2d
?2 est-ce que aussi n1d2+n2d1d
1d2=n?1d?2+n?2d?1d
?1d?2 etn?1n?2d ?1d?2=n?1n?2d ?1d?2? OUI. (Ce sera une exercice pour le TP de la semaine prochaine.)MAT150013 of 40
Il y a une fonction injective
ι:Z→Q
avecι(n) :=n1
Puis on identifien=n1
(malgré quenest un entier et pas une fraction).MAT150014 of 40
Autre exemple
SoitEun ensemble fini etU=P(E). Une fonction
propositionnelle avec univers de discoursU×UestP(A1,A2) := "|A1|=|A2|"
Nous allons classifier les sous-ensembles selon leur taille. A1≂A2siP(A1,A2)vraie, c-à-d., si|A1|=|A2|MAT150015 of 40
On a trivialement
•A1≂A1, •siA1≂A2alorsA2≂A1, •siA1≂A2etA2≂A3alorsA1≂A3.MAT150016 of 40 Uneclasse d"équ ivalenceest la réunion d etous les éléments deP(E)d"un même taille. Notation :
?E i? :={A?E| |A|=i} ?P(E), l"ensemble de tous les sous-ensembles deEavec exactementiéléments.
MAT150017 of 40
La collection des classes (différentes) est notée :U/≂={?E
0? ,?E 1? ,?E 2? ,...,?E n? ? P(U)= P(P(E))MAT150018 of 40 Chaque élément deU=P(E)(=chaque sous-ensemble deE) est dans une uniqu e classe d"équivalence. Et doncP(E) =n?
i=0? E i? est une pa rtitionde P(E): c.-à-d. chaque?E i?est non-vide, et?E i?et?E j?sont disjoints si i?=j.En conséquence :
|P(E)|=n? i=0|?E i?MAT150019 of 40
SiE={a,b,c}.
E 0? ?E 1? ={{a},{b},{c}} ?E 2? ={{b,c},{a,c},{a,b}} ?E 3? ={E}MAT150020 of 40 La collection des classes est un ensemble soi-même!P(E)/≂={?E
0? ,?E 1? ,?E 2? ,...,?E n? ? P(U)= P(P(E))Il y a une fonction naturelle :
f:P(E)→P(E)/≂ où on définitf(A) =?E |A|?. C.-à-d., on envoie chaque élément vers la classe qui le contient.MAT150021 of 40
Et la fonctionf:P(E)→P(E)/≂devient
f=?{∅} {a} {b} {c} {b,c} {a,c} {a,b}E?E 0? ? E 1? ? E 1? ? E 1? ? E 2? ? E 2? ? E 2? ?quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] Inverseur hydraulique sous charge avec commande par levier sous
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