MT09-Analyse numérique élémentaire
Chapitre 3 : Résolution des problèmes de moindres carrés Exercice A.1.3 Factorisation A = QR par la méthode de Householder.
CORRIGÉ
Exercice 1. : On reprend l'exemple des 5 spécimens Déterminer par la méthode des moindres carrés ordinaires
Analyse Numérique
1.5 Exercices du chapitre 1 . 3.3.2 Méthode classique des moindres carrés . ... 5.8 Schéma de Newmark pour les problèmes d'ordre 2 .
Correction TD 1 : Approximation de fonctions
vos notes). 1 Méthode des moindres carrés. Exercice 1 (quartet d'Anscombe) Le statisticien Francis Anscombe a défini en 1973 plusieurs
Analyse numérique : Approximation de fonctions
???/???/???? 2 Méthode des moindres carrés ... Exercice introductif (correction) ... Le problème de l'interpolation linéaire par morceaux est que la.
Chapitre 5 - Méthode des moindres carrés
Vérifier que vos résultats sont identiques. Exercice 2 : 1. Simuler au moyen de la fonction Random de votre calculette une suite de n = 15 nombres aléatoires (
Table des matières 1 Calcul différentiel
QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION méthode des moindres carrés on a ... des problèmes de moindres carrés menant à l'équation normale).
Sciences de gestion - Synthèse de cours exercices corrigés
Pour pallier le problème il faut spécifier a priori une forme fonctionnelle particulière de la Estimation par la méthode des moindres carrés ordinaires.
Feuille de TP 3
Le problème des moindres carrés consiste alors à chercher la ou les Méthode QR : la décomposition QR de la matrice A conduit à écrire A = QR où Q ...
2008 EXERCICES MOINDRES CARRES 2009 Exercice 1 : Exemple
a. Donner une équation de la droite ?1 d'ajustement par la méthode des moindres carrés. b. Déterminer une estimation des prêts accordés au quatrième
[PDF] Méthode des moindres carrés
Représenter les résidus et calculer la moyenne des carrés des résidus 5 Représenter l'histogramme des résidus Exercice 3 : Pour étudier les probl`emes de
[PDF] CORRIGÉ
Exercice 1 : On reprend l'exemple des 5 spécimens Déterminer par la méthode des moindres carrés ordinaires l'équation de la droite de régression de
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Calculez la droite des moindres carrés du poids des fils en fonction du poids des pères 2 Calculez la droite des moindres carrés du poids des pères en
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Chapitre 3 : Résolution des problèmes de moindres carrés Exercice III 1 Exercice A 1 3 Factorisation A = QR par la méthode de Householder
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31 mai 2005 · Méthode des moindres carrés : meilleure approximation linéaire Gilles Leborgne 31 mai 2005 Table des matières 1 Rappel de dérivation
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Exercice 1 3 (Variance des estimateurs) Nous avons Exercice 2 9 (Moindres carrés contraints) Le problème du test réside dans le calcul de ˆY0
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b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y Interpréter le résultat obtenu Exercice 6 On a procédé à l'ajustement affine d'un nuage de
(PDF) Méthode des moindres carrés Amine Azaoum - Academiaedu
Le meilleur ajustement déterminé par la méthode des moindres carrés est Deux problèmes distincts se posent alors: 1 le choix de l'équation de la courbe
[PDF] Chapitre Méthode des moindres carrés - biskradz
Ajustement moindres carrés corrélation valeur atypique Matlab® Le fondement de la méthode des moindres carrés est régit par la minimisation de la
Méthode des moindres carrés - PDF Téléchargement Gratuit
Le problème de la régression consiste à rechercher une relation pouvant MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 5 5 Exercices Exercice 1 : On possède 6 spécimens
Comment calculer avec la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme . Les coefficients a et b de l'équation de cette droite sont définis par a = et , où ?x est l'écart-type de la série x, et ?xy la covariance des séries x et y.Quelle est l'équation d'ajustement linéaire par les moindres carrés ?
Dans un ajustement linéaire, la fonction f recherchée est une droite : La méthode des moindres carrés cherche une droite y=ax+b de manière à minimiser la somme des carrés des différences entre les points du nuage et ceux de la droite : ?i(yi?(axi+b))2.Comment déterminer la droite de régression ?
L'équation de cette droite est �� est égal à �� plus ����, où �� est égal à �� barre moins ���� barre, où �� barre est la valeur moyenne de �� et �� barre est la valeur moyenne de ��. �� est égal à S���� divisé par S����. S���� est la covariance de �� et �� divisé par �� et S���� est la variance de �� divisé par ��.- L'estimateur des Moindres Carrés Ordinaires
Si, comme la somme des valeurs absolues, la somme des carrés est toujours positive (et nulle si le modèle est parfait), elle présente en sus l'intérêt d'être dérivable, ce qui est plus simple pour déterminer le minimum.
Université d"Orléans Outils numériques
L3 groupe 2 2ème semestre 2006/2007
Feuille de TP 3
Problème des moindres carrés.
L"origine de ce problème est la recherche de solutions pour un système linéaireAx=boù la matriceAest
non inversible ou non carrée. Le problème des moindres carrés consiste alors à chercher la ou les solutions du
problème de minimisation minx?Rp?Ax-b?22, oùA? Mn,p(R)etb?Rn.Il existe toujours au moins une solution de l"équation normaleA?Ax=A?b. Cette solution est unique si et
seulement sikerA={0}, et on a alorsx=A†b= (A?A)-1A?b(pseudo-inverse).Méthodes de résolution numérique.
1.Méthode de Cholesky :lorsquekerA={0}, on peut résoudre l"équation normaleA?Ax=A?bpar la
méthode de Cholesky, la matriceA?Aétant alors symétrique définie positive.2.Méthode QR :la décomposition QR de la matriceAconduit à écrireA=QRoùQ? Mn(R)est une
matrice orthogonale etR? Mn,p(R)est une matrice triangulaire supérieure. Le problème des moindres
carrés est alors équivalent à minx?Rp?Rx-Q?b?22.Sin > p(cas le plus répandu en pratique ; les autres cas se traitent similairement) et sikerA={0},
l"unique solution est alors3.Méthode SVD et pseudo-inverse :la décomposition SVD de la matriceAconduit à écrireA=VΣU?,
oùU? Mp(R)etV? Mn(R)sont des matrices orthogonales etΣ? Mn,p(R)est une matrice donttous les coefficients sont nuls sauf lesrpremiers coefficients diagonaux qui sont lesrvaleurs singulières
1≥ ··· ≥μr>0deA. Le problème des moindres carrés est alors équivalent à
min x?Rp?VΣU?x-b?22= minx?Rp?ΣU?x-V?b?22, dont toutes les solutions sontx=Uyavecy?Rpun vecteur quelconque dont lesrpremières composantes s"écriventyi= (V?b)i/μi.Notons que le pseudo-inverse deAest alorsA†=UΣ†V?oùΣ†? Mp,n(R)est une matrice dont tous les
coefficients sont nuls sauf lesrpremiers coefficients diagonaux qui sont1/μ1,...,1/μr.Remarque.Notons que le vecteurx=A†best toujours une solution du problème des moindres carrés, et
est la solution de norme Euclidienne minimale lorsque ce problème admet plusieurs solutions. 1Application : le problème de l"approximation aux moindres carrés.C"est un problème d"analyse de
cherche à déterminer un polynômePde degrép-1qui minimise E=n? i=1|bi-P(ti)|2. courant est bien sûrn > p-1.En écrivantP(t) =p-1?
j=0a jφj(t)dans une base(φj)de l"espace des polynômes, on se ramène à min- moindres carrés pour le couple(A,b).Exercice 1 :
SoitAune matrice de taille300×100quelconque, de rang100, etb=rand(300,1). On pourra créer une telle
matriceAde la façon suivante : A=rand(300,300)?[rand(100,100) + 100?eye();zeros(200,100)]?rand(100,100);1. Comparer (en termes de temps de calcul) les quatre méthodes suivantes pour résoudre le problème des
moindres carrés minx?R100?Ax-b?2. (a) Méthode de Cholesky (utiliser les fonctions Scilabchsolve,chfact,sparse). (b) Méthode QR (utiliser la fonction Scilabqr). (c) Décomposition SVD (utiliser la fonction Scilabsvd, comparer avec l"usage depinv). (d) La fonction Scilablsq(ou bien,A\b: consulter l"aide).Commenter les résultats obtenus.
2. On considère maintenant les matricesAetbdéfinies par
e= 1e-5;P= [1 1 0 ; 0 1-1 ; 1 0-1];A=P?diag([e,1,1/e])?inv(P);b=ones(3,1);
Comparer les solutions des moindres carrés obtenues par les méthodes précédentes. Expliquer, en calculant
cond(A)etcond(A?A?). 2Exercice 2 :
On posef(x) = sin(x)-sin(2x). SoitT= (x1,...,xn)un tableau denvaleurs aléatoires comprises entre0et
4. On prendran= 100.
1. Trier ce tableau dans l"ordre croissant en utilisant la fonction Scilabsort.
2. Déterminer l"approximation defau sens des moindres carrés par un polynômePde degré 2, sur les
valeurs deT.Calculer l"erreur discrète?
???n i=1|f(xi)-P(xi)|2. Représenter sur un graphique le polynômePet la fonctionf.3. Faire de même pour un polynôme de degré 4.
Exercice 3 :Encore le phénomène de Runge
On posef(x) = 1/(1 + 25x2). SoitTun tableau denvaleurs comprises entre-1et1.Ecrire un programme calculant l"approximation defau sens des moindres carrés par un polynômePde
degrép, et représentant sur un graphiquePetf.On prendran= 20, et on testera différentes valeurs dep. Retrouve-t-on le phénomène de Runge ?
On utilisera les fonctions Scilablsq,poly(x,"x","coeff"), ethorner. 3quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] méthode moindres carrés prévision ventes
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