Chapitre 9 Lalg`ebre arabe : Al Khwarizmi vers 825
Un carré et vingt et un nombres égalent dix de ses racines. Questions. 1) Ecrire l'équation E2 que veut résoudre Al Khwarizmi. Ici encore la méthode de
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10-Sept-2002 LA the second of the texts derived from al-Khw¯arizm¯?
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one of the three essays added to the Discours de la methode of 1637. algebra is al-KhwarizmI's Kitiib al-mukhta~ar jf'l-~isiib al-jabr wa'l-muqiibalah.
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G. Milhaud La Geomctrie dlpastamba
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15-Jul-1999 S3-17 Method of Indivisibles in Calculus Instruction ... Why did Al-Khwarizmi use geometry to solve an algebraic problem?
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aperçu de la vie d'al-Mu'taman et de ses activités scientifiques un historique des dif- Remarquons que la méthode pythagoricienne repose sur les nom-.
How Ordinary Elimination Became Gaussian Elimination
30-Sept-2010 in the work of the encyclopedist Al-Khwarizmi of Baghdad and the ... equations by “la Methode” of precise rules for Gaussian elimination.
One Hundred Eleventh Critical Bibliography of the History of
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Quelle est le type d'équation traité par Al Khawarizmi ?
Al Khwarizmi distingue six types d'équations de degré inférieur ou égal `a 2 car, pour lui, les coefficients d'une équation sont toujours positifs : ax2 = bx ; ax2 = b ; ax = b ; ax2 + bx = c ; ax2 + c = bx ; ax2 = bx + c.- Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée inconnue et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée solutions.
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handlethisvolume withcare.TheUniversityofConnecticut
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MUHAMMAOIBNMUSAtHOBEHTOF
CHESTERSLATINTRANSLATIONOFALG
3T1S3DDlSbDlfl3
'^HEvolumesoftheUniversityofMichiganStudiesarepublishedbyauthorityofthe
ExecutiveBoardoftheGraduateSchool
oftheUniversityofMichigan.Alist ofthevolumesthusfarpublishedorar- rangedforisgivenattheendofthisvolume. ^niticrsit\)ofSBtcljigan^tuDirsHUMANISTICSERIES
VOLUMEXI
CONTRIBUTIONSTOTHEHISTORY
OFSCIENCE
PARTI.ROBERTOFCHESTER'SLATIN
TRANSLATIONOFTHEALGEBRAOF
AL-KHOWARIZMI
THEMACMILLANCOMPANY
NEWVORK-BOSTON•CHICAGO•DALLAS
ATLANTA•SANFRANCISCO
MACMILLAN&CO.,Limited
LONDON•BOMBAY•CALCUTTA
MELBOURNE
THEMACMILLANCO.OFCANADA,Ltd.
TORONTO
PlateI.
nolillli 4^^CodexVindobonensfs4770,Fol.1'''.
ROBERTOFCHESTER'S
LATINTRANSLATION
OFTHEALGEBRAOFAL-KHOWARIZMI
WITHJNINTRODUCTION,CRITICALNOTES
ANDANENGLISHVERSION
BYLOUISCHARLESKARPINSKI
UNIVERSITYOFMICHIGAN
NeSdgork
THEMACMILLANCOMPANY
LONDON:MACMILLANANDCOMPANYLIMITED
I915 -^//rightsreserz/edCopyright,1915,
ByFFL\N'CISW.KELSEY.Editor.
J.S.Cushin?Co. - Ii..-r\vi.kASmithCo.
i»urwuod,Mass.,I'.S.A.PREFACE
manuscriptsuponwhichthetextisbased.Mathematics.
makingpossiblethispublication.LOUISC.KARPINSKI.
AnnArbor,Michigan,
Novemberi,1915.
flH6666CONTENTS
PAGEINTRODUCTION:
I.AlgebraicAnalysisbeforeAl-Khowarizmii
mentOFMathematics........33Algebra...........42
RizMi'sAlgebra45
Khowarizmi'sAlgebra49
ABBREVIATIONS65
LATINTEXTWITHCRITICALNOTES:
ENGLISHVERSIONWITHEXPLANATORYNOTES:
LATINGLOSSARY159
PLATES
FOLLOWINGPAGE
II.CodexDresdensis,C.80,Folio340''40
III.CodexDresdensis,C.80,Folio342"48
viiINTRODUCTION
CHAPTERI
AlgebraicAnalysisbeforeAl-Khowarizmi
inmanyfields. maybeusedwithprofitinourclassrooms.E.A.WallisBudge,London,1898.
I2INTRODUCTION
andtheotherf .Thesumoftheseareasisff ,ofwhichtheroot isf x-+jy-=lOO, inthediscussionoftheseproblems. umessimilarly. pp.135-140,andVol.XL,pp.65-66. ^Cantor,I(3),p.96.ALGEBRAICANALYSISBEFOREAL-KHOWARIZMI3
liesoppositethelongestside. equation,'p- x"^+\2^'^ - ^^^ ^Cantor.I(3),pp.25-31.*Cantor.I(3),p.49.4INTRODUCTION
forexample,reads: themisgiven."Thiscorrespondstotheequations:
xy=k" x - y=a. simultaneousquadraticequations: xy=k^,X+y=a,
andxy=^'^, x^ - y-=a^. furnishesthesolutionoftheequation x''-I-ax=a- orevenmoregeneral, x'^+ax^b'. full,followingHeath'sEuclid. theremainingsegment. entinthetwoversions.ALGEBRAICANALYSISBEFOREAL-KHOWARIZMI
throughtoA'. squareonEF.(II.6.) squareonAEisequaltothesquareonEB. "ButthesquaresonBA,AEareequaltothe squareonEB,fortheangleatAisright(I.47) squareonAEisequaltothesquaresonBA,AE. "LetthesquareonAEbesubtractedfrom each;thereforetherectangleCF,FAwhichre- mainsisequaltothesquareonAB. "NowtherectangleCF,FAisFA',forAFis equaltoEG;andthesquareonABisAD; thereforeFKisequaltoAD. "AndHDistherectangleAB,BH,forABis equaltoBD;andFHisthesquareonAH thereforetherectanglecontainedbyAB,BHis equaltothesquareonHA. x^+ax^a-,froma{a - x)=x^, parallelsthisgeometricaldemonstration.2Tocompletethesquareintheleft-handmember, - isaddedto
4 2 figure,forthenthesquareonB£equalsa'-\ - orAB~+AE-. 4 braically,x+2^4 whichisequaltoBE.INTRODUCTION
Sfivma:x=\-.
^'^>(42I44:r(i4 - ;r)=6720.
Theformoftheresult,practically
"-V(i54X2i2+84i)-29 II. indicatesthattheequation wasputintheform121.r-+638.r=(2i2)(i54).
Diophantus,T^Y>-118-121.
ALGEBRAICANALYSISBEFOREAL-KHOWARIZMI7
followingformulseS=rs=\ab,r+s=a+b,c=s - r.
a1_r+s±V(r+.s-)^ - 8rs.Kamil,anArabicwriterofthetenthcentury.
arethefollowing ax^+bx=c, ax'-+c=bx, ax-=bx+c. tionsoftheform axT=bx^\8.INTRODUCTION
equation tooneterm,suchaproblemissolved." pendicularsmakesagivennumber. "Givennumber7,triangle(3.r,4.V,5.v). "Therefore6x'-f3-v=7. trianglesuchthat andthesolution(6,\,^). theequationS^x'^ - yx=7,
630:^2+73.^=6,
ALGEBRAICANALYSISBEFOREAL-KHOWARIZIVU9
"Whenwesolvesuchanequation,wemultiplyhalfthecoefficientof.vintoitself, - thisgives9, - thenmultiplythecoefficientof.v-intotheunits, - 2•18=36, - add isnotlessthan7;addhalfthecoefficientofx, - makinganumbernotlessthan10, - anddividetheresultbythecoefficientof.v-;theresultisnotlessthan5."
root.Problemsofthiskindarethefollowing72m>\ini-+17,mnotgreaterthan|^,(V.10)
19»"2+19>72W2,mnotlessthan|^,(V.10)
n^+to>22m,mnotlessthan19,(V.30) ;"-4-6o<24»/,mnotgreaterthan21,(V.30) and172;!:=336:1;-+24,(VI.22) thesameproblem78848.1-- - S432.r+225=0,
whichhastherationalroot-^:^-^.Diophantus.
pp.18,41.I,pp.87-91.
lOINTRODUCTION whichisextensivelytreatedbyEuclid. theunknown."Informulathiscorrespondstothesolution
^V{b!2f+ac-bl2 a ^Geschichte,Vol.I(3),pp.362-363.PP-393-434-
ALGEBRAICANALYSISBEFOREAL-KHOWARIZMIii
oftheequation, ax'--^-bx=c theadvanceofthescience. (Paris,1881),pp.43-51.York,1912).
12INTRODUCTION
evolution.CHAPTERII
Al-KhowarizmiandhisTreatiseonAlgebra
Segoviain1183oftheSpanishEra(1145a.d.).^
letterswithakindofaccentmark. 1314INTRODUCTION
"Al-Kho\varizmi"Chronology."
reasonablybeplacedabout825a.d.1Fihrist,loc.cit.,pp.62-63.
AL-KHOWARIZlVaANDHISTREATISEONALGEBRA15
Comparewiththisourtext,p.66,lines10-21.
unitatesalterius.Comparewiththisourtext,p.90,lines6-8.
i6INTRODUCTION mannerbymanyotheruniversitylecturers. parealsotheuseoftheterminourte.xt,p.2.Copenhagen,1897.)
pp.108-113.AL-KHOWARIZMIANDHISTREATISEONALGEBRA17
(Paris,1861-1877),I,II.London,1910).
(1896).pp.11-53. i8INTRODUCTION nameofourauthor. fruitinnumerousandimportantpublications. (1911),pp.491-498. maticalMonthly,Vol.XXI(1914).pp.37-48.AL-KHOWARIZMIANDHISTREATISEONALGEBRA19
equationX-+iojr=39
occasiontonotebelow.Mohammedans.^
deWalgebra(Parma,1797),Vol.I,p.178. *TheAlgebraofAbuKamil,loc.cit.20INTRODUCTION
translationarefoundinParisandMunich.^ ^Suter,loc.cit.,pp.56-57. P-31-AL-KHOWARIZMIANDHISTREATISEONALGEBRA21
problemsaswellasthesixtypesofquadratics. thirdseries(1913),pp.273-280.22INTRODUCTION
prospectivelawyer.CHAPTERIII
INTOLatin
unique.Theproblems, x^-¥\ox=39,TyX+\=x-,
,-ir+9=6.r.1903).p.91.
2324INTRODUCTION
namedGalippusorGalib.- pp.515-516.TheassertionwasmadebyCurtze
"'tliattheLiberenibadorum,AbrahambenEsra
''refersfrequentlytothesametables.1-74,115-251.Seepp.122-123.
Physik,Vol.XVI(1871),p.376.
26INTRODUCTION
quiannusfuitabIncarnationeDomini1141." gentesimoundecimo." adhaecfaciendummultoprecioconduxi.1PatrologiaLatina,Vol.189,col.671.
Vol.149(Vienna.1905),p.72.
*PatrologiaLatina,Vol.189,col.661.28INTRODUCTION
deathareequallyuncertain. tionofthesamework.AMohammedanbythenameof mistranslation. ^Qoran,1550edition,pp.213-223. onArabiccustoms.60X60.
mentisinnitens. (Milan),Vol.XL(1903),Introduction. ^InMS.Savile:ebenza(?) (Yezdegerd)seupersarum.30INTRODUCTION
verse.'* suammonstretdivinitatem. secula. examinedbyProfessorHaskins). *Steinschneider,loc.cii.,p.72. accidentalesgeneralitercomplectitur.... trumest...andends:sequiturinproximo.32INTRODUCTION
RudolphofBruges.^
translationibus.... tuna,cuinemoinuideat." culisrationemdamns."CHAPTERIV
DevelopmentofMathematics
(Oxford,1914),p,177.Gesellschaft,Vol.XXV,pp.404-405.
3334INTRODUCTION
occursforarithmetic.^2ExtraitdiiFakhri,p.29.
'TheAlgebraofAbuKaviil,loc.cit. ^Scritti,Vol.I,p.i.Vol.XI,pp.209-219.
THEINFLUENCEOFAL-KHOWARIZMI'SALGEBRA35
struction. (Leipzig,1890),pp.137-146. thirdseries,Vol.XIII,pp.99-114. ^Cardan,ArsMagna(Nuremberg,1545).CassvonAdamRiese(Leipzig,1892),p.37.
36INTRODUCTION
mothertongue. ^Rara,446-447. pp.223-228. ^RaraArithmetica,454-456.1902),problem6,p.219.
THEINFLUENCEOFAL-KHOWARIZMI'SALGEBR.\37
problems. atthistime.Revuedesetudesjuives,1893-1894.
38INTRODUCTION
X-+21=10X.
Vol.45,1900.
^CodexDresdenC.80.399-438-
•Recorde,loc.cit.THEINFLUENCEOFAL-KHOWARIZMI'SALGEBRA39
x~+io,r=39 ''andin purpose. hadseenacopyofRobertofChester'sversion. ^Smith,KaraArithmeticalp.128.40INTRODUCTION
byappropriateandusefulexamples.' olimconscriptus. 3B cTHEINFLUENCEOFAL-KHOWARIZMI'SALGEBRA41
Vol.XXX(1906).
CHAPTERV
Algebra
oftenisbymoderntranslators. uponGerard'stranslation. ofthetranslation.Lincei,Vol.IV(1851),pp.4-7.
^Loc.cit.,pp.28-51. intoletodearabicoinlatinum. 42THEARABICTEXTANDTHETRANSLATIONS43
root."' explanationiscomplete.44INTRODUCTION
al-maqul. whichhavebeenomittedbyourauthor. *Page108,lines1-13.CHAPTERVI
Al-Khowarizmi'sAlgebra
TheAuthor'sPreface
"IntheNameofGod,graciousandmerciful!" mencesitthus gloryincrease,andmayallhisnamesbehallowed - besideswhomthereisnoGod; 4546INTRODUCTION
remembrance - contentastheywereevenwithasmalldegreeofpraise;small,if theelucidationofobscuritiesandintheremovalofdifficulties, - hasencouraged' areconcerned - relyingonthegoodnessofmyintentiontherein,andhopingthat thecase.Rome,1865,pp.269-280.
(I) (2) (3)62832d
20000TheareaofacircleisgivenasA=d'--^d- - ^oi^d'-.Other withinscribingasquareinagiventriangle. followingRosen'stranslation. theuppertrianglewillbefoundbymultiplying eightlessthing,whichistheheight,byhalf onething.Theproductisfourthingsless halfasquare.Thisaltogetherisequalto theareaofthequadrateplusthatofthethree triangles:or,tenthingsareequaltoforty- eight,whichistheareaofthegreattriangle.
Onethingfromthisisfouryardsandfour-
fifthsofayard;andthisisthelengthofany sideofthequadrate.Hereisthefigure:"48INTRODUCTION
peculiarities. upononeofthesons. thedebts." strangerfourandfdirhems. ofeachson. "'imiiliiCHAPTERVII
Khowarizmi'sAlgebra
I.theextantmanuscripts
transcriptionofthealgebra.Wien,Phil.hist.KL,Vol.CXLIX(1904),p.72.
(Zwickau,1887),pp.1-2.II(1906).
4950INTRODUCTION
chapter. itselfisnotfoundinthemanuscript. (1900),Hist.lit.Abth..pp.55-56. whichisnotatfirstsightapparent. rules^inCodexDresdenC.80,fol.351%donot.ThefragmentfromCodexDresdenC.80"follows
riszmiquaredixitinachumued. conuertitur."2PublishedbyWappler,he.cit.,pp.13-14.
52INTRODUCTION
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