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PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE
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TD 6 : Fondement des probabilités (Chapitre 7). 1 Indépendance
Exercice 10. Soit f : R ? R continue et bornée. Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0 1]
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
1. Objectifs généraux de la formation. 3. 2. Compétences développées 1 - Généralités sur les suites réelles . ... 5 - Indépendance en probabilité .
1 Indépendance, calcul de lois
Exercice 1.
Soit(X1;X2)un couple de variables aléatoires de densité f(x1;x2) =e(x1+x2)1R+(x1)1R+(x2) a) Quelle est la densité deY1=X1+X2? b) Quelle est la densité deY2=X2X 1? c)Y1etY2sont-elles indépendantes?Exercice 2.SoientX1etX2deux variables aléatoires indépendantes et de même densitéf(x) =1x
21[1;1[(x):
On poseU=X1X2etV=X1X
2. a) Calculer la loi du couple(U;V).UetVsont-elles indépendantes? b) Calculer les lois marginales deUetV.Exercice 3.
On note(a;)la loi de densité
a;(x) =a(a)exxa11R+(x): a) SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes et de lois respectives(a;)et (b;). Calculer la loi du couple(S;T)et montrer queS=X+YetT=XX+Ysont indépendantes. En déduire queSsuit une loi(a+b;)et la valeur deR10xa1(1x)b1dx.
b) Soient(X1;X2;:::Xn)n variables aléatoires indépendantes de même loiN(0;1). SoitZ=X21+X22:::+X2n. Montrer queX2isuit une loi12
;12 etZsuit une loin2 ;12Calculer l"espérance et la variance deZ.
Exercice 4.SoientX;Ydeux variables aléatoires indépendantes, de même loi uniforme sur[1;1]. Calculer
la loi deX+Y.Exercice 5.
SoitXune variable aléatoire de loiN(0;1)etYune variable aléatoire indépen- dante deXtelle queP(Y= 1) =P(Y=1) =12
On poseZ=XY.
1 a) Quelle est la loi deZ? CalculerCov(X;Z)etCov(X2;Z2).XetZsont-elles indépen- dantes? b) On poseU=X+Z. Déterminer la loi deUet sa fonction de répartition. SiXetZ étaient indépendantes, quelle serait la loi deU?Exercice 6.(Fonctions caractéristiques)
a) Calculer la fonction caractéristique d"une variable aléatoire constante p.s. b) Calculer la fonction caractéristique deXsiXsuit une loi uniforme sur[a;a], aveca >0.c) Calculer la fonction caractéristique deXsiXsuit une loi exponentielle symétrique de paramètre >0
(de densitéf(x) =2 ejxj)d) Calculer la fonction caractéristique deXsiXsuit une loi de Cauchy de paramètre >0(de densité
f(x) =(x2+2))e) SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreet. Quelle est
la loi deX+Y? f) Calculer la fonction génératrice d"une variable aléatoire de loiN(0;1).Exercice 7.
SoientA1etA2deux évenements. DécrireA1=(A1)etA2=(A2). Sans utiliser de théorème du cours, montrer queA1etA2sont indépendants si, et seulement si,A1 etA2sont indépendants. Même exercice pournévénementsA1;:::;An,n3.Exercice 8.
SoientXP()etYP()indépendantes, montrer queX+YP(+). SoientX1 N(;21)etX2 N(;22)indépendantes, montrer queX1+X2 N(;21+22).2 Convergence de v.a.
Exercice 9.
Soit(Xn)une suite de var iidL2. Montrer que
Xn:=Snn
!E(X1)dansL2:Exercice 10.Soitf:R!Rcontinue et bornée. Soit(Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes de
loi uniforme sur[0;1]: a) Trouverlimn!11n n P k=0f(Xk). b) Trouverlimn!1f 1n n P k=0X k puislimn!1E f 1n n P k=0X k c) En déduire Z [0;1]nfx1+x2+:::xnn dx1::dxn
Exercice 11.Soitf:R!Rcontinue et bornée. Soit(Xn)n1une suite de variables aléatoires indépendantes
de loi de Poisson de paramètre. a) Trouverlimn!1f 1n n P k=1X k puislimn!1E f 1n n P k=1X k b) En déduire lim n!1X j0e n(n)jj!fjn 2Exercice 12.Soit(Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Poisson de paramètre
1. On poseSn=X1+:::Xn.
Exprimer en fonction de la loi deSnl"expressionennP k=0n kk!puis montrer, en utilisant le théorème de la limite centrale, que lim n!1ennX k=0n kk!=12Exercice 13.
Montrer que la limite d"une suite de gaussiennes qui converge dansL2est une gaussienne dont on précisera l"espérance et la variance.3 Variables gaussiennes
Exercice 14.
SoitXune variable aléatoire à valeurs dansRdetM2 Mkd(R): a) Montrer queE(MX) =ME(X),DMX=MDXtM:
b)Xsuit une loiNd(0;I)etMest une matrice orthogonale à coefficients réels. Déterminer la loi deU=MX. c) SoitXun vecteur gaussien de loiN(0;D)où D=0 @31 0 1 3 00 0 21
A Montrer qu"il existe une matrice orthogonalePtelle queP1MPsoit diagonale. Déterminer la loi du vecteurY=P1X.Exercice 15.
SoientX1;X2;:::Xndes variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). a1;a2;:::anetb1;b2;:::bnsont des réels.
On poseX=nP
i=1a iXietY=nP i=1b iXi. a) Montrer que le vecteurZ= (X;Y)est gaussien. b) Montrer queXetYsont indépendantes ssinP i=1a ibi= 0. Exercice 16.SoientXetYdeux variables aléatoires de loiN(0;1)et de coefficient de corrélation=Cov(X;Y)pV ar(X)V ar(Y)2]0;1[.
On suppose que le couple(X;Y)est gaussien. SoitZ=1p12(YX). a) Déterminer la loi de(X;Z)avec le moins de calculs possibles. Quelle est la loi de(X;Y)? b) CalculerP(X0;Y0).Exercice 17.
SoientX;Y;Zindépendantes, de même loiN(0;1). a) Déterminer la loi deU=X+Y+Z b) Montrer que les variablesX+Y+Z;2XYZetYZsont indépendantes. 3Exercice 18.Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, d"espérance et
de variance finies.SoientY1=12
X1; Y2=12
(Y1+X2);:::Yn=12 (Yn1+Xn)... a) Calculer l"espérance et la variance deYn. b) On suppose queX1suit une loiNm;2. Quelle est la loi deYn? Calculer sa fonction caractéristique et montrer que(Yn)converge en loi vers une variable aléatoireYque l"on précisera. Exercice 19.SoitXun vecteur gaussien deRddont la matrice de covarianceKsatisfaitdetK >0. Montrer qu"il existe une matriceBtelle queX=+BYoùYsuit la loiNd(0;I). Exercice 20.SoitX= (X1;X2;X3)un vecteur gaussien de densité f(x) =Cexp127kxk2+ 6x1x2+ 8x2x3:
Soit de plusYle vecteur défini parX=AYavec
A=15 0 @3 4p2 3 5 0 543p2 4
1 AMontrer queYadmet une densité de probabilité, et déterminer : cette densité, la valeur deC, la matrice de
covariance deYet celle deX. 4quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31[PDF] mastere professionnel quot qualite,securite,environnement quot - Institut
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