[PDF] CCP 2017 PSI - Informatique - Partie III

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Constantes globales

T(notéeTempsdans l"énoncé...) = durée de la simulation L a= longueur de l"autoroute L

0= unité de longueur (grande devant la longueur des véhicules)

C max=1L Grandeurs étudiéesq(t;x)débit de véhicules véhicules par seconde v(t;x)vitesse moyenne du trafic mètres par seconde

c(t;x)concentration du trafic véhicules par mètreCes grandeurs sont reliées par la relation suivante.

806t6T;806x6La; q(t;x) =c(t;x)v(t;x)(1)

Équation du trafic

806t6T;806x6La;@q@x

(t;x) +@c@t (t;x) =0(2)

III.1 Discrétisation

Q6.

Pas d"espace : dxen mètres

Pas de temps : dten secondes

On décompose la durée de l"étude ennintervalles de temps : T=ndt et chaque instantti=idtest représenté par une ligne du tableauC. Commetivarie de t

0=0àtn=T(inclus), il y a(n+1)instants et donc le tableauCcompte(n+1)lignes.

De même, on décompose la longueur de l"autoroute enpsous-secteurs : L a=pdx: Chaque abscissexj=jdxest représentée par une colonne deCetxjvarie dex0=0à x p=La(inclus), il y a donc(p+1)colonnes dans le tableauC. §Attention!Pour une raison qui m"échappe, l"autr ecorrigé appelle n, le nombre de colonnes etp, le nombre de lignes. Pourquoi pas? Mais il est assez étrange de ne pas se conformer à la tradition de l"algèbre linéaire - sans parler des probables erreurs d"indice engendrées par une telle convention.

III.2 Modèle de diagramme fondamental

On utilise ici le modèle de Greenshield.

806t6T;806x6La; v(t;x) =vmax

1-c(t;x)c

max :(3)

Q7.En combinant (1) et (3), on obtient

806t6T;806x6La; q(t;x) =c(t;x)vmax

1-c(t;x)c

max :(4) ?????? ?Variante pour ceux qui ne sont pas encore à l"aise avec numpy. Autre variante pour les nostalgiques de la programmation à l"ancienne (on pose ici ?????? ?Q8.Le diagramme fondamental exprime le débitQen fonction de la concentrationC.

D"après l"équation (4), un instanttiétant donné, on exprime les débits[Q(ti;xj)]06j6pen

fonction des concentrations[C(ti;xj)]06j6pau moyen d"un polynôme de degré2dont le coefficient dominant est négatif. La courbe est donc une parabole tournée vers le bas. desQ(ti;xj), c"est-à-dire?????(flottant, en mètres par seconde);?????(flottant, en véhi- cules par mètre) et???????(tableau unidimensionnel de flottants, en véhicules par mètre).

III.3 Résolution de l"équation

La question suivante est assez vague, la réponse que je donne est assez différente de celle proposée dans l"autre corrigé que je vous fournis. Il me semble que ces deux réponses sont également acceptables (seul le point de vue change). tions),d1etd2(distances), ainsi que le pas d"espace dxutilisé pour discrétiser le problème.

Tous ces arguments sont des flottants.

?????? ???????La valeur retournée est un tableau unidimensionnel de flottants, de même taille que

chaque ligne du tableauC. Pour initialiser la première ligne du tableauC, on devra exécuter l"instruction sui- §Dans un premier temps, on affecte la concentrationc1à tous les éléments du tableau Dans un second temps, on affecte la concentrationc1(c2=c1=c2aux éléments du tableau dont l"indice varie dep1(inclus) àp2(exclu), c"est-à-dire aux abscisses p

1dx6x < p2dx:

Il convient que les deux abscissesp1dxetp2dxsoient aussi proches que possibles des de telle sorte que p

1dx-dx < d16p1dxetp2dx-dx < d26p2dx:

§Les indicesp1etp2doivent être des entiers, c"est pourquoi on les convertit en entiers avec la fonction???. Q10.Avec le schéma d"Euler "avant", l"équation (2) devient Q j+1-Qjdx= -Ci+1;j-Ci;jdt c"est-à-dire la propriété2de l"énoncé : C i+1;j=Ci;j-dtdx(Qj+1-Qj):(5) L"indiceivarie de0àn(inclus), on applique donc la relation de récurrence (5) pour

06i < n.

Pour chaque valeur dei, l"indicejvarie de0àp(inclus). L"énoncé impose une condi- tion aux limites, qui se traduit par le fait que, sij=p, alorsQj+1=Q0. Q11.L"énoncé impose une autre forme d"initialisation que celle que j"ai choisie. Trop tard, je ne change pas ma réponse àQ9.(Sérieusement, qui va lire de bout en bout un énoncé aussi long avant de se lancer dans l"étude des questions?) On commence par récupérer la taille du tableauC. On itère les calculs pour06i < n(cfQ10.) en calculant d"abord la liste[Qi;j]06j6p. On applique ensuite le schéma d"Euler (5) pour déduire les concentrations[Ci+1;j]06j6p des concentrations[Ci;j]06j6pet des débits[Qj]06j6ptout en tenant compte de la condition Q12.Il s"agit toujours de traduire l"équation (2) et de calculer le tableau des concentrations (Ci+1;j)06j6pen fonction des débits(Qj)06j6p.

On conserve le schéma temporel

@c@t =Ci+1;j-Ci;jdt:

On compare le schéma spatial "avant"

@q@x =Qj+1-Qjdx au schéma spatial "arrière" @q@x =Qj-Qj-1dx: Avec le schéma "avant", la relation de récurrence était :

806i < n;806j6p; Ci+1;j=Ci;j-dtdx(Qj+1-Qj)

avec la conventionQp+1=Q0. Avec le schéma "arrière", la relation de récurrence devient :

806i < n;806j6p; Ci+1;j=Ci;j-dtdx(Qj-Qj-1):

Par défaut, Python interprèteQ-1commeQp(= le dernier élément du tableau), il n"y a donc plus de précaution particulière à prendre dans ce cas.

Q13.Je ne vois pas en quoi la discussion présentée dans l"énoncé et reprise par le corrigé

résulte du schéma de12.

Q14.L"équation (2) devient cette fois

80 < j < p;806i < n; Ci+1;j=Ci;j-1+Ci;j+12

-dt2dx(qj+1-qj-1):(6) Python effectue cette opération automatiquement (puisque?????désigne aussi le dernier

élément de la liste?).

Pourj=p, on doit remplacerCi;j+1parCi;0etqj+1parq0. Cette fois, Python ne se charge pas tout seul de cette substitution.

III.5 Amélioration

Q15.Pour calculer le tableauQ, il faut remplacer l"appel à la fonction?????(définie enQ7)quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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