[PDF] CCP - MP - Physique 2 - 2012 Solution proposée

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CCP - MP - Physique 2 - 2012

Solution proposée

I.1.CalculonsE1T22:

E

1T22=E1Ω +ΩT+TT2

2 =x12+D2+b2

4+x1bcosα+Dbsinα

=D2 1 +b

Dsinα+x1bD2cosα+b24D2+x12D2

Le premier terme est d"ordre zéro, le deuxième d"ordre 1 et les trois derniers d"ordre 2, puisquex1 Det

bD. Effectuons alors un d.l. à l"ordre 2 deE1T2: E 1T2=D 1 + 12 bDsinα+x1bD2cosα+b24D2+x12D2 18 bDsinα 2

De mêmeE1T1=D

1 + 1 2 bDsinα x1bD2cosα+b24D2+x12D2 18 bDsinα 2

Ainsiδ1=bsinα+x1bcosα

D

De mêmeδ2=bsinα+x

2bcosαD

Doncφk=2πλδk=2πλ

bsinα+x2XDLfavecX=bcosα en incluant le retardLfsur le signal issu deT1.

I.2.Les deux étoiles étant incohérentes entre elles, on peut sommer leurs intensités respectives :

I=I1+I2

=I0(2 + cosφ1+ cosφ2) = 2I0

1 + cosφ1+φ22

cosφ2φ12

Du fait quex2=x1, on obtient :

I= 2I0

1 + cos2πλ(bsinαLf)

cosπλbcosαx2x1D I.3.L"éclairement est uniforme et égal à 2I0si cosπλbcos(α)θ est nul, ceci est réalisé pour

2bcosα+

mπmZ La plus petite valeur absolue deθannulant le contraste est donc min=λ2bcosα= 8109rad

I.4.bétant fixé de fait,θétant la variable (du fait du déplacement des deux étoiles aucours du temps), on en

déduit 1

Imax= 2I0

1 + cos2πλ(bsinαLf) etImin= 2I0 1 cos2πλ(bsinαLf)

Ainsiγ=

cos2π

λ(bsinαLf)

I.5.Ceci a pour effet de maximiser le contraste le rendant égal à 1. I.6.1.En combinant les différentes formules proposées, on obtientlittéralement : D g=1,984

8π2cN

2λ0n22a2

Or 1,984/(8π2c) = 83,76 ps.m1= 83,76103ps.km1. Ainsi, D g=83,76103N2λ0 n22a2(ps.km1.μm1) =83,76N2λ0n22a2(ps.km1.nm1)

(Force est de reconnaître que j"ai dû " deviner » en quelle unité était donnée la première formule donnantDg,

le préfacteur 1,984 dépendant du choix de l"unité pourλ0que j"ai considéré être le micromètre...)

I.6.2.En imposantDg+Dm= 0, on obtient

a=

83,76N2λ0

n22Alnλ0B = 2,13μm

I.6.3.V= 1,04<2,4

La fibre est bien monomode.

II.1.1.Descartes enIetI:

sini=nsinret sini=nsinr etA=r+retD=i+iA

II.1.2.1.La face d"entrée du prisme étant perpendiculaire à l"axe optique et le rayon émergeant étant parallèle

à l"axe optique, on a nécessairement

D k=ik

II.1.2.2.Calculons

sinAk=nsinrk=nsin(Akrk) =n(sinAkcosrksinrkcosAk) =nsinAk1sin2rksinrkcosAk =n sinAk

1sin2ikn2sinikncosAk

Simplifions par sinAk(Akétant clairement non nul, le prisme serait d"épaisseur nulle et la déviation nulle) :

1 = n2sin2iksiniktanAk

Finalement tanAk=sinik

n2sin2ik1 2

L"exposantβvaut donc 1/2.

II.1.2.3.sinik=ρk

ρk2+f02

II.1.3.ε=φφ02N= 5 mm

On en déduit les valeurs numériques suivantes : i

1= 17etA1= 31eti10= 37etA10= 58

II.1.4.Pour une lentille plan-convexeR1= +, on en déduit R pc=

R2= (n1)fi= 5 cm

II.1.5CO=φcc2tan(αcc)

doncecc= 2(RccCO) = 2Rccφcc tan(αcc)

Avec un peu de trigonométrie, on déduit que

tanαcc=1 4Rcc2

φ021

On en déduit pour la lentille plan-convexe (d"épaisseur moitée de la bi-convexe, tous paramètres égaux par

ailleurs) : e pc=Rpc 1

1φ024Rpc2

= 0,67 cm

II.1.6Calculons d"abord le rayonRccd"une lentille biconvexe. Avec la formule rappelée précedemment avec

R1=R2etR1=R2=Rcc, on a

R cc= 2(n1)fi= 10 cm

On en déduit que

e cc= 2Rcc 1

1φ024Rcc2

= 6,8 cm

avecφ0le diamètre de cette lenitlle. L"encombrement (et donc le poids) de la lentille est donc bien moindre

dans la configuration dite de Fresnel. II.2.1.Le chemin (D) est plus long que le chemin (G), la vitesse relative de la lumièrevD=c nRSΩ étant plus faible quevG=c n+RSΩ. (Attention, comme demandé dans l"énoncé, on calcule les vitesses avec la loi de composition des vitesse classique.)

On observe ainsi une teinte plate dont l"éclairement dépenddu déphasage entre les deux chemins et donc de Ω,

ce qui en permet donc la mesure.

II.2.2.tD=2πRS

c/nRSΩettG=2πRSc/n+RSΩ 3

Δφ=ω(tDtG) =2πcλ02πRSnc

11RSΩ/c11 +RSΩ/c

Au premier ordre enRSΩ/c, on obtient

Δφ=8π2RS2Ωn

λ0c

avecλ0, la longueur d"onde dans le vide. De là, on déduit la différence de marche :

δ=λ0

2πΔφ=4πRS2nc

III.1.1.La caractéristique est la suivante, avecεm=VSat/μ: -VSatV Sat 0 r´egime lin´eairesaturation basse saturation hauteε m-εms

III.1.2.i=i+= 0 etε= 0 etμ= +

Le triangle représente l"ancien symbole de l"AO (enfin, je crois...). Le signereprésente le gain infini de l"AO

idéal.

III.2.1.K1= 1 etK2=R2R1

R1+R2etK3=R4R3etK4=

1 +R6R5

II.2.2.3 : amplificateur soustracteur; 4 : amplificateur non inverseur

III.3.1.L"impédance d"entré d"un montage suiveur étant infinie, la tensionUcn"est pas modifiée par la chaîne

de mise en forme du signal.

III.3.2.Le rôle du montage décaleur est d"éliminer la tension résiduelle 0,25Vccprésente à champ nul, de manière

à obtenir un signal de sortie proportionnel au champ.

III.3.3.U1= 0,25Vcc+ 20B

U

2=R2R1

R1+R2Vcc

U 3=R4 R3

0,25R2R1R1+R2

V cc+ 20B U 4= 1 +R6 R5 R4R3

0,25R2R1R1+R2

V cc+ 20B 4

III.3.3.US=KBavecK= 100 V.T1

IV.1.1.1.La surface dSétant localement assimilable à un plan chargé uniformément, ce dernier est plan de

symétrie pour la distribution de charges localisées sur celui-ci : le champ créé par dSest donc symétrique par

rapport à ce dernier. De plus, tout plan orthogonal à dScontenantM0est également plan de symétrie pour

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