BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2022
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BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2021
sujet proposé est constitué de deux exercices : — un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr.
Sujet de physique 1 CCP PC 2014
Sujet de physique 1 CCP PC 2014 corrigé pour l'UPS proposé par Philippe Borel (phiborel@numericable.fr) et Séverine Mensch. (severine.mensch@wanadoo.fr)
CONCOURS COMMUN INP
FILIÈRE MP
BANQUE
ÉPREUVE ORALE
DE MATHÉMATIQUES
SESSION 2022
avec corrigésV. Bellecave, J.-L. Artigue, A. Begyn, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer,
S. Busson, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, R. Gabay, B. Harington, J.-P. Keller,
M.-F. Lallemand, A. Leprince, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, Emmanuel Magnin, S. Moinier,P.-L. Morien, S.Mouez, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Rigny, K. Tari, A. Walbron, A. Warin
2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR
Dernière mise à jour : le 19/09/21
Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21
Introduction
L"épreuve orale de mathématiques du CCINP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
25mn de préparatio nsur table.
25mn de passage à l"oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :un exercice sur 8 p ointsis sude la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr
un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2022:58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).
36 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 94).
18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).
Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la
banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour
plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.frsi une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour se trouvera en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.
Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des
exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques du CCINP, filière MP.Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice
des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP. vbellecave@gmail.comCC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2
Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21
MISES À JOUR :
Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site du concours
commun INP, en date du 22/05/21.Exercice 36
barème modifié pour les examinateurs.Exercice 39 corrigé 3.
rajout de la ligne : On remarque déjà queFl2.Exercice 49 corrigé 1.a
Panconverge absolument, donc converge simplement remplacé par :Panconverge absolument, donc converge.
Exercice 81 énoncé question 3.
Déterminer la projection orthogonale remplacé par : Déterminer le projeté orthogonal.Exercice 86 corrigé 2.a
p^k= 1(carpest premier) donc, d"après 1.,p^k! = 1remplacé par :8i2J1;kK,p^i= 1(carpest premier)
donc, d"après 1.,p^k! = 1.Exercice 96
SUPPRIMÉ et REMPLACÉpar :
SoitXune variable aléatoire à valeurs dansN, de loi de probabilité donnée par :8n2N,P(X=n) =pn.
La fonction génératrice deXest notéeGXet elle est définie parGX(t) =E[tX] =+1X n=0p ntn. 1. Prouv erque l"in tervalle]1;1[est inclus dans l"ensemble de définition deGX. 2. Soit X1etX2deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dansN.On poseS=X1+X2.
Démontrer que8t2]1;1[,GS(t) =GX1(t)GX2(t):
(a) en utilisan tle pro duitde C auchyde deux séries en tières. (b) en utilisan tuniquemen tla définition de l afonction génératrice par GX(t) =E[tX].Remarque: on admetra, pour la question suivante, que ce résultat est généralisable ànvariables
aléatoires indépendantes à valeurs dansN. 3.Un sac con tientquatr eb oules: une b oulen umérotée0, deux b oulesn umérotées1 et une b oulen umérotée2.
Soitn2N. On effectuentirages successifs, avec remise, d"une boule dans ce sac.On noteSnla somme des numéros tirés.
Soitt2]1;1[.
DéterminerGSn(t)puis en déduire la loi deSn.Exercice 13
SUPPRIMÉ et REMPLACÉpar :
1.Rapp eler,oralemen t,la définition, par les suites de v ecteurs,d"une partie compacte d"un espace v ectoriel
normé. 2.Démon trerq u"unepartie compacte d"un espace v ectorielnormé est une partie fermée de cet espace.
3.Démon trerq u"unepartie compacte d"un espace v ectorielnormé est une partie b ornéede cet espace.
Indication: On pourra raisonner par l"absurde.
4. On se place su E=R[X]muni de la normejj jj1définie pour tout polynômeP=a0+a1X+::::+anXndeEpar :jjPjj1=nX
i=0jaij. (a) Justifier que S(0;1) =fP2R[X]=jjPjj1= 1gest une partie fermée et bornée deE. (b) Calculer jjXnXmjj1pourmetnentiers naturels distincts. S(0;1)est-elle une partie compacte deE? Justifier.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3
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BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1.On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles que(vn)n2Nest non nulle à partir d"un
certain rang etuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1nCorrigé exercice 1
1.P arh ypothèse,9N02N=8n2N;n>N0=)vn6= 0.
Ainsi la suiteunv
n est définie à partir du rangN0.De plus, commeuns+1vn, on alimn!+1u
nv n= 1.Alors,8" >0,9N2N=N>N0et8n2N;n>N=)u
nv n16". (1)Prenons"=12
. Fixons un entierNvérifiant(1).Ainsi,8n2N;n>N=)u
nv n1612C"est-à-dire,8n2N;n>N=) 12
6unv n1612On en déduit que8n2N;n>N=)unv
n>12Et donc,8n2N;n>N=)unv
n>0. Ce qui implique queunetvnsont de même signe à partir du rangN. 2.Au v oisinagede +1, sh(1n
) =1n +16n3+o1n 3 ettan1n =1n +13n3+o1n 3 . Doncuns+116n3. On en déduit, d"après 1., qu"à partir d"un certain rang,unest négatif.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4
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EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
On posef(x) =3x+ 7(x+ 1)2.
1.Décomp oserf(x)en éléments simples.
2.En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type]r;r[(oùr >0).
Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validitéDde ce
développement en série entière. 3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn. Exprimer, pour tout entierp, en le prouvant,apen fonction deg(p)(0). (b) En déduire le dév eloppementlimité de fà l"ordre 3 au voisinage de 0.Corrigé exercice 2
1. En utilisan tles métho deshabituel lesde décomp ositionen élémen tssimple s,on trouv e: f(x) =3x+ 1+4(x+ 1)2. 2.D"après le cours, x7!1x+ 1etx7!1(x+ 1)2sont développables en série entière à l"origine.
De plus, on a8x2]1;1[,11 +x=+1P
n=0(1)nxn.Et,8x2]1;1[,1(1 +x)2=+1P
n=1(1)n+1nxn1( obtenu par dérivation du développement précédent).On en déduit quefest développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en
série entière.Et8x2]1;1[,f(x) = 3+1P
n=0(1)nxn+ 4+1P n=0(1)n(n+ 1)xn.C"est-à-dire :8x2]1;1[,f(x) =+1X
n=0(4n+ 7)(1)nxn. NotonsDle domaine de validité du développement en série entière def.D"après ce qui précéde,]1;1[D.
NotonsRle rayon de convergence de la série entièreX(4n+ 7)(1)nxn.D"après ce qui précédeR>1.
Posons, pour tout entier natureln,an= (4n+ 7)(1)n. Pourx= 1etx=1,limn!+1janxnj= +1doncX(4n+ 7)(1)nxndiverge grossièrement.DoncR61,162Det162D.
On en déduit queD= ]1;1[.
3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn.D"après le cours,gest de classeC1sur]R;R[.
De plus,8x2]R;R[,
g0(x) =+1X
n=1na nxn1=+1X n=0(n+ 1)an+1xnquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] ccp tsi 2010 corrigé
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