Exercices supplémentaires (suite) 2. Effectuez les divisions
algébriques p. xx. Exercices supplémentaires (suite). 4. Décomposez les polynômes suivants en facteurs à l'aide de la mise en évidence double.
CHAPITRE 8 - ~Notes de cours~ & ~EXERCICES
Trouver le PGCD diviser chacun des termes par ce PGCD et exprimer les facteurs en multipliant le PGCD et le quotient obtenu. Mise en évidence double (MED) :.
CQP 099 - Mathématiques de base - Chapitre 3 Factorisation de
14 août 2018 Mise en évidence simple. Mise en évidence double. Factorisation d'une différence de carrés. Factorisation d'un polynôme de degré 2 à une ...
Simple mise en évidence Double mise en évidence
Pour effectuer une double mise en évidence il faut suivre les étapes suivantes: ÉTAPE 1: Regrouper par groupe de deux les termes qui ont un diviseur commun.
Factorisation fractions algébriques
Factorisation par double mise en évidence . suivre concernant la théorie les exemples
La factorisation
31 août 2006 La mise en évidence double : Lorsqu'il y a au moins 4 termes ... Un document présentant des exercices de factorisation est disponible.
FACTORISATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES
Ceci revient à factoriser tout ce qui est commun aux deux termes de l'expression c'est-à-dire le x. Exemple. 6 6. Nous avons mis en évidence (placé devant un
Simple mise en évidence
Simple mise en évidence. Pour effectuer une simple mise en évidence il faut suivre les étapes suivantes: Exercices : Appliquer une mise en évidence.
La factorisation de polynômes
D Comment factoriser un polynôme à l'aide de différentes techniques (mise en évidence simple mise en évidence double
[PDF] La mise en évidence double
Allouti-Sarra
12 La factorisation: Mise en évidence double - Mathéma-TIC
On utilise la double mise en évidence lorsque les termes une fois regroupés par deux (ou par trois par quatre etc ) contiennent un facteur commun à chaque
La mise en évidence double Secondaire - Alloprof
La double mise en évidence est un procédé qui met en évidence un facteur commun à des groupes de termes ayant eux-mêmes un facteur commun
[PDF] CHAPITRE 8 - Collège Regina Assumpta
1) La mise en évidence double permet de trouver les facteurs d'un polynôme comportant un nombre pair de plus de deux termes
[PDF] La factorisation - Collège Ahuntsic
31 août 2006 · ? La mise en évidence double : Lorsqu'il y a au moins 4 termes nous regroupons les termes deux à deux (ou trois à trois ) chaque paire (ou
[PDF] Factorisation - Athénée Royal Agri-Saint-Georges
Pour factoriser un polynôme on peut utiliser plusieurs méthodes : a) la mise en évidence b) les produits remarquables c) la méthode des groupements d) la somme
[PDF] Les méthodes de factorisation
Exercice 4 Factorisez à l'aide des identités remarquables Mettre éventuellement d'abord un ou plusieurs facteurs communs en évidence ! Vérifier le double
[PDF] Séquence 7 : La factorisation
a) La mise en évidence : « Mettre un facteur en évidence » signifie « trouver un facteur commun aux différents termes » La mise en évidence est l'opération
[PDF] cours 15
Mise en évidence double Dans certains cas particuliers il arrive que lorsqu'on met des termes en évidence des facteurs mis en commun soient les mêmes
Comment faire une mise en evidence en math ?
Pour factoriser l'expression, mets le facteur commun en évidence devant une parenthèse. Divise ensuite chaque terme par le facteur commun, et note le résultat dans la parenthèse. Le facteur commun "5bc" est mis en évidence devant une parenthèse. Dans la parenthèse, chaque terme est divisé par "5bc".
CQP 099 - Mathématiques de base
Chapitre 3
Factorisation de polynômes et fractions algébriquesOlivier Godin
Université de Sherbrooke
14 août 2018
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques1 / 60Introdution
La première partie du chapitre est consacrée aux différentes de méthodes de factorisation. La factorisation de polynômes est très utile pour simplifier les résultats obtenus, avec la manipulation des fractions algébriques. La deuxième partie du chapitre est d"ailleurs consacrée aux fractions algébriques, c"est-à-dire aux fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Il sera question des opérations que l"on peut effectuer sur celles-ci. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques2 / 60Plan du chapitre
1Factorisation de polynômes
2Fractions algébriques
3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques3 / 60Factorisation de polynômes
1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques4 / 60Factorisation de polynôme
Unfacteurest un élément d"unproduit. Sia,betcsont des nombres réels, et si a=bc, alorsbetcsont des facteurs dea. De la même façon, siP,QetSsont des polynômes, et siP=QS, alorsQetSsont des facteurs deP. Lafactorisation d"un polynômeconsiste à l"exprimer sous la forme d"un produit de polynômes, appelésfacteurs irréductibles, de degrés inférieurs. Il faut apprendre à reconnaître le modèle d"un polynôme et à utiliser la méthode appropriée de factorisation. On doit toutefois savoir que la factorisation d"un polynôme n"est pas toujours possible. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques5 / 60Mise en évidence simple
1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques6 / 60Mise en évidence simple
On utilise lamise en évidence simplelorsque tous les termes contiennent un facteur commun.Pour mettre en évidence ce facteur commun, on utilise la propriété de distributivité de la
multiplication sur l"addition : ab+ac=a(b+c)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques7 / 60Mise en évidence simple
Question éclair 3.1
Factorisez les polynômes suivants.
a)18 x227x
b)15 t725t340t4
c)20 x2+40x2y70xy2
d)56 u2v424uv3+32u3v2Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques8 / 60
Mise en évidence double
1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques9 / 60Mise en évidence double
On utilise la méthode de lamise en évidence doublelorsqu"il n"existe pas de facteur commun à tous les termes, mais que des termes, une fois regroupés par deux (ou par trois, par quatre, etc.), contiennent un facteur commun à chaque groupe de termes. Après les avoir regroupés, on effectue deux mises en évidence successives, si possible : ac+bc+ad+bd=c(a+b) +d(a+b)mise en évidence decet ded= (a+b)(c+d)mise en évidence de(a+b)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques10 / 60
Mise en évidence double
Question éclair 3.2
Factorisez les polynômes suivants.
a)2 x3x2+6x3
b)6t3+15t28t+20 c)xy2x2y+4 d)2 u33u2v+2uv23v3Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques11 / 60
Mise en évidence double
Exercice 3.1
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques12 / 60Mise en évidence double
Il n"est cependant pas toujours possible de trouver un facteur commun. Dans ce cas, il faudra essayer une autre méthode de factorisation. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques13 / 60Factorisation d"une différence de carrés
1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques14 / 60Factorisation d"une différence de carrés
Unedifférence de carréest un binôme composé de la différence de deux carrés. Il peut alors s"exprimer comme le produit de la somme et de la différence des deux racines carrées : a2b2= (ab)(a+b)
Notons qu"une somme de deux carrés n"est pas décomposable en facteurs. Ainsi, lafactorisation dea2+b2est impossibile.Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques15 / 60
Factorisation d"une différence de carrés
Question éclair 3.3
Factorisez les polynômes suivants.
a)x249 b)36 121t2
c)100 x29y2
d)4 u23Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques16 / 60
Factorisation d"une différence de carrés
Exercice 3.2
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques17 / 60 Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques18 / 60 Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable Soit le polynômeP=ax2+bc+c. Lesracines(ouzéros) du polynômePsont les valeurs de la variablexpour lesquellesax2+bc+c=0. Le concept de racine peut être étendu à un polynôme quelconque de degrén anxn+an1xn1++a1x+a0. Soit un trînôme de la forme précédente, soitax2+bx+c. On peut factoriser certains deceux-ci en respectant les étapes suivantes :1On cherche deux nombres dont la somme estbet le produit estac.2On remplacebpar la somme de ces deux nombres.3On effectue une double mise en évidence :
ax2+bx+c= (mx+u)(nx+v), oùmn=a;uv=cetmv+nu=bChapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques19 / 60
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variable Cela nous amène à proposer le théorème suivant :SoitP=ax2+bc+c, un polynôme enxde degré 2.
Sib24ac<0, alorsPest irréductible, c"est-à-dire qu"on ne peut pas le décomposer et l"écrire comme un produit de deux polynômes à coefficients réels de degré 1. Sib24ac0, alorsP=a(xr1)(xr2), oùr1etr2sont les racines dePet sont obtenues par laformule quadratique: r 1=bpb24ac2aetr2=b+pb
24ac2aChapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques20 / 60
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableQuestion éclair 3.4
Factorisez si possible les polynômes suivants.
a)2 x2+10x28
b)9 t212t+4
c)3 u25u+4
d)6 x2+19x+10Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques21 / 60
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableExercice 3.3
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques22 / 60Factorisation d"un trinôme carré parfait
1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques23 / 60Factorisation d"un trinôme carré parfait
On utilise la méthode de factorisation d"untrinôme carré parfaitlorsque le polynôme est composé de la somme des carrés de deux nombres et du double du produit de ces mêmes nombres. On peut constater que le carré d"un binôme prend toujours cette forme : (a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques24 / 60Factorisation d"un trinôme carré parfait
Question éclair 3.5
Factorisez les polynômes suivants en utilisant la méthode décrite dans cette section. a)x212x+36 b)t2+8t+16 c)36 x2+12x+1
d)16 u240u+25Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques25 / 60
Factorisation d"un trinôme carré parfait
Exercice 3.4
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques26 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c1Factorisation de polynômesMise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques27 / 60Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Pour décomposer un trinôme dont le coefficient du terme de second degré est 1, il faut trouver deux nombres,uetv, dont la somme estbet le produit estc. On obtient alors x2+bx+c= (x+u)(x+v)oùu+v=betuv=cChapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques28 / 60
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+cQuestion éclair 3.6 Factorisez les polynômes suivants en utilisant la méthode décrite dans cette section. a)x2+11x+18 b)u2+3u28 c)t211t+24 d)x2x30Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques29 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+cExercice 3.5 Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques30 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c1Factorisation de polynômesMise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques31 / 60 Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+cQuestion éclair 3.7 Factorisez les polynômes suivants en utilisant la méthode décrite dans cette section. a)2 x2+5x3
b)6 x2+11x+4
c)5 t29t2
d)12 u225u+12Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques32 / 60
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+cExercice 3.6 Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques33 / 60Factorisation d"une différence de cubes
1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques34 / 60Factorisation d"une différence de cubes
Ladifférence de deux cubesest un binôme dont chacun des termes est le cube d"un nombre ou d"une expression algébrique.On a que
a3b3= (ab)(a2+ab+b2)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques35 / 60
Factorisation d"une différence de cubes
Question éclair 3.8
Factorisez les polynômes suivants.
a)x38 b) 64 u3c)
216 t31000
d)27 x3125y3Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques36 / 60
Factorisation d"une somme de cubes
1Factorisation de polynômes
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Factorisation d"une différence de carrés
Factorisation d"un polynôme de degré 2 à une variableFactorisation d"un trinôme carré parfait
Factorisation d"un trinôme de la formex2+bx+c
Factorisation d"un trinôme de la formeax2+bc+c
Factorisation d"une différence de cubes
Factorisation d"une somme de cubes2Fractions algébriques3Références
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques37 / 60Factorisation d"une somme de cubes
Le même principe s"applique dans le cas d"unesomme de cubes: a3+b3= (a+b)(a2ab+b2)Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques38 / 60
Factorisation d"une somme de cubes
Question éclair 3.9
Factorisez les polynômes suivants.
a)x3+64 b)8 t3+125
c)x3+164 y3 d) 18 u3+27v3Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques39 / 60Factorisation d"une somme de cubes
Exercice 3.7
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques40 / 60Fractions algébriques
1Factorisation de polynômes
2Fractions algébriques
Simplification de fractions algébriques
Produit de deux fractions algébriques
Quotient de deux fractions algébriques
Somme ou différence de deux fractions algébriques3Références Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques41 / 60Fractions algébriques
On appellefraction algébrique(oufraction rationnelle) toute expression de la forme PQ oùPetQsont des polynômes et oùQ6=0.Ledomaine d"une fraction algébriquePQ
est l"ensemble de toutes les valeurs réellestelles que le dénominateurQest différent de 0.Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques42 / 60
Fractions algébriques
Question éclair 3.10
Déterminez le domaine des fractions algébriques suivantes. a)2x315x
b) 4t2t 33t2c) u2+u+116u2+1 d) x2+x+116x21Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques43 / 60
Simplification de fractions algébriques
1Factorisation de polynômes
2Fractions algébriques
Simplification de fractions algébriques
Produit de deux fractions algébriques
Quotient de deux fractions algébriques
Somme ou différence de deux fractions algébriques3Références Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques44 / 60Simplification de fractions algébriques
Lasimplification d"une fraction algébriques"effectue en quatre étapes :1Décomposer en facteurs son numérateur et son dénominateur.
2Trouver son domaine.
3Déterminer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
4Diviser le numérateur et le dénominateur par ces facteurs communs.
L"opération de simplification d"une fraction algébrique permet d"obtenir une fraction algébriqueéquivalente. Deux fractions algébriques sont dites équivalentes si, pour tout nombre réel appartenant aux domaines de chaque fraction algébrique, les deux fractions ont la même valeur numérique. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques45 / 60Simplification de fractions algébriques
Question éclair 3.11
Simplifiez les fractions algébriques suivantes. a) x2363x+18 b)64u2u23u
c) 4xx 2+x20 d) t29t+143t25t2Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques46 / 60Simplification de fractions algébriques
Exercices 3.8
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques47 / 60Produit de deux fractions algébriques
1Factorisation de polynômes
2Fractions algébriques
Simplification de fractions algébriques
Produit de deux fractions algébriques
Quotient de deux fractions algébriques
Somme ou différence de deux fractions algébriques3Références Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques48 / 60Produit de deux fractions algébriques
On sait que pour multiplier deux fractions numériques, il suffit de multiplier entre eux leurs numérateurs, puis leurs dénominateurs. On procède exactement de la même façon pour effectuer leproduit de deux fractions algébriques: PQ RS =PRQS oùQ6=0 etS6=0Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques49 / 60Produit de deux fractions algébriques
Question éclair 3.12
Effectuez les produits suivants. Simplifiez, si possible, les résultats. a)69x+364x+169
b)2x+19x2x34x2+2x
c)3t2+12t6t30t23t10t
216d)
2u2+5u12x
22u24u36u24u29Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques50 / 60
Quotient de deux fractions algébriques
1Factorisation de polynômes
2Fractions algébriques
Simplification de fractions algébriques
Produit de deux fractions algébriques
Quotient de deux fractions algébriques
Somme ou différence de deux fractions algébriques3Références Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques51 / 60Quotient de deux fractions algébriques
Pour diviser deux fractions numériques, on multiplie la première par l"inverse de l"autre. On fera de même pour évaluer lequotient de deux fractions algébriques: PQ R S =PQ RS =PQ SR =PSQR oùQ6=0;R6=0 etS6=0Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques52 / 60Quotient de deux fractions algébriques
Question éclair 3.13
Effectuez les quotients suivantes. Simplifiez, si possible, les résultats. a) x716 7x8 b)6u2+18u3u+1u3+3u29u21
c) 4t12t2+5tt22t325t2
d)3x211x4x
242x8x
26x16Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques53 / 60
Quotient de deux fractions algébriques
Exercices 3.9
Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques54 / 60 Somme ou différence de deux fractions algébriques1Factorisation de polynômes
2Fractions algébriques
Simplification de fractions algébriques
Produit de deux fractions algébriques
Quotient de deux fractions algébriques
Somme ou différence de deux fractions algébriques3Références Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques55 / 60 Somme ou différence de deux fractions algébriques Pour additionner ou soustraire deux fractions numériques, on les ramène au même dénominateur, ce qui permet ensuite d"additionner ou de soustraire les numérateurs, puis de simplifier, si possible. La stratégie sera la même pour lasomme ou la différence de deux fractions algébriques, à la différence qu"il faudra également se soucier du domaine de celles-ci.On auda donc que
PQ RS =PSQS QRQS =PSQRQS pour toutes les valeurs pour lesquellesQ6=0 etS6=0. On a donc que le domaine de la somme ou de la différence de deux fractions algébriques correspond à l"intersection des deux domaines originaux. Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques56 / 60 Somme ou différence de deux fractions algébriquesQuestion éclair 3.14
Effectuez les quotients suivantes. Simplifiez, si possible, les résultats. a) x2x+11x+1 b)32x+3+2x+2
c)quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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