Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Elle permet d'étudier dont on consid`ere ici la limite en 0 n'est pas ... (1) On dit que f est dérivable `a gauche en x0 si la limite lim h?0 h<0.
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires . ... C'est par exemple le cas en 0 de la fonction f ... étudier le signe de la dérivée.
Dérivabilité
est dérivable en tout x0 ? R? et f?(x0) = ?1 x2. 0 Pour étudier la dérivabilité en 0
Dérivabilité
Montrer que f est dérivable sur R mais que f n'est pas continue en 0. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000700]. Exercice 3. Étudier la dérivabilité
DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES
0. 3. 3. f h f h h h. ?. = + + b) En déduire que f est dérivable en 0 et donner le nombre dérivé de f en 0. Exercice n°4. 1) Etudier la dérivabilité en 0
Limite continuité
dérivabilité
DÉRIVATION (Partie 2)
Remarque : Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 3) Étude de la dérivabilité en 0
de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1
Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de f sur [0; ?]. ... Étudier la dérivabilité de f en 0.
Feuille 10. Dérivabilité
Exercice 2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f de R vers R définie par : f(x) = 8>><. >>: ex x si x < 0 cos2(?x)
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
a) y = lnx avec x > 0 ? x = ey Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0 ... b) Etudier la dérivabilité de la fonction f.
Cours - Derivabilite - Christophe Bertault
est dérivable en 0 Démonstration f ? g (0)=f ? d (0)=1 donc f est dérivable en 0 et f ?(0)=1 b $ Attention ! Une fonction peut n’être ni dérivable à gauche ni dérivable à droite en un point C’est le cas de la fonction x f ?? x sin 1 x en 0 prolongée par continuité en 0 par f (0)=0 car x ?? f (x)? f (0) x ?0
Savoir-Faire : Etudier la dérivabilité d’une fonction
polynômes Mais il faut étudier le raccord en 0 aanvt de conclure à la dérivabilité sur R 8x0; f(x) f(0) x 0 = x2 x = x: Donc f est dérivable à droite et à gauche en 0 et f0 d (0) = 0 = f 0 g(0) Donc f est dérivable en 0 et f est bien dérivable sur R tout entier 1 4 Opérations sur les fonctions dérivables
GuesmiB DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES
1) Etudier la dérivabilité en 0 de x 6xx 2) Soit f la fonction numérique définie par f ()xx=?(1)1?x2 a) Déterminer l’ensemble de définition de f b) Etudier la dérivabilité de f en +1 et en –1 Exercice n°5 1) f est la fonction définie sur [0;+?[par f ()xx=+x a) Etudier la dérivabilité de f en 0
Chapitre 3 D´erivabilit´e des fonctions r´eelles
Rappelons l’interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee : si f est d´erivable en x 0 alors la courbe repr´esentative de la fonction f admet une tangente au point (x 0f(x 0)) de coe?cient directeur f?(x 0) En fait la fonction h 7?f(x0+h)?f(x0) h dont on consid`ere ici la limite en 0 n’est pas d´e?nie en ce point
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité
dérivabilité de f en 0 2) Soit la fonction f(x) = x Etudier la dérivabilité de f en 0 3) Soit la fonction f définie par f(x) = x² si x ? 0 et f(x) = x – 1 si x < 0 Etudier la dérivabilité de f en 0 4) Soit la fonction f définie par f(x) = x² si x ?0 et f(x) = x si x < 0 Etudier la dérivabilité de f en 0 5) Soit la
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Etudier la dérivabilité de la fonction valeur absolue définie sur ? pour 0 pour 0 xx f x x xx ® ¯ t Graphiquement : 0 0 0 Algébriquement : f est dérivable sur ]-? ; 0[ et sur ]0 ; +?[ comme fonction affine Etude de la dérivabilité en 0 : 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 ' ( ) (0) 0 lim lim lim 1 1 00 donc est dérivable à gauche de 0 et
Comment Etudier la dérivabilité d’une fonction ?
- Savoir-Faire : Etudier la dérivabilité d’une fonction Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. f est dérivable en a si ( ) - ( ) lim avec xa-f x f a o xa . s’appelle nombre dérivé de f en a et se note f ’(a). Graphiquement: f est dérivable en a si f admet en a une seule tangente non verticale.
Quelle est la définition de dérivabilité?
- Dé?nition (Dérivabilité en un point ou sur une partie deR, tangente)Soientf:D?? Cune fonction eta?D. •Dérivabilité :On dit quefestdérivable en asi la limite : lim
Comment calculer la dérivabilité?
- f = 1 f??f?1 On aurait pu énoncer ce résultat dans le cadre de la dérivabilité en un seul point et c’est d’ailleurs sous cette forme que nous allons le démontrer. Dans le cas de la composition, le théorème énoncerait que sifest dérivable ena?Det sigest dérivable eng(a)?E, alorsg?fest dérivable ena. 2
Qu'est-ce que la dérivabilité à gauche?
- d (a). Parce qu’elle n’est qu’un cas particulier de la dérivabilité en général, la dérivabilité à gauche (resp. à droite) implique la continuité à gauche (resp. à droite).
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frFONCTION LOGARITHME NEPERIEN En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la fina lité d'un trava il de 20 ans , Neper présente un outil permetta nt de simplifier le s calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addi tion (paragra phe II). Ceci peut paraît re dérisoire aujourd'hui, ma is il faut comprendre qu'à cette é poque, les calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans
0;+∞
. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a de0;+∞
l'équation e x =a admet une unique solution dans ℝ.2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDéfinition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation
e x =a . On la note lna . La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ][ ln:0;+∞→ x!lnxRemarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation
y=x. - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log est définie par :
log(x)= lnx ln10Conséquences : a)
y=lnxavecx>0⇔x=e y b) ln1=0 lne=1 ln 1 e =-1 c) Pour tout x, lne x =x d) Pour tout x strictement positif, e lnx =xDémonstrations : a) Par définition b) - Car
e 0 =1 - Car e 1 =e - Car e -1 1 e c) Si on pose y=e x , alors x=lny=lne x d) Si on pose y=lnx , alors x=e y =e lnxII. Propriété de la fonction logarithme népérien 1) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : ()lnlnln xyxy ×=+
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDémonstration :
e ln(x×y) =x×y=e lnx ×e lny =e lnx+lnyDonc ()lnlnln xyxy ×=+
Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 x 62) = log(36) + log(62) ≈ 1,5563 + 1,7924 (voir table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 x 62) ≈ 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36 x 62 = 2232. 2) Conséquences Corollaires : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a)
ln 1 x =-lnx b) ln x y =lnx-lny c) lnx= 1 2 lnx d) lnx n =nlnx avec n entier relatif Démonstrations : a) 11 lnlnln ln1 0xx xx b) 11 lnlnln lnlnln x xxxy yyy c) ()2lnlnl nlnlnxxxxxx=+=×=
d) On démontre ce résultat par récurrence. L'initialisation est triviale. La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ()
1 lnlnln lnln ln(1 )ln nnn xxxxxnxxnx4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Simplifier une expression Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4 ()()
ln35 ln3 5A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
C=lne 2 -ln 2 e ln35 ln3 5 ln35 35 ln95 ln4 A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
=ln2 3 +ln5-ln3 2 =ln 2 3 ×5 3 2 =ln 409 C=lne 2 -ln 2 e =2lne-ln2+lne =2-ln2+1 =3-ln2
III. Etude de la fonction logarithme népérien 1) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur
0;+∞
. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
et (lnx)'= 1 x . Démonstration : La fonction ln est continue sur0;+∞
, donc pour tout réel a > 0, on a : lim x→a lnx=lna . Donc par composée de limites, en posant X=lnx lim x→a lnx-lna x-a =limX→lna
X-lna e X -e lna =limX→lna
1 e X -e lna X-lna Comme la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, on a : limX→lna
1 e X -e lna X-lna 1 e lna 1 a et donc lim x→a lnx-lna x-a 1 a. Exemple : Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8 Dériver la fonction suivante sur l'intervalle
0;+∞
2 ln x fx x 2 2 2 221
2lnln1
2lnln 2ln ln xxx x fx x xx x x xx2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
0;+∞
. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 xquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] étui pour carnet de santé
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