Injection surjection
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
MÉTHODES ET EXERCICES
Corrigés des exercices Injectivité surjectivité ou bijectivité d'une application ... Théorème de la bijection pour les fonctions numériques.
Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct
Exercice II.3 Ch2-Exercice3. Soit f : R+ ? R définie par f (x) = x. Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que.
Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : ? définie
est une application. (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective. Justifier.
Corrigé du TD no 6
On considère les applications f et g définies par particulier elle est injective et surjective. ... Alors le théorème de la bijection montre que la.
Applications linéaires matrices
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf
Injection surjection
https://math.univ-lille1.fr/~bodin/exo4/selcor/selcor03.pdf
Applications linéaires
Exercice 7. Pour les applications linéaires suivantes déterminer Ker fi et Im fi. En déduire si fi est injective
Leçon 01- Correction des exercices
f n'étant ni injective ni surjective f n'est pas bijective. c) Pour que la fonction soit bijective il faut que l'équation f(x) = y ait une et une seule.
Cours : Ensembles et applications
Fiche d'exercices sera la notion d'application (ou fonction) entre deux ensembles. 1. Ensembles ... f est bijective si elle injective et surjective.
BCPST 1
MÉTHODES ET EXERCICES
MATHSBCPST 1
MÉTHODES ET EXERCICES
A. BÉGYN | G. CONNAN | R. LEROY | F. EZANNO 4 eédition
© Dunod, 2018
11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff
www.dunod.com *4#/Création graphique de la couverture : Hokus Pokus CréationsTable des matières
CHAPITRE1LOGIQUE,ENSEMBLES,SIGNES
ET ?1Méthodes à retenir2
Énoncés des exercices5
Du mal à démarrer ?10
Corrigés des exercices11
CHAPITRE2NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE20
Méthodes à retenir21
Énoncés des exercices24
Du mal à démarrer ?29
Corrigés des exercices30
CHAPITRE3SUITES RÉELLES44
Méthodes à retenir45
Énoncés des exercices48
Du mal à démarrer ?55
Corrigés des exercices56
CHAPITRE4SYSTÈMES LINÉAIRES ET CALCUL MATRICIEL71Méthodes à retenir72
Énoncés des exercices74
Du mal à démarrer ?81
Corrigés des exercices82
i ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. CHAPITRE5ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES98Méthodes à retenir99
Énoncés des exercices104
Du mal à démarrer ?112
Corrigés des exercices113
Méthodes à retenir141
Énoncés des exercices146
Du mal à démarrer ?154
Corrigés des exercices156
CHAPITRE7DÉRIVABILITÉ,DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS175Méthodes à retenir176
Énoncés des exercices179
Du mal à démarrer ?187
Corrigés des exercices189
CHAPITRE8INTÉGRATION,ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES210Méthodes à retenir211
Énoncés des exercices214
Du mal à démarrer ?221
Corrigés des exercices223
Méthodes à retenir247
Énoncés des exercices250
Du mal à démarrer ?257
Corrigés des exercices258
iiCHAPITRE10VARIABLES ALÉATOIRES274
Méthodes à retenir275
Énoncés des exercices276
Du mal à démarrer ?282
Corrigés des exercices283
CHAPITRE11VECTEURS ALÉATOIRES295
Méthodes à retenir296
Énoncés des exercices298
Du mal à démarrer ?305
Corrigés des exercices306
CHAPITRE12GÉOMÉTRIE325
Méthodes à retenir326
Énoncés des exercices330
Du mal à démarrer ?335
Corrigés des exercices336
CHAPITRE13STATISTIQUES349
Méthodes à retenir350
Énoncés des exercices351
Du mal à démarrer ?354
Corrigés des exercices355
iii ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Logique, ensembles, signes
et ?Chapitre1CHAPITRE
1 1Logique, théorie des ensembles
et manipulations des signes etThèmes abordés dans les exercices
- Raisonnements mathématiques - Opérations sur les ensembles - Propriétés générales des applications - Manipulation des symbolesΣetΠ
Points essentiels du cours pour la résolution
des exercices - Démonstration d"une implication, d"une équivalence - Raisonnement par contraposée - Raisonnement par l"absurde - Raisonnement par récurrence - Démonstration d"une inclusion, d"une égalité entre ensembles - Règles de calcul pour les opérations sur les ensembles - Image directe d"une partie par une application - Injectivité, surjectivité ou bijectivité d"une application - Théorème d"inversibilité pour la loi de composition - Théorème de la bijection pour les fonctions numériques - Règles de calcul avec les symbolesΣetΠ
- Règles de calcul sur les coefficients binomiaux - Sommes usuelles : sommes arithmétiques, sommes géométriques, formule du binôme 1 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Chapitre1Logique, ensembles, signes
etLes méthodes à retenir
Pourdémontreruneimplicationouune
équivalence- Pour démontrer que A=?B on suppose que la propriété A est verifiée et on doit démontrer que la propriété B l"est aussi.Exercice1.13
- Pour démontrer l"implication A=?B, on peut raisonner par contraposée, c"est-à-dire démontrer l"implicationnon(B)=? non(A) : on suppose que B n"est pas verifiée et on démontre qu"alors A ne l"est pas non plus.Exercice1.5
- Pour démontrer une équivalence A??B on raisonne par double- implication : on démontre l"implication A=?B ainsi que sa réci- proque B=?A.Exercice1.15
Pourraisonnerparlabsurde- Pour démontrer que A est vérifiée : on suppose que A n"est pas
vérifiée et on en déduit une contradiction évidente du type 1=0,Exercices1.10 et1.15
Pourdémontreruneproposition
logiquedépendantde quanticateurs- Pour démontrer que?x?E, P(x):onsefixeunx?E quelconque et on doit alors démontrer que P(x)estvérifiéepourcexfixé.Exercices1.1 et 1.5
- Pour démontrer que?x?E/ P(x) : on doit donner (au moins) un exemple dex?E quivérifielapropriétéP(x).LorsqueP(x) estune équation alorsxest l"inconnue et on doit trouver (au moins) une solution.Exercices1.1 et1.14
- Pour démontrer que?!x?E/ P(x) : on démontre comme précé- demment que?x?E/ P(x) et, de plus, qu"il ne peut y avoir deux valeurs distinctes dexpour lesquelles P(x) est vraie (ceci à l"aide d"un raisonnement par l"absurde).Exercice1.14
2Logique, ensembles, signes
et ?Chapitre1Pourraisonnerparrécurrence- Si la propriété à démontrer, pour tout entier natureln, vérifie une
relation donnée entre le rangnet le rangn+1 on utilise alors le principe de récurrence.Exercices1.6, 1.7, 1.19 et1.21
- Si la propriété à démontrer, pour tout entier natureln, vérifie une relation donnée entre les rangsn,n+1etn+2 on utilise alors le principe de récurrence à deux pas.Exercice1.7
- Si la propriété à démontrer, pour tout entier natureln, vérifie une le principe de récurrence forte.Exercice1.7
Pourdémontreruneinclusionou une
égalitéentredeux ensembles- Pour démontrer l"inclusion E?F on démontre l"implication x?E=?x?F.Exercices1.10 et1.15
- Pour démontrer l"égalité E=F on raisonne par double-inclusion : on démontre l"inclusion E?F et l"inclusion réciproque F?E.Exercices1.10, 1.15 et1.16
- Dans les deux cas, on peut aussi utiliser les opérations sur les en- sembles.Exercices1.15 et1.16
Pour déterminer le domaine de
dénition dune fonction- On repère les opérations potentiellement interdites (racines, lo-
riablexpour que toutes ces opérations soient définies, puis on fait la résolution.Exercice1.4
Pour démontrer quune application est
injective ou surjective- Pour démontrer quef:E-→F est injective sur E : on se donne (x 1 ,x 2 )?E 2 tel quef(x 1 )=f(x 2 ), et on doit alors montrer que x 1 =x 2Exercices1.12, 1.13 et1.14
- Pour démontrer quef:E-→F est surjective de E sur F : on se donney?F fixé quelconque , et on doit alors donner (au moins) unx?Etelquey=f(x), par exemple en démontrant que l"équa- tiony=f(x) d"inconnuexa (au moins) une solution dans E.Exercices1.12, 1.13 et1.14
- Pour démontrer quef:E-→F est surjective on peut aussi appli- quer le théorème des valeurs intermédiaires.Exercice1.11
3 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Chapitre1Logique, ensembles, signes
etPour démontrer qu"une application est
bijective- On revient à la définition en démontrant qu"elle est à la fois injec- tive sur E, et surjective de E sur F.Exercices1.11 et1.13
- On démontre les deux en même temps : on se donney?Ffixé quelconque , et on doit alors montrer que?!x?E/y=f(x), par exemple en démontrant que l"équationy=f(x) d"inconnuexa une unique solution dans E.Exercices1.11 et1.14
- On utilise le théorème d"inversibilité pour la loi de composition : on détermine une applicationg:F-→E telle quef◦g=id F et g◦f=id EExercice1.23
- Dans le cas d"une fonction numérique, on peut utiliser le théo- rème de la bijection.Exercices1.11 et1.14
Pour déterminer lapplication
réciproquedune bijection-Poury?F fixé quelconque,f -1 (y) est l"unique solution de l"équa- tiony=f(x) d"inconnuex?E.Exercices1.9 et1.14
-Sionatrouvég:F-→E telle quef◦g=id F etg◦f=id E ,alors f -1 =g.Exercice1.23
Pour déterminer limage directe dun
ensembleparune fonction- On étudie les variations de la fonction sur l"ensemble donné. On applique le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque inter- valle où la fonction est monotone.Exercice1.8
Pourcalculerunesomme formelle- Onmetenfacteur lestermesnedépendantpasdel"indicedesom- mation, on utilise ensuite les règles de calcul sur les symbolesΣ, et on conclut en faisant apparaître les sommes usuelles à l"aide de changements d"indice.?→Exercices1.17, 1.20, 1.21 et1.22
- Si le résultat final est donné dans l"énoncé, on peut aussi démon- trer la formule par récurrence.Exercices1.19 et1.20
4Logique, ensembles, signes
et ?Chapitre1Énoncés des exercices
1.1Vrai ou faux ?
En justifiant soigneusement, dire pour chacune des assertions suivantes si elle est vraie ou fausse. a)?(x,y,z)?R 3 ,?x[PDF] application of finite automata
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