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Geometrie AlgebriqueGeorges COMTE

UMR CNRS 5127, Laboratoire de Mathematiques de l'Universite Savoie-Mont Blanc B^atiment Chablais, Campus scientique, 73376 Le Bourget-du-Lac cedex, France email :georges.comte@univ-smb.fr url :http://gcomte.perso.math.cnrs.fr/

Derniere mise a jour le 22 juillet 2022 a 19:49

Table des matieres

Chapitre 1. Introduction

1. Introduction generale

2. Ensembles ordonnes

3. Anneaux

4. Corps

5. Topologie

Chapitre 2. Varietes algebriques

1 5

1. Les ensembles algebriques anes et la topologie de Zariski

2. Ideal d'un ensemble algebrique ane et Nullstellensatz

3. Composantes irreductibles d'un ensemble algebrique

4. Fonctions regulieres d'un ensemble algebrique ane

5. Espaces anneles et morphismes d'espaces anneles

6. Varietes algebriques anes et varietes algebriques

Chapitre 3. Le langage de la theorie des modeles

1. Structures et Langages

2. Interpretation des formules

3. La theorie des corps reels clos

4. La theorie des corps algebriquement clos

Chapitre 4. Dimension

Chapitre 5. Schemas

1. Le spectre SpecRd'un anneauR87

2. L'espace topologique SpecR89

3. L'espace localement annele SpecR94

Chapitre 6. Cohomologie des faisceaux

99
1

Chapitre1Introduction

1. Introduction generale

2. Ensembles ordonnes

Commencons par rappeler quelques elements de vocabulaire de la theorie des ensembles, autour de la notion d'ordre. SoitEun ensemble. Cet ensemble est ditordonnes'il est muni d'une relation binaire (ie formellement un sous-ensemble deEE1), noteeet appelee unordre surE, telle que (1) cette relation est an ti-re exive: ( x;x) n'est pas dans, (2) cette relation est transitiv e: 8x;y2E; xyetyz=)xz. L'ensemble ordonne (E;) est dittotalement ordonne, oul'ordreest dit totallorsque deux elements quelconquesx;ydeEsont comparables pour l'ordre, ie quexyouyxoux=y.Un majorantM2Ed'une partieAEest par denition tel que8a2A;aM. On dit lors que la partieAestmajoree. Un element maximalm2Ade la partieAest un elementmdeAtel quema n'est vraie pour aucun elementadeA(de sorte que soita2An'est pas comparable am, soitam, soita=m).

2.1.Remarque.Un majorantM2EdeAEn'est pas necessairement un

element maximal deA(siM62A), tandis qu'un element maximalmdeAne majore pas necessairementA(des elements deApeuvent ne pas ^etre comparables am). Lorsqu'un element est a la fois un majorant et un element maximal deA, on dit que cet element est unplus grand element deA. Un tel elementgest unique dansAet est deni parg2Aet8a2A;ag. On denit de la m^eme maniere que les notions de majorant, d'element maximal et de plus grand element, les notions deminorant, d'element minimalet deplus1. On note (x;y)2parxy 3

4 1. INTRODUCTION

petit element. Pour cela il sut d'ecahnger les r^oles des symbolesM(resp.m,g) etadans les trois denitions ci-dessus.

2.2.Remarque.Si (E;) est un ensemble ordonne, il en est de m^eme de (E;),

ouest la relation binaire surEdenie parxy()yx. Il s'ensuit que x2AEest un majorant deApour(resp. un element maximal, un plus grand element) si et seulement sixest un minorant pour(resp. un element minimal, un plus petit element).

2.3.Definition.On dit qu'un ensemble ordonne (E;) estbien ordonne,

ou muni d'unbon ordresi toute partie non videAdeEadmet unplus petit element, ie un elementp2Atel que8a2A; pa. Dans ce cas (1)Eest totalement ordonne, puisque toute partie deEde cardinal 2 admet un plus petit element. (2)Eadmet un plus petit element et est donc minore.

2.4.Definition.Un ensemble ordonne (E;) est ditinductiflorsque toute

partie totalement ordonnee deEest majoree dansE. On dispose dans notre theorie de l'axiome du choix Axiome du choix. |Tout produit d'ensembles non vides est non vide. Autrement dit siIest un ensemble non vide,Xi;i2Ides ensembles non vides, alorsQ i2IXi:= ff:I!S i2IXi;8i2I; f(i)2Xigest non vide. Cet axiome est alorsequivalent (dans le systeme de Zermelo-Fraenkel) auxenonces suivants Theoremes 2.5 et 2.6 , que l'on peut enoncer comme des theoremes deduits de l'axiome du choix ([7], Theoreme 5.2.5, par exemple).

2.5.Theoreme(Lemme de Zorn).Tout ensemble ordonne inductif admet un

element maximal.

2.6.Theoreme(Lemme de Zermelo).Tout ensemble peut ^etre muni d'un bon

ordre.

3. Anneaux

Pour un entierndonne, on appelleespace ane de dimensionnl'ensemble k n(le produit cartesien dencopies dek, qui est par denition l'ensemble desn- uplets (x1;;xn),x1;:::;xn2k). Cet ensemble sera parfois noteAn(k) lorsqu'on le minira de sa structure de variete algebrique (ou m^eme simplement lorsqu'on le verra comme un ensemble algebrique). On rappelle qu'etant donne un anneau commutatifA, on noteA[x] l'ensemble des suites presque partout nulles dont les termes sont dansA. Il s'agit d'un sous-groupe deANsur lequel on considere le produit (a0;a1;;ad;0)(b0;b1;;bd;0) := (c0=a0b0;;ck= di=0aibki;;0;) qui fait deA[x] un anneau, dans le- quel s'injecteApara7!(a;0;). On l'appellel'anneau des polyn^omes an

3. ANNEAUX 5

indeterminees et a coecients dansA. On notex`, pour`2Nl'element (0;;1;0;), le 1 gurant a la`ieme place dans cette suite. PourP2A[x], il existe une unique ecritureP=Pd i=0aixiet le produit surA[x] fait quex`xs= x `+s. On notedeg(P) = maxfj2N;P= (a0;a1;);aj6= 0g. Avec ces nota- tions, on appelleadeg(P)le coecient directeur deP. On noteA[x1;;xn] = (((A[x1])[x2]))[xn]. Nous considererons essentiellement des anneaux de po- lyn^omesk[x1;;xn] sur un corpsk. Dans ce cas on dispose d'unek-algebre. La principale propriete que nous voulons rappeler ici est la noetherianite de l'an- neauk[x1;;xn]. Rappelons cette notion.

3.1.Definition.Soit A un anneau, les propositions suivantes sont equivalentes.

On dit qu'un anneau qui satisfait une de ces trois propositions estnoetherien (i) T outid ealde A est de t ypeni i eque si Iest un ideal deAexistenta1;;a`2 I, tels que quel que soita2I, existent1;;`2I, tels quea=P` i=1iai, (ii) T outesuite croissan ted'id eauxde A est stationnaire, (iii) T outensem blenon vide Ed'ideaux deAadmet un element maximal pour l'inclusion, ie un elementI02Etel que siI0IetI2EalorsI=I0. D emonstration.(i))(ii) SiI1I2 est une suite croissante d'ideaux deA,[i2IIiest un ideal deA, qui etant de type ni possede des generateurs a

1;;a`. Mais alors existek2Ntel que ces generateurs sont tous dansIk, et il

s'ensuit que la suiteI1I2 est stationnaire a partir du rangk. (ii))(iii) Soit en eetEun ensemble non vide d'ideaux deAsans element maximal. Soit alorsI12E, commeI1n'est pas maximal, il existeI22Etel queI1(I2, etI2n'est pas maximal. On contruit ainsi par recurrence une suite strictement croissante d'ideaux deA, ce qui contredit (ii). (iii))(i) SoitIun ideal deAqui n'est pas de type ni eta12I. Puisque I6= (a1), il existea22Itel quea262(a1). Mais alors (a1)((a1;a2) etI6= (a1;a2) et ainsi de suite on construit une suite strictement croissante d'ideaux deA. Le support de cette suite ne saurait alors avoir d'element maximal, ce qui contredit (iii).

3.2.Remarque.Les ideaux d'un corpsketant (0) et (1) =k, un corps est en

particulier un anneau noetherien. Le resultat qui nous sera tres utile dans la suite de ce chapitre est le theoreme de transfert suivant, d^u a Hilbert

3.3.Theoreme.SoitAun anneau noetherien, alorsA[x]est noetherien. En

particulierk[x1;;xn]est noetherien. D emonstration.SoitIun ideal de A[X]. Pourd2N, On noteCdl'ensemble des coecients directeurs des polyn^omes de degreddeIetJd=Cd[f0g. AlorsJd est clairement un ideal deA. De plus siDd, on aJdJD(en multipliant les polyn^omes de degreddeIparxDd). Comme par hypotheseAest noetherien, il

6 1. INTRODUCTION

existe`2Ntel que, pour toutd`,Jd=J`et de plusJ`est niment engendre. Soit alorsSdun ensemble ni de polyn^omes de degreddont les coecients directeurs engendrentCd. On montre que[d`Sdest une partie nie deIqui engendreI. Soit pour celaP2I. Si deg(P) = 0,Pest un polyn^ome constant combinaison lineaire a coecients dansAd'elements deC0, doncPest bien l'ideal engendre parS0. Supposons notre propriete demontre pour les polyn^omesPdeIde degrek, pour un entierk0, et montrons que si deg(P) =k+ 1,Pest dans l'ideal engendre par[d`Sd. Le coecient directeur dePest1a1++mamaveci2Aetaides coecients directeurs de polyn^omesPideSj(j=`sik+ 1`etj=k+ 1 sik+ 1`). Il s'ensuit queP(1P1++mPm) (sik+ 1`) est un polyn^ome deIde degre strictement plus petit quek+1 etP(1xk+1`P1++mxk+1`Pm) (sik+1`) est un polyn^ome deIde degre strictement plus petit quek+ 1. Dans les deux cas, on applique l'hypothese de recurrence qui assure queP(1P1++mPm) ouP(1xk+1`P1++mxk+1`Pm) est combinaisonA-lineaire d'elements de d`Sd, et donc egalementP. On prendra en general garde de ne pas identier un polyn^ome, formellement denit comme ci-dessus, avec la fonction polyn^ome qu'il induit surkn. En eet si kest un corps ni les deux notions ne concident en general pas, comme le montre l'exemple suivant :

3.4.Exemple.ConsideronsP(x)2Z2[x] deni parP(x) =x2+x. Formellement

P= (0;1;1;0;), il ne s'agit donc pas du polyn^ome nul (0;). Cependant la fonction polyn^omefPqu'induitPsurket qui est denie parfP(x) =x2+xest la fonction nulle.

3.5.Exercice.NotonsF(kd;k)l'algebre des fonctions polynomiales deknvers

k. Montrer que sikest inni l'application k[x1;;xn]!F(kn;k)

P7!fP:kn!k

(x1;;xn)7!fP(x1;;xn) :=P(x1;;xn) qui a un polyn^ome associe sa fonction polyn^ome naturelle est un isomorphisme de k-algebres. Bien entendu lorsque le contexte sera clair, et apres cette mise en garde, nous ecrirons souventPau lieu defP, m^eme lorsquekest un corps ni... Nous rappelons ici le principe de division euclidienne dans un anneau.

3.6.Theoreme.Etant donne un anneauA, siP;Ssont deux elements deA[x]

tels que le coecient directeur deSest inversible dansA, il existe un unique couple (Q;R)2A[x]2tel queP=QS+Retdeg(R)< deg(S)ouR= 0.

3.7.Remarque.Rappelons que siAest un anneau integre,A[x] aussi et que les

inversibles deA[x] sont ceux deA.

3. ANNEAUX 7

3.8.Definition.Un anneau integreAest ditprincipallorsque tous ses ideaux

sont engendres par un seul element (on dit aussi d'un tel ideal qu'il est principal).

Un tel anneau est evidemment noetherien.

3.9.Definition.Un idealId'un anneauAest ditpremierssiA=Iest integre

ieA=I6=f0get8a;b2A,ab= 0 impliquea= 0 oub= 0 ssiI6=Aet8;2A,

2Iimplique2Iou2I.

3.10.Definition.Un elementa, non inversible, d'un anneauAest ditirreduc-

tiblelorsque quels que soientb;c2A,a=bcimpliqueboucinversible.

3.11.Proposition.SoitAun anneau integre eta2Anon nul et non inversible.

(i) L'id eal(a)est premier ssi8b;c2A, siadivisebc, alorsadivisebouc. (ii)

Si (a)est premier alorsaest irreductible.

(iii) On supp oseAprincipal. Alors un ideal deI, noteI:= (a)est premier ssia est irreductible ssiIest maximal.

3.12.Definition.Un anneauAest ditlocals'il possede un unique ideal maximal

m. Dans ce cas le quotientA=mest appele le corps residuel deA.

3.13.Remarque.L'anneauAest local si et seulement si les elements non inver-

sibles deAforment un ideal, qui est alors l'ideal maximal deA. En eet soitAun anneau etNl'ensemble de ses elements non inversibles. SiAest local, il est clair quemne peut contenir un inversible car sinonmserait Aet donc ne serait pas maximal, doncmN. Mais sixest non inversible, l'ideal qu'il engendre n'est pasAet est contenu dans un ideal maximal qui ne peut ^etre quem. On en conclut queN=m. Reciproquement, supposons queNsoit un ideal. Celui-ci est alors maximal, puisqueNest contenu dans un ideal maximal mais ne saurait contenir d'inversible. Enn tout autre ideal deA, s'il n'est pas contenu dansNpossede un inversible et donc estA. L'idealNest ainsi l'unique ideal maximal deA. Une maniere de construire des anneaux locaux consiste a localiser un anneau Apar une de ses parties multiplicativesSbien choisie. Nous donnons ici cette construction.

3.14.Definition.SoitAun anneau commutatif.

1. Une partie SdeAest dite unepartie multiplicative deAsi

12Set8a;b2S; ab2S:

2. On d enitle localise2deApar une partie multiplicativeSdeA, ou

l'anneau quotient deAparS, ou encorel'anneau des fractions deApar2. Ici le vocabulaire est trompeur puisque lelocalise deApar une de ses parties multiplicatives

Sn'est pas necessairement un anneau local, comme le montre la Remarque5 de 3.15 ci-dessous.

8 1. INTRODUCTION

S, et on noteASouS1A, l'anneau deni comme le quotient deASpar la relation d'equivalence (a;s)(a0;s0)() 9t2S; t(as0a0s) = 0: On notea=sla classe de (a;s) et on verie queASest bien un anneau pour les lois a=r+b=s= (as+br)=(rs) et (a=r)(b=s) = (ab)=(rs). Le neutre de cet anneau etant 0=1 et l'unite 1=1. Notons que dans le cas particulier ouAest integre, la relation d'equivalence devient ci-dessus devient (a;s)(a0;s0)()as0=a0s: Ceci est clair si 062Set dans le cas ou 02S, on a :

3.15.Remarque.1.Si 0 2S,S1Aest l'anneau nul, puisque tous les elements

deASsont equivalents a (0;0). 2. Dans le cas o uAest integre, on dispose d'un morphisme injectifi:A!Asdeni pari(a) =a=1. Dans le cas ouAn'est pas integre,iest seulement un morphisme d'anneau. 3. Si Aest integre,S=Anf0gest une partie multiplicative deAetASs'appelle le corps des fractions deA. Il s'agit du plus petit anneau dans lequelAs'injecte et contenant les inverses des images par cette injection des elements non nuls deA. Toujours pourAintegre et pourSgeneral,ASest un sous-anneau du corps des fractions deA, le plus petit contenant les inverses des elements deS. Dans le cas ouAn'est pas integre, on ne peut pas voirAScomme un sous-anneau du corps de fractions deA, ce corps n'etant pas deni. Cependant, dans l'anneauAS, les elements deSsont des inversibles. 4.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29