[PDF] Corrigé de lexamen partiel Mars 2008

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Universit

Exercice 1.

considµere le sous-ensemble suivant deG:

NH:=fn:h;n2N;h2Hg:

(1)

Monter queNHest un sous-groupe deG.

CommeNetHsont des sous-groupes deG, le neutre1deGappartient µaNet µaH. D'oµu

1:1 = 12NH.

n

1:h1:n2:h2=n1:h1:n2:h¡11|

{z 2N:h 1:h2| {z

2H2NH;

En¯n, pourn:h2NHavecn2Neth2H, on a

{z 2N: h

¡1|{z}

2H2NH;

DoncNHest un sous-groupe deG.

(2) deNH. N½HNetNest un sous-groupe deNH. (On procµede de m^eme pourH). CommeNest pour toutx2NHpuis que cela est vrai pour toutx2G). (3) (=SupposonsN\H=f1get soientn1:h1=n2:h2, avecn1;n22Neth1;h22H. En multipliant a gauche parn¡11et µa droite parh¡12, on trouveh1:h¡12=n¡11:n22N\H. Donc h

1:h¡12=n¡11:n2= 1, ce qui donnen1=n2eth1=h2.

Jusqu'µa la ¯n de l'exercice, on se place dans le cas oµuN\H=f1g. 1 (4)

Construire un isomorphismeNH=N»¡!H.

Indication

: On pourra commencer par construire un morphisme de la formeNH!H. images possibles pour'!). Cette application est un morphisme de groupes: en un morphisme injectif¹': NH $$$$HHHHHHHHHH NH=N

¹';;xxxxxxxxx

est un isomorphisme. (5) On suppose que la restriction µaHde la projection canonique¼:G³G=Nest un

Montrer queNH=G.

des classes µa droite moduloN. Or les classes µa droite forment une partition deGdoncx appartient µa une de ces classes, disonsNhavech2H. Ceci implique quex2NH. (6) permutations paires:An:=f¾2Sn; sgn(¾) = 1g.

Donner un sous-groupeHdeSntel queSn=AnH.

Exercice 2.

On considµere les deux matrices suivantes deGL2(R):

®:=á1 0

0 1!

¯:=Ã0 1

1 0! (1)

Donner l'ordre de®de¯et de®¯.

L'ordre de®et de¯est2. L'ordre de®¯est4. 2 (2) cardinal ¯ni, que pouvez-vous dire sur ce cardinal? B de4. (3) Donner une relation entre®¯®¯et¯®¯®.

On a®¯®¯=¯®¯®.

(4) sous la forme de mots en®et¯.

On va montrer queB2=G, oµu

G, DoncG½B2.

Il reste µa montrer queGest un groupe. CommeGest un sous-ensemble du groupeGL2(R), il su±t de montrer queGen est un sous-groupe:

Le neutreIappartient µaG.

alternµees, de longueur·4. On peut remarquer que dans le produitxysoit deux m^emes lettres

se suivent et donc se simpli¯ent (®2=¯2=I) soit on peut changer le mot®¯®¯en¯®¯®

moins de4lettres.

L'ensembleGest stable par l'inverse. L'inverse de®,¯,®¯®,¯®¯,®¯®¯=¯®¯®est

(5)

Donner la liste des sous-groupes deB2.

Les sous-groupes deB2sont:

(6) H

8:=fI;¡I;A;¡A;B;¡B;C;¡Cg;

3 avec pour relations 8>>< >:AB=C; A2=¡I; AB=¡BA;

BC=A; B2=¡I; BC=¡CB;

CA=B; C2=¡I; CA=¡AC:

Est-ce-queB2est isomorphe µaH8?

(7) (8)

Le quotientB2=Ncontient deux classes moduloN:N=fI;®¯;¯®;®¯®¯getf®;¯;®¯®;¯®¯g.

deB2. Donc le quotientB2=Nest isomorphe µaH. (9)

Est-ce-queB2est isomorphe µaZ=4Z£Z=2Z?

ne peuvent pas ^etre isomorphes. On considµere l'action naturelle deB2sur les vecteurs du planR2: pourM2R2et dans la base canonique. (10) de points?

Indication

SoitM= (x;y)un point du plan.

(§x;§y) (§y;§x) qui sont au nombre de8est qui forment les sommets d'un octogone. (§x;§x) 4quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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