Applications linéaires matrices
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f(P) = P+(1?X)P Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f Indication ? Correction
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Une application linéaire est une application d'un espace vectoriel dans un autre Algèbre 1ère année - Cours et exercices avec solutions
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Donner une base de son noyau et une base de son image Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6 Soit ???? l'application linéaire ????: ?3 ? ?3 définie par
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Exercice 1 ( ) Justifier que f est un automorphisme de R2 puis déterminer f?1 Exercice 2 ( ) Montrer que u est une application linéaire
Comment résoudre une application linéaire ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) + ?f(v) pour tous u, v ? E,? ? K. Propriétés. Si f:E ? F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(?1u1 + ··· + ?nun) = ?1f(u1) + ··· + ?nf(un).Comment calculer IMF et Ker f ?
Il résulte de la formule de dimension : 3 = dimE = dim Imf + dim kerf = dim Imf + 1 . Ainsi, l'image de f est un espace vectoriel de dimension 2. D'apr`es le cours, puisque (e1,e2,e3) engendrent E, Imf est engendré par f(e1),f(e2),f(e3). Déterminons une base de Imf eche- lonnée dans la base (e1,e2,e3).Comment calculer le ker de F ?
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 .Soit une application linéaire du vectoriel dans le vectoriel ,
1l'application est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace .2l'application est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul. f surjective ? I m ( f ) = F. f injective ? K e r ( f ) = { 0 E }
Applications linéaires
1 Définition
Exercice 1Déterminer si les applicationsfisuivantes sont linéaires : f1:R2!R2f1(x;y) = (2x+y;xy)
f2:R3!R3f2(x;y;z) = (xy;x;y)
f3:R3!R3f3(x;y;z) = (2x+y+z;yz;x+y)
f4:R2!R4f4(x;y) = (y;0;x7y;x+y)
f5:R3[X]!R3f5(P) =P(1);P(0);P(1)
SoitEun espace vectoriel de dimensionnetfune application linéaire deEdans lui-même telle quefn=0 et
f n16=0. Soitx2Etel quefn1(x)6=0. Montrer que la famillefx;f(x);f2(x);:::;fn1(x)gest une base de E.Exercice 3SoitEun espace vectoriel et soientE1etE2deux sous-espaces vectoriels de dimension finie deE, on définit
l"applicationf:E1E2!Eparf(x1;x2) =x1+x2. 1.Montrer que fest linéaire.
2.Déterminer le no yauet l"image de f.
3.Que donne le théorème du rang ?
SoitEun espace vectoriel de dimensionnetfune application linéaire deEdans lui-même. Montrer que les
deux assertions qui suivent sont équivalentes : (i)K erf=Imf
(ii)f2=0 etn=2rg(f) Soientfetgdeux endomorphismes deEtels quefg=gf. Montrer que Kerfet Imfsont stables parg. 1SoitEetFde dimensions finies etu;v2L(E;F).
1.Montrer que r g(u+v)6rg(u)+rg(v).
2.En déduire que
jrg(u)rg(v)j6rg(u+v).Exercice 7Pour les applications linéaires suivantes, déterminer Kerfiet Imfi. En déduire sifiest injective, surjective,
bijective. f1:R2!R2f1(x;y) = (2x+y;xy)
f2:R3!R3f2(x;y;z) = (2x+y+z;yz;x+y)
f3:R2!R4f3(x;y) = (y;0;x7y;x+y)
f4:R3[X]!R3f4(P) =P(1);P(0);P(1)
SoitEun espace vectoriel de dimension 3,fe1;e2;e3gune base deE, ettun paramètre réel.Démontrer que la donnée de8
:f(e1) =e1+e2 f(e2) =e1e2 f(e3) =e1+te3définit une application linéairefdeEdansE. Écrire le transformé du vecteurx=a1e1+a2e2+a3e3. Comment choisirtpour quefsoit injective ? surjective ?SoitEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie etfune application linéaire deEdansF. Montrer que
fest un isomorphisme si et seulement si l"image parfde toute base deEest une base deF.Exercice 10SoitEl"espace vectoriel des fonctions deRdansR. SoientPle sous-espace des fonctions paires etIle sous-
espace des fonctions impaires. Montrer queE=PLI. Donner l"expression du projecteur surPde direction I.SoitE=Rn[X]et soientAetBdeux polynômes à coefficients réels de degrén+1. On considère l"application
fqui à tout polynômePdeE, associe le reste de la division euclidienne deAPparB. 1.Montrer que fest un endomorphisme deE.
22.Montrer l"équi valence
fest bijective()AetBsont premiers entre eux: SoitE=Rn[X]l"espace vectoriel des polynômes de degré6n, etf:E!Edéfinie par: f(P) =P+(1X)P0: Montrer quefest une application linéaire et donner une base de Imfet de Kerf: Indication pourl"exer cice1 NUne seule application n"est pas linéaire.Indication pour
l"exer cice2 NPrendre une combinaison linéaire nulle et l"évaluer parfn1.Indication pourl"exer cice3 NFaire un dessin de l"image et du noyau pourf:RR!R. Montrer que le noyau est isomorphe àE1\E2.Indication pourl"exer cice4 NPour chacune des implications utiliser la formule du rang.
Indication pour
l"exer cice5 NDire qu"un sous-espaceFest stable pargsignifie queg(F)F.Indication pourl"exer cice8 Nt=0 est un cas à part.Indication pourl"exer cice9 NPour une baseB=fe1;:::;engdeEconsidérer la familleff(e1);:::;f(en)g.Indication pourl"exer cice10 NPour une fonctionfon peut écrire
f(x) =f(x)+f(x)2 +f(x)f(x)2Le projecteur surPde directionIest l"applicationp:E!Equi vérifiep(f)2P,pp=pet Kerp=I.Indication pourl"exer cice11 NRésultats utiles d"arithmétique des polynômes : la division euclidienne, le théorème de Bézout, le lemme de
Gauss.Indication pourl"exer cice12 NP
0désigne la dérivée deP. Pour trouver le noyau, résoudre une équation différentielle. Pour l"image calculer
lesf(Xk).4 Correction del"exer cice1 N1.f1est linéaire. Pour(x;y)2R2et(x0;y0)2R2: f1(x;y)+(x0;y0)=f1x+x0;y+y0
2(x+x0)+(y+y0);(x+x0)(y+y0)
2x+y+2x0+y0;xy+x0y0
2x+y;xy+2x0+y0;x0y0
=f1(x;y)+f1(x0;y0)Pour(x;y)2R2etl2R:
f2.f2n"est pas linéaire, en effet par exemplef2(1;1;0)+f2(1;1;0)n"est pas égal àf2(2;2;0).
3.f3est linéaire : il faut vérifier d"abord que pour tout(x;y;z)et(x0;y0;z0)alorsf3(x;y;z)+(x0;y0;z0)=
f3(x;y;z)+f3(x0;y0;z0). Et ensuite que pour tout(x;y;z)etlon af3l(x;y;z)=lf3(x;y;z).
4.f4est linéaire : il faut vérifier d"abord que pour tout(x;y)et(x0;y0)alorsf4(x;y)+(x0;y0)=f4(x;y)+
f4(x0;y0). Et ensuite que pour tout(x;y)etlon af4l(x;y)=lf4(x;y).
5.f5est linéaire : soientP;P02R3[X]alors
f5P+P0=(P+P0)(1);(P+P0)(0);(P+P0)(1)
P(1)+P0(1);P(0)+P0(0);P(1)+P0(1)
P(1);P(0);P(1)+P0(1);P0(0);P0(1)
=f5(P)+f5(P0)Et siP2R3[X]etl2R:
f5lP=(lP)(1);(lP)(0);(lP)(1)
lP(1);lP(0);lP(1) =lP(1);P(0);P(1)=lf5(P)Correction del"exer cice2 NMontrons que la famillefx;f(x);f2(x);:::;fn1(x)gest libre. Soientl0;:::;ln12Rtels quel0x+l1f(x)+
+ln1fn1(x)=0. Alors :fn1l0x+l1f(x)++ln1fn1(x)=0. Mais comme de plusfn=0, on a l"égalitéfn1l0x+l1f(x)++ln1fn1(x)=fn1(l0x)+fnl1x++ln1fn2(x)=fn1(l0x) = l0fn1(x). Commefn1(x)6=0 on obtientl0=0.
En calculant ensuitefn2l1f(x)++ln1fn1(x)on obtientl1=0 puis, de proche en proche,l2=2,..., l n1=0. La famillefx;f(x);:::;fn1(x)gest donc libre. En plus elle comptenvecteurs, comme dimE=nelle est libre et maximale et forme donc une base deE.Correction del"exer cice3 N1.Aucun problème...
52.P ardéfinition de fet de ce qu"est la somme de deux sous-espaces vectoriels, l"image est
Pour le noyau :
Kerf=f(x1;x2)jf(x1;x2) =0g=f(x1;x2)jx1+x2=0g
Mais on peut aller un peu plus loin. En effet un élément(x1;x2)2Kerf, vérifiex12E1,x22E2et x1=x2. Doncx12E2. Doncx12E1\E2. Réciproquement six2E1\E2, alors(x;x)2Kerf. Donc
Kerf=f(x;x)jx2E1\E2g:
De plus l"applicationx7!(x;x)montre que Kerfest isomorphe àE1\E2. 3.Le théorème du rang s"écrit :
dimKerf+dimImf=dim(E1E2): Compte tenu de l"isomorphisme entre KerfetE1\E2on obtient : dim(E1\E2)+dim(E1+E2) =dim(E1E2): Mais dim(E1E2) =dimE1+dimE2, donc on retrouve ce que l"on appelle le théorème des quatre dimensions :dim(E1+E2) =dimE1+dimE2dim(E1\E2):Correction del"exer cice4 N(i))(ii)Supposons K erf=Imf. Soitx2E, alorsf(x)2Imfdoncf(x)2Kerf, cela entraînef(f(x)) =0 ;
doncf2=0. De plus d"après la formule du rang dimKerf+rg(f)=n, mais dimKerf=dimImf=rgf, ainsi 2rg(f) =n. (ii))(i)Si f2=0 alors ImfKerfcar poury2Imfil existextel quey=f(x)etf(y) =f2(x) =0. De plus si 2rg(f) =nalors la formule du rang donne dimKerf=rg(f)c"est-à-dire dimKerf=dimImf. Noussavons donc que Imfest inclus dans Kerfmais ces espaces sont de même dimension donc sont égaux :
Kerf=Imf.Correction del"exer cice5 NOn va montrerg(Kerf)Kerf. Soity2g(Kerf). Il existex2Kerftel quey=g(x). Montronsy2Kerf:
f(y) =f(g(x)) =fg(x) =gf(x) =g(0) =0: On fait un raisonnement similaire pour montrerg(Imf)Imf. Soitz2g(Imf), il existey2Imftel que z=g(y). Il existe alorsx2Etel quey=f(x). Doncz=g(y) =g(f(x)) =gf(x) =fg(x) =f(g(x))2Imf:Correction del"exer cice6 N1.P arla formule dim (G+H) =dim(G)+dim(H)dim(G\H), on sait que dim(G+H)6dim(G)+
dim(H). PourG=ImuetH=Imvon obtient : dim(Imu+Imv)6dimImu+dimImv. Or Im(u+v)Imu+Imv. Donc rg(u+v)6rg(u)+rg(v).
62.On applique la formule précédente à u+vetv: rg((u+v)+(v))6rg(u+v)+rg(v), or rg(v) =
rg(v)donc rg(u)6rg(u+v)+rg(v). Donc rg(u)rg(v)6rg(u+v). On recommence en échangeantuetvpour obtenir :jrg(u)rg(v)j6rg(u+v).Correction del"exer cice7 NCalculer le noyau revient à résoudre un système linéaire, et calculer l"image aussi. On peut donc tout faire "à
la main".Mais on peut aussi appliquer un peu de théorie ! Noyau et image sont liés par la formule du rang : dimKerf+
dimImf=dimEpourf:E!F. Donc si on a trouvé le noyau alors on connaît la dimension de l"image. Et il
suffit alors de trouver autant de vecteur de l"image.1.f1est injective, surjective (et donc bijective).
(a)F aisonstout à la main. Calculons le no yau:
(x;y)2Kerf1()f1(x;y) = (0;0)()(2x+y;xy) = (0;0)2x+y=0
xy=0()(x;y) = (0;0)Ainsi Kerf1=f(0;0)get doncf1est injective.
(b) Calculons l"image. Quels éléments (X;Y)peuvent s"écriref1(x;y)? f1(x;y) = (X;Y)()(2x+y;xy) = (X;Y)
2x+y=X
xy=Y()( x=X+Y3 y=X2Y3 ()(x;y) =X+Y3 ;X2Y3 Donc pour n"importe quel(X;Y)2R2on trouve un antécédent(x;y) = (X+Y3 ;X2Y3 )qui vérifie doncf1(x;y) = (X;Y). Donc Imf1=R2. Ainsif1est surjective. (c) Conclusion : f1est injective et surjective donc bijective. 2. (a)Calculons d"abord le no yau:
(x;y;z)2Kerf2()f2(x;y;z) = (0;0;0) ()(2x+y+z;yz;x+y) = (0;0;0) ()8 :2x+y+z=0 yz=0 x+y=0 x=z y=z ()0 @x y z1 A =0 @z z z1 A 0 @x y z1 A2Vect0
@1 1 11 A =8 l0 @1 1 11 A jl2R9 Ainsi Kerf2=Vect(1;1;1)et doncf2n"est pas injective. 7 (b)Maintenant nous allons utiliser que K erf2=Vect(1;1;1), autrement dit dimKerf2=1. La formuledurang, appliquéeàf2:R3!R3s"écritdimKerf2+dimImf2=dimR3. DoncdimImf2=2. Nous allons trouver une base de Imf2. Il suffit donc de trouver deux vecteurs linéairement
indépendants. Prenonsparexemplev1=f2(1;0;0)=(2;0;1)2Imf2etv2=f2(0;1;0)=(1;1;1)2Imf2. Par construction ces vecteurs sont dans l"image def2et il est clair qu"ils sont linéairement
indépendants. Doncfv1;v2gest une base de Imf2.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] les matrices cours et exercices pdf
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