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Algèbre linéaire 2 : dimension finie

ECE 2 Lycée international de Valbonne3 novembre 2019

Table des matières

I Dimension finie2

II Matrice d"une application linéaire3

II.1 Matrices colonnes des coordonnées

4

II.2 Matrice d"une application linéaire

5

II.2.a Définition

5

II.2.b Liens entre les opérations sur les matrices et les opérations sur les applications linéaires

8

II.3 Changement de base

10

II.3.a Pour un vecteur

10

II.3.b Propriétés

11

II.3.c Pour une application linéaire

13

II.4 Polynômes annulateurs

15

III Rang15

III.1 Rang d"une famille de vecteurs

15 III.2 Rang d"une application linéaire, d"une matrice 16

III.3 Le théorème du rang

16 1

I Dimension finie

Proposition 1(Cardinal d"une base).

SoitEun espace vectoriel, on suppose que(e1;e2; :::;en)est une base et que(f1;f2; :::;fp)est une autre base alors

p=n. C"est à dire toutes les bases d"un même espace vectoriel ont le même nombre de vecteurs

Attention :Cela ne veut pas dire qu"il existe une seule base, juste que toutes les bases ont le même nombre de4

!vecteurs

Définition 1(Dimension).

SoitEun espace vectoriel. Si il existe une base(e1;e2; :::;en)on dit alors queEestde dimension finieet on dit que la

dimensiondeEestn, on note alors

DimE=n

Remarque :SiE=f0galors on dit que DimE= 0, et une base deEestla famille vide .2 Proposition 2(Dimension des espaces vectoriels classiques). 2 1.

Dim Rn=n

2.

Dim Rn[X] =n+ 1

3.

Dim Mn;p(R) =np

Démonstration :

Il suffit de compter le nombre de vecteurs constituant les bases canoniques o

Proposition 3(Sous espace-vectoriel).

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFun sous espace vectoriel deEalors2

1.Fest de dimension finie et DimF6DimE

2

2.Si de plus Dim F=DimEalorsE=F.

2 Proposition 4(Taille d"une famille génératrice). SoitEun espace vectorieldont on connait la dimensionn. Soit(e1;e1;:::;ep)une famille génératrice deE. 1.

Alors n6p

2. Si de plus p=nalors cette famille est unebase de E

Exemple :

Proposition 5(Taille d"une famille libre).

SoitEun espace vectorieldont on connait la dimensionn.2

Soit(e1;e1;:::;eq)une famille libre deE.

1.

Alors q6n

2. Si de plus q=nalors cette famille est une base deE

Exemple :

II Matrice d"une application linéaire

Remarque préliminaire : produit d"une matrice par une colonneSoitA=0 B

B@a b c d

a

0b0c0d0

a

00b00c00d001

C

CAetX=0

B

BBBB@x

y z t1 C CCCCA alors on constate que x 0 B B@a a 0 a 001 C CA+y0 B B@b b 0 b 001 C CA+z0 B B@c c 0 c 001 C CA+t0 B B@d d 0 d 001 C CA=AX 3

Exercice 1.

Trouver une matriceAtelle que pour toutx,yetzréels A 0 B B@x y z1 C CA=x0 B B@1 2 31
C CA+x0 B B@1 2 11 C CA+z0 B B@1 0 41
C CA

II.1 Matrices colonnes des coordonnées

Si on connait une base(e1;:::;en)deE, alors tout vecteur est entièrement connu si on connait sesncoordon-

nées(x1;:::;xn). Plutôt que de présenter les coordonnées sous forme d"une liste, on va voir qu"il est plus pratique

de les manipuler sous la forme d"une matrice colonne, c"est ce que l"on nomme ... Définition 2(Matrice colonne des coordonnées dans une base).

SoitB= (e1;e2; :::;en)une base deE. Pour tout vecteurx2Ede coordonnées(x1;x2; :::;xn)dans la baseBla

matrice colonne des coordonnées dev, notéeXBest X B=0 B

BBBB@x

1 x 2... x n1 C

CCCCA:

Exemple :

SoitR3munit de la base canonique etx= (1;2;3)alors la matrice des coordonnées dexdans la base est 0 B B@1 2 31
C CA 4 SoitE=R3[X]etBsa base canonique etP= 2X+X3, alors la matrice des coordonnées est 0 B

BBBB@2

1 0 11 C CCCCA SoitE=M2(R)munit de la base canoniqueE1;1,E1;2,E2;1,E2;2aors la matrice0 a b c d1 A alors sa représenta- tion est 0 B

BBBB@a

b c d1 C CCCCA

II.2 Matrice d"une application linéaire

II.2.a Définition

SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie,f:E!Fune application linéaire,B= (e1;:::;ep) une base deEetB0= (f1;:::;fn)une base deF. Pour tout vecteurv=x1e1++xpep(lesxisont les coordonnées devdans la baseB), on a :2 f(v) =f(x1e1++xpep) =x1f(e1) ++xpf(ep) =y1f1++ynfn où lesyisont les coordonnées def(v)dans la baseB0. Si on écrit les coordonnées des vecteurs en colonnes, cette égalité s"écrit :2 f(e1)f(ep)0 B

BBBB@y

1... y n1 C

CCCCAf

1... f n=x10 B

BBBB@a

1;1...

a n;11 C

CCCCA++xp0

B

BBBB@a

1;p...

a n;p1 C

CCCCAf

1... f n Donc2 5 0 B

BBBBB@y

1... y n1 C

CCCCCA=0

B

BBBBB@a

1;1a1;p......

a

1;nan;p1

C

CCCCCA0

B

BBBBB@x

1... x p1 C

CCCCCA:

Les coordonnées des vecteursf(ei)suffisent donc à calculer l"imagef(v)de tout vecteursvdont on connaît les

coordonnées dans la baseB:Proposition 6(Écriture matricielle d"une application linéaire). SoientE,Fdeux espaces vectoriels de dimension finie,B= (e1;;ep)une base deE,B0= (f1;;fn)une base deFetf:E!Fune application linéaire.

Si on note

XBla matrice colonne des coordonnées du vecteurvdans la baseB YB0la matrice colonne des coordonnées de l"imagef(v)dans la baseB0, alors on a la relation : f(e1):::f(ep)0 B

BBBB@y

1... y n1 C

CCCCA=0

B B@1 C CAf 1... f n0 B B@x 1... x p1 C CA |{z} |{z} |{z} Y=A X

où la matrice ànlignes etpcolonnesA= (A1;;Ap)est la matrice où les colonnesAjsont les coordonnées dans

la baseB0des vecteursf(ej)). La matriceAs"appelle lamatrice de l"application linéairefde la baseBvers la baseB0, on la note A=MatB0;B(f):Ce que l"on peut représenter de la manière suivante 6 EF xy=f(x)X=0 B B@x 1... x p1 C

CAY=AX=0

B B@y 1... y n1 C CAM p;1(R)M n;1(R)f calcul direct calcul des coordon- nées de x dans la base B x=x1e1++xpepcalcul deyà l"aide des coordonnées dans la baseC y=y1f1++ynfnmultiplication par A

X7!AXRemarque :

SiB=B0, on note MatB(f)au lieu de MatB;B(f)et on dit matrice defdans la baseB.

Attention :Cette notation apparaît dans le programme contrairement à MatB0;B(f), aucune notation n"est donnée4

!pour le cas général. Dans les problèmes, on introduit dans la majorité des cas la matrice avec une phrase et la

notation n"est pas utilisée.

Exercice 2.

Soit id

E:E!El"application identité etBune base deEmontrer que MatB(idE) =IoùIdésigne la matrice identité. c Attention :il faut que la base de départ et la base d"arrivée soient les mêmes!4 !Exercice 3. Calculer les matrices des applications linéaires suivantes 1. Soit f:R3!R2définie parf(x;y;z) = (2xy+z;xz). On prend pourBla base canonique deR3et pour

Cla base canonique deR2.

7

2. :R3[X]!R2[X]l"application dérivée.

On prend pourBla base canonique deR3[X]et pourCla base canonique deR2[X].

II.2.b Liens entre les opérations sur les matrices et les opérations sur les applications linéaires

Proposition 7(Somme de matrice et applications linéaires). Soitf;g:E!Fdeux applications linéairesBune base deEetCune base deF. On noteA=MatB;C(f)etB=MatB;C(g)leurs matrices associés et2Ralors :2

A+B=MatC;B(f+g).

:A=MatC;B(f).

Attention :Il faut prendre la même base de départ et la même base d"arrivée pour représenterfetg.4

!Exercice 4.

Soitfl"application linéaire définie parf(x;y) = (x+y;xy), écrire la matrice def+idR2et2fdans la base

cannonique.

Théorème 1(Isomorphisme).

SoitBune base deEespace vectoriel de dimensionpetCune base deFde dimensionnLes deux bases sontfixées.. alors

l"application qui àf2 L(E;F)associe MatC;B(f)est un isomorphisme d"espace vectoriels entreL(E;F)etMn;p(R)

Proposition 8(Composition d"applications linéaires). Soientf:E!F,g:F!Gdes applications linéaires entres les espaces vectorielsE,FetG.

Alorsgfest uneapplication linéair e.2

Théorème 2(Composition et produit de matrices).

Soientf:E!F,g:F!Gdes applications linéaires etB,CetDdes bases respectives des espaces vectoriels de

dimension finieE,FetG.

SiA=MatC;B(f)etB=MatD;C(g)alors

Mat

D;C(g)MatC;B(f) =MatD;B(gf):

8 Attention :Il faut bien faire attention aux bases utilisées pour écrire les matrices.4 !Proposition 9.

Soitfun isomorphisme deEversFoùEest un espace vectoriel de dimension finie, alorsFest aussi de dimension finie et

DimF=DimE.

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