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ALGéBRE

GOMTRIE

FranoisCOMBES

ProfesseurdeMathmatiqueslÕUniversit dÕOrlans

AVANTPROPOS

enLicencede Mathmatiques.Lecontenu decetensei gnementdcoulaitlui-mme des exigencesdespr ogrammesdesConcours duCAPESetdelÕAgrgationde Mathma- tiqueauxquelsla grandemajoritdes tudiantsdece cursussedestinaient. quenousavons mentionns,incluantde nombreuxexemples etexercices dÕapplica- tion.Ilintr oduitlesnotions algbriquesdegroupe(partieI) etdÕanneau(p artieIII).Il lesutilisedÕune partdans lecadre delagomtrie afÞneet delagomtrie euclidienne (partieII),et dÕautrepart enthoriedes nombres(partieIV),chapitres importants dans laformationdes futursenseignants. Lesfondementsde lagomtrie afÞnene sontplusenseigns danslesPremiers CyclesUniversitaires oilafallufaire placede nouvellesdisciplines.CÕest dansle degr oupeestpartoutsous-jacenteengomtrie. Elleytr ouvedÕinnombrablesillustra- tionsetapplications. DepuisF.Klein etH.Poincar, lesgomtries,euclidiennes ou Engomtrieplane euclidienne,apparaissent diversgroupes classiques:gr oupedes homothtiesettranslations, groupedes isomtries,groupe desdplacements,groupe dessimilitudes,...dont lastructur edoittr econnue. Parailleurs, lancessitdedcouperles cursusenUnits dÕenseignementspa- res,cre artiÞciellementunedivisiondesmathmatiquesen disciplinesquelÕon a tendanceconsidr ercommedes domainesdisjoints.Or,danslaralit, ethistorique- exemple,cÕestle dveloppementde lÕanalysequia provoqula naissancedela gom- trieanalytique au17 e e e briqueau20 e chaquediscipline apportantsesoutilslÕautre :preuve gomtriquede lÕexistence desolutionspour desquationsdiophantiennes enarithmtique,dmonstration al- etaucompas (quadrature ducercle, contructiondespolygonesrguliers,...), etc. vrage,nousavons volontairementlimit lecontenuaux notionsÞgurantexplicitement dansles programmesdesConcoursder ecrutementdesenseignantsduSecond Degr: groupescycliquesetabliens,gr oupesymtrique,gr oupesdetransformations gom- triquesclassiques,anneau despolynmes,applications classiqueslÕarithmtique, lathorie desnombres... Lespartiesde celivre quinesont pasexplicitementau programmeduCAPESde Mathmatique,etqui concernentpluttl aprparation lÕAgrgation,apparaissent factoriels. C.POP, J.F.HA VET,J. P.SCHREIBERqui mÕontaccord beaucoupdetemps

pourmÕaider surmonterles difÞcultspratiques lieslÕutilisationdeslogiciels, et

quimÕontfait lecadeaule plusprcieuxpour unmathmaticien: desexemplesint- ressants,desremarques originales,quiont enrichicetouvrage. Jeremer ciegalementlesEditionsBREAL,quiontaccept depublierce livre,et VERSIONNUMRIQUERE VUEETCORRIGEJ.F.H AVETMAI2015

IGROUPES9

1Lacatgorie desgroupes11

1.1FactorisationdÕune application. ... ... ... ... .. ... ... ... 11

1.2Loide compositioninternesur unensemble. ... ... .. ... ... ..13

1.3Notionde groupe. ... ...... ... ... .. ... ... ... ... ..15

1.4Homomorphismesde groupes. ... ...... ... .. ... ... ... 16

1.5Sous-groupes ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..18

1.6Noyauet imagedÕunhomomorphisme ... ... ... .. ... ... ..20

1.8Groupe quotient..... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..23

1.9Factorisationdes homomorphismes.. ... ... ... .. ... ... ..24

1.10Pr oduitdirectdegroupes ...... ... ...... .. ... ... ... .25

1.11Caractrisationdu produit direct. ...... ...... ... ... .. ..26

1.12Procd desymtrisation.... ... ... ... .. ... ... ... ... .27

1.13Sous-groupes deZetdeR...........................28

1.14Sous-groupe engendrparunlment. ... ... ... ... ... .. ..30

1.15Exercices duchapitre1. ... ...... ... ... .. ... ... ... ..31

2Actionsde groupes39

2.1Groupe agissantsurunensemble.. ... ... .. ... ... ... ... .39

2.2Orbite,stabilisateur dÕunpoint. .. ... ... ... ... ... .. ... .41

2.3ActiondÕun groupeÞni surunensemble Þni..... ... .. ... ... 43

2.6Produits semi-directs... ...... ... ... ... .. ... ... ... .47

2.7Caractrisationdes produits semi-directs. ...... ...... ... .. 48

2.8Exercices duchapitre2.. ... ..... ... ... ... ... ... ... .50

3Groupesabliens Þnis59

3.1Groupes cycliques,gnrateurs.... ... .. ... ... ... ... ... 59

3.2Homomorphismesentr egroupes cycliques..... ..... ... ... .60

3.3Sous-groupes dÕungroupecyclique.. ... ...... .. ... ... ... 62

3.4Produit dedeuxgroupescycliques. ... ... ...... .. ... ... .63

3.5Groupes dÕordrepremier. ......... ..... ... ... ... ... .64

3.6Dcomposition cycliquedÕungr oupeablienÞni ... ...... .. ... 65

3.7Groupes rsolubles..... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 69

3.8Exercices duchapitre3.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .71

4Legroupe symtrique79

4.1DcompositiondÕune permutationencycles ... .. ... ... ... ..79

4.2Cycles conjugus.. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .80

4.3Gnrateursdu groupe symtrique.. ...... ... ... .. ... ... 81

4.4Signature dÕunepermutation.... ... ... ... .. ... ... ... .81

4.5Nonrsolubilit dugroupe despermutations. ... ...... .. ... .83

4.6Exer cicesduchapitre4. ... ...... ... ... .. ... ... ... ..84

5Sous-groupesde Sylow91

5.2Structur edequelquesgroupesÞnis... ... ... ..... ... ... ..94

5.3Groupes dÕordre8.. ......... .. ... ... ... ... ... ... .96

5.4Exercices duchapitre5.. ... ..... ... ... ... ... ... ... .97

IIGEOMETRIE103

6Gomtrieaf Þne105

6.1Espaceaf Þneassoci unespacevectoriel.. ... ... ... ... .. ..105

6.3Applicationsaf Þnes. ...... ... ... ... ... ... .. ... ... .109

6.4ExistencedÕapplications afÞnes ... ...... ... ... ... .. ... .111

6.5Isomorphismesaf Þnes.. ...... ... ... .. ... ... ... ... .112

6.6Sous-espacesaf Þnes. ...... ... ... ... ... ... .. ... ... .114

6.7Sous-espacesaf Þnesendimension Þnie..... ... .. ... ... ... 115

6.8Sous-espacesaf Þnesetapplications afÞnes.... ... .. ...... ..117

6.9Gr oupeafÞne... ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..118

6.10Groupe deshomothtiesettranslations.. ... ... ... .. ... ... 120

6.11OrientationdÕun espaceafÞne rel.. ... ..... ... ... ... ... 121

6.12Exercices duchapitre6.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .123

7Barycentresen gomtrieafÞne 133

7.1Barycentres ..... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..133

7.2Applicationsaf Þnesetbarycentr es..... ... ..... ... ... ... 135

7.3Sous-espacesaf Þnesetbarycentr es..... ... ..... ... ... ... 136

7.5Espaceaf ÞnehyperplandÕun espacevectoriel.... ... ... .. ... .139

7.6Parties convexesdÕunespace afÞnerel ... ... ..... ... ... ..141

7.7Enveloppeconvexe dÕunepartie. ... ... ... .. ... ... ... ..143

7.8Pointsextrmaux dÕunepartieconvexe ... ... ... .. ... ... ..143

7.11Exercices duchapitre7.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .148

8Gomtrieaf Þneeuclidienne153

8.1Espacesaf Þneseuclidiens ...... ... ... ... ... .. ... ... .153

8.2Rappelssur legroupe orthogonal.. ... ...... .. ... ... ... .154

8.3Isomtriesaf Þnes.. ...... ... ... .. ... ... ... ... ... .156

8.4Symtriesorthogonales ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 157

8.5Symtriesglisses ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .159

8.6Isomtriespr oduitsdesymtries hyperplanes..... ... .. ... ..160

8.7Groupe desisomtriesdeE

n .........................162

8.8Dcompositioncanonique dÕuneisomtrie. ... ... .. ... ... ..163

8.9ClassiÞcationdes isomtriesdu plan.. ... ... ... ... ... .. ..164

8.10ClassiÞcationdes isomtriesde lÕespace.. ... ... ... .. ... ... 166

8.11Groupe dessimilitudes... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 170

8.12Sous-groupes Þnisdugroupedes dplacements.. ... ...... ... 171

8.13Exercices duchapitre8.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .174

IIIANNEAUX187

9Gnralitssur lesanneaux189

9.1Les objetsdecette catgoriemathmatique. ... ... ... .. ... ..189

9.2Les morphismesdanscette catgoriemathmatique. ... ... ... .. 192

9.3Lessous-anneaux ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 194

9.4Sous-anneau engendrparune partienonvide ... ... ... .. ... .195

9.5IdauxdÕun anneau.. .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .195

9.6Intersectionet sommedÕidaux ... ... ... ... ... ... .. ... .196

9.8Idauxmaximaux ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 199

9.9Corps ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .200

9.11Quotientpar unidalmaximal ... ... ... .. ... ... ... ... .204

9.12Sous-corpspr emierdÕuncorps ...... ... .. ... ... ... ... .205

9.13Exercices duchapitre9. ... ...... ... ... ... ... .. ... ..206

10Anneauxde polynmes213

10.1Polynmes coefÞcientsdans unanneau. ...... .. ... ... ... 213

10.2Divisioneuclidienne ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .215

10.3Fonctionpolynomiale etracines dÕunpolynme. ... ... ... ... .216

10.4Driveformelle dÕunpolynme,formule deTaylor ... ... .. ... .217

10.5MultiplicitdÕune racine. ... ... ... ... ... ... ... .. ... .218

10.6Unexemple: lespolynmescyclotomiques ... ... ... .. ... ... 219

10.7Groupe K

lorsqueKestuncorps commutatif.. .. ... ... ... ..221

10.8Lepolynme dÕinterpolationde Lagrange.. ... ... ... .. ... ..224

10.10Exercices duchapitre10.. ... ..... ... ... ... ... ... ... 226

11Anneauxprincipaux 237

11.1Idauxprincipaux, anneauxprincipaux. ... ... .. ... ... ... .237

11.2Exemplesclassiques: lesanneauxeuclidiens ... ... ... .. ... ... 238

11.3EntiersdÕun corpsquadratique ... ... ... ... ... .. ... ... .240

11.4Divisibilitdans unanneauprincipal ... ... ... .. ... ... ... .241

11.5Dcompositionen facteursirrductibles. ... ... .. ... ... ... .244

11.6Anneau desentiersde Gauss.. ... ... ... ... .. ... ... ... 246

11.8Quotients danslesanneaux principaux.. ... ... ... .. ... ... 250

11.9Exercices duchapitre11. ... ...... ... ... ... .. ... ... .252

IVThoriedes nombres261

12Arithmtique263

12.1Congruences, anneauZ/nZ..........................263

12.3Rsidusquadratiques ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .267

12.4Nombres premiers... ...... ... ... ... .. ... ... ... ..269

12.5Nombres deMersenne,nombresde Fermat.. ... ...... .. ... .270

12.7Equationsdiophantiennes ... ... ... ... .. ... ... ... ... .273

12.8Exercices duchapitre12.. ... ..... ... ... ... ... ... ... 277

13Nombresalgbriques 289

13.3Nombres transcendants..... ... ... .. ... ... ... ... ... 292

13.4Lecorps desnombr esalgbriques. ... ...... ... ... .. ... .294

13.7Exercices duchapitre13.. ... ...... .. ... ... ... ... ... 301

14Anneaux factoriels307

14.1Unegnralisation desanneauxprincipaux ... ... .. ... ... ... 307

14.2Polynmes primitifs.. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..310

14.3Irrductibilitdes polynmes. ... ... ... ... ... ... ... .. .311

14.4Anneau despolynmessur unanneaufactoriel ... ... ... .. ... .312

14.6Irrductibilitdes polynmescyclotomiques ... ... ... ... ... .317

INDEX319

GROUPES

Chapitre1

Lacatgoriedes groupes

1.1FactorisationdÕune application

DÞnition.

Onappeller elationdÕquivalencesur unensemblenonvideE,uner elationbinaire

RsurEvriÞantlesconditions suivantes:

a)"x#ExRx(rßexivit), b)"x#E"y#ExRy$yRx(symtrie),

LapartieC

x ={y#E|xRy}deEestappelela classedÕquivalencemoduloRde x .Pourtout z#C y onaz#C x y &C x .Commeles conditionsx#C y ety#C x x &C y etdoncC x =C y .Ilen rsulte quetout x#EappartientlÕune despartiesde lafamille (C x x#E etune seule.Les classesdÕquivalenceconstituent unepartition deE. NotonsP(E)lÕensembledesparties deE.Lafamille (C x x#E constitueunsous- ensembledeP(E)appellÕensemblequotientde EparR.Onle noteE/R.Dans lasuite,l aclassede x#Eseravuee ssentiellementcomme lmentdecenouvel ensembleE/Retseranote x.LÕapplicationcanonique j:x'(xestsurjectivede

EsurE/R.

ConsidronsuneapplicationfdeEdansunensemble F.Soit(x,y)#E)E.Po- sonsxR f ysietseul ementsi f(x)=f(y).OndÞnit ainsiuner elationd Õquivalence R f surE.Ellepartage EenclassesdÕlments ayantlamme imageparf. Pourlasurjection canoniquej:E(E/Rconsidreprcdemment,on aR j =R.

Proposition.

ConsidronsunerelationdÕquivalence RsurlÕensembleE,uneapplication fdeE dansunautr eensembleFconstantesurtoute classedÕquivalencex.Ilexiste alors uneapplicationfdeE/RdansF,unique,telle quef*j=f.Ona Im(f)=Im f

LÕapplicationfestinjectivesi etseulementsi R=R

f Dmonstration.Laconditionf*j=fimposelavaleur f(x)=f(x)pourtout lmentxdeE/R,dÕolÕunicit def. LÕexistencetientaufaitque festconstantesur touteclassex.Lavaleur f(x)ne dpendquede x#E/Retnondu reprsentantparticulier xdelaclasse x.Ilexiste 11

12CHAPITRE1. LACATGORIE DESGROUPES

doncuneapplication fbiendÞniede E/RdansFtellequef(x)=f(x),cÕest--dire tellequef*j=f.Ona videmmentIm(f)=Im f EnÞn,festinjectivesi lesconditions f(x)=f(y)etx=ysontquivalentes.Or x=y$xRyetf(x)=f(y)$f(x)=f(y)$xR f y.

Doncfestinjectivesi etseulementsi R=R