LALGÈBRE LINÉAIRE POUR TOUS
En conséquence ce livre n'est pas à proprement parler un livre de mathématiques; les livres des mathématiciens sont écrits de manière différente. Ce livre est
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La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire. C'est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche qui recouvre la notion de
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
2.2.5.Calcul de l'inverse.— Déterminer si une matrice est inversible et le calcul des inverses sont des problèmes importants d'algèbre linéaire.
Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire
la théorie de l'algèbre linéaire en dimension finie. C'est pourquoi le présent cours commence avec une étude des équations linéaires et de leur résolution.
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Algèbre linéaire
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Al Khwarizmi et l'al jabr :
Selon l'historien Ahmed Djebbar, l'acte de naissance officiel de l'alg?re en tant que discipline vient avec le savant perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850). Dans un premier ouvrage, il expose le système décimal et les règles du calcul indien.Qu'est-ce que l'analyse matricielle ?
Une structure matricielle repose sur le principe de dualité au niveau du contrôle et de la gestion. La structure de l'entreprise se fait selon deux niveaux – opérationnel et fonctionnel – et le découpage de l'activité se fait selon deux critères – la fonction et le projet.Les conseils de base pour débuter en alg?re
1Les opérations simples ne doivent pas vous poser de problème. 2Connaître les règles de priorité de calculs : parenthèses, crochets, puissances, multiplication, division et soustraction.3Il est important d'organiser vos calculs pour ne pas vous perdre.
Cours de mathématiques
M22 Algèbre linéaire¸¢uu
vuÅv¡uSommaireExo7
1Systèmes linéaires. ................................................3
1 Intr oductionaux systèmes d"équations linéaires 3 2Théorie des systèmes linéaires
7 3R ésolutionpar la méthode du pivot de Gauss
102Matrices. ........................................................16
1Définition
16 2Multiplication de matrices
19 3Inverse d"une matrice : définition
244
Inverse d"une matrice : calcul
275 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires 29
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques 36
3L"espace vectorielRn.............................................43
1V ecteursde Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2Ex emplesd"applications linéaires
463
P ropriétésdes applications linéaires
524Espaces vectoriels. ..............................................58
1Espace vectoriel (début)
582
Espace vectoriel (fin)
623
Sous-espace vectoriel (début)
664
Sous-espace vectoriel (milieu)
705
Sous-espace vectoriel (fin)
736
Application linéaire (début)
807
Application linéaire (milieu)
828
Application linéaire (fin)
855Dimension finie. .................................................92
1F amillelibre
922
F amillegénératrice
963 Base 99
4
Dimension d"un espace vectoriel
1055
Dimension des sous-espaces vectoriels
1106Matrices et applications linéaires. ...............................114
1R angd"une famille de vecteurs
1142
Applications linéaires en dimension finie
1203
Matrice d"une application linéaire
1264
Changement de bases
1337Vector products. ................................................141 Licence Creative Commons BY-NC-SA 3.0
FR1 Systèmes linéairesExo7
1.Introduction aux systèmes d"équations linéaires L"algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathématiques appliquées,
en particulier lorsqu"il s"agit de modéliser puis résoudre numériquement des problèmes issus de
divers domaines : des sciences physiques ou mécaniques, des sciences du vivant, de la chimie, de l"économie, des sciences de l"ingénieur,... Les systèmes linéaires interviennent dans de nombreux contextes d"applications car ils formentla base calculatoire de l"algèbre linéaire. Ils permettent également de traiter une bonne partie de
la théorie de l"algèbre linéaire en dimension finie. C"est pourquoi le présent cours commence avec
une étude des équations linéaires et de leur résolution.Ce chapitre a un but essentiellement pratique : résoudre des systèmes linéaires. La partie théo-
rique sera revue et prouvée dans le chapitre " Matrices ». 1.1.Exemple : deux droites dans le plan
L"équation d"une droite dans le plan (Oxy) s"écrit axÅbyAEeoùa,betesont des paramètres réels. Cette équation s"appelleéquation linéairelinéaire
(équation) dans les variables (ou inconnues)xety.Par exemple, 2xÅ3yAE6 est une équation linéaire, alors que les équations suivantes ne sont pas
des équations linéaires :2xÅy2AE1 ouyAEsin(x) ouxAEpy.
Considérons maintenant deux droitesD1etD2et cherchons les points qui sont simultanément sur ces deux droites. Un point (x,y) est dans l"intersectionD1\D2s"il est solution du système : axÅbyAEe cxÅdyAEf(S)Trois cas se présentent alors :
Systèmes linéaires4
1.Les droitesD1etD2se coupent en un seul point. Dans ce cas, illustré par la figure de gauche,
le système (S) a une seule solution. 2. Les droitesD1etD2sont parallèles. Alors le système (S) n"a pas de solution. La figure du centre illustre cette situation. 3.Les droitesD1etD2sont confondues et, dans ce cas, le système (S) a une infinité de solutions.xy
D 1D 2xy D 2D 1xy D 1AED2Nous verrons plus loin que ces trois cas de figure (une seule solution, aucune solution, une infinité
de solutions) sont les seuls cas qui peuvent se présenter pour n"importe quel système d"équations
linéaires. 1.2.Résolution par substitution
Pour savoir s"il existe une ou plusieurs solutions à un système linéaire, et les calculer, une première
méthode est lasubstitution. Par exemple pour le système :3xÅ2yAE1
2x¡7yAE ¡2(S)
Nous réécrivons la première ligne 3xÅ2yAE1 sous la formeyAE12¡32
x. Et nous remplaçons (nous substituons) leyde la seconde équation, par l"expression12¡32
x. Nous obtenons un système équi- valent :( yAE12¡32
x2x¡7(12
¡32
x)AE ¡2 La seconde équation est maintenant une expression qui ne contient que desx, et on peut la résoudre :( yAE12¡32
x (2Å7£32 )xAE ¡2Å72 yAE12¡32
x xAE325 Il ne reste plus qu"à remplacer dans la première ligne la valeur dexobtenue : yAE825 xAE325 Le système (S) admet donc une solution unique (325 ,825 ). L"ensemble des solutions est doncSAE½µ325
,825 1.3.Exemple : deux plans dans l"espace
Dans l"espace (0xyz), une équation linéaire est l"équation d"un plan : axÅbyÅczAEdSystèmes linéaires5L"intersection de deux plans dans l"espace correspond au système suivant à 2 équations et à 3
inconnues :( axÅbyÅczAEd a0xÅb0yÅc0zAEd0
Trois cas se présentent alors :
-les plans sont parallèles (et distincts) et il n"y a alors aucune solution au système, -les plans sont confondus et il y a une infinité de solutions au système, -les plans se coupent en une droite et il y a une infinité de solutions.Exemple 1 1.Le système
2xÅ3y¡4zAE7
4xÅ6y¡8zAE ¡1
n"a pas de solution. En effet, en divisant par 2 la seconde équation, on obtient le système équivalent :2xÅ3y¡4zAE7
2xÅ3y¡4zAE ¡12
. Les deux lignes sont clairement incompatibles : aucun (x,y,z) ne peut vérifier à la fois2xÅ3y¡4zAE7 et 2xÅ3y¡4zAE¡12
. L"ensemble des solutions est doncSAE?. 2.Pour le système
2xÅ3y¡4zAE7
4xÅ6y¡8zAE14
, les deux équations définissent le même plan !Le système est donc équivalent à une seule équation : 2xÅ3y¡4zAE7. Si on récrit cette
équation sous la formezAE12
xÅ34 y¡74, alors on peut décrire l"ensemble des solutions sous la forme :SAE©(x,y,12 xÅ34 y¡74 )jx,y2Rª. 3.Soit le système (
7xÅ2y¡2zAE1
2xÅ3yÅ2zAE1. Par substitution :
7xÅ2y¡2zAE1
2xÅ3yÅ2zAE1()(
zAE72 xÅy¡122xÅ3yÅ2¡72
xÅy¡12¢AE1()(
zAE72 xÅy¡129xÅ5yAE2
zAE72 xÅy¡12 yAE¡95 xÅ25 zAE1710 x¡110 yAE¡95 xÅ25 Pour décrire l"ensemble des solutions, on peut choisirxcomme paramètre :SAE½µ
x,¡95 xÅ25 ,1710 x¡110 jx2R¾ Géométriquement : nous avons trouvé une équation paramétrique de la droite définie par l"intersection de deux plans.Du point de vue du nombre de solutions, nous constatons qu"il n"y a que deux possibilités, à savoir
aucune solution ou une infinité de solutions. Mais les deux derniers cas ci-dessus sont néanmoins
très différents géométriquement et il semblerait que dans le second cas (plans confondus), l"infinité
de solutions soit plus grande que dans le troisième cas. Les chapitres suivants nous permettront de rendre rigoureuse cette impression.Si on considère trois plans dans l"espace, une autre possibilité apparaît : il se peut que les trois
plans s"intersectent en un seul point.Systèmes linéaires6
1.4.Résolution par la méthode de Cramer On note¯¯a bc d¯¯AEad¡bcledéterminant. On considère le cas d"un système de 2 équations à 2
inconnues :( axÅbyAEe cxÅdyAEf Siad¡bc6AE0, on trouve une unique solution dont les coordonnées (x,y) sont : xAE¯¯¯¯¯e b
f d¯¯¯¯¯a b
c d¯¯¯¯¯yAE¯
¯¯¯¯a e
c f¯¯¯¯¯a b
c d¯Notez que le dénominateur égale le déterminant pour les deux coordonnées et est donc non nul.
Pour le numérateur de la première coordonnéex, on remplace la première colonne par le second
membre ; pour la seconde coordonnéey, on remplace la seconde colonne par le second membre.Exemple 2
Résolvons le système
tx¡2yAE13xÅtyAE1suivant la valeur du paramètret2R.
Le déterminant associé au système est¯¯t¡23t¯¯AEt2Å6 et ne s"annule jamais. Il existe donc une
unique solution (x,y) et elle vérifie : xAE¯¯¯¯¯1¡2
1t¯
¯¯¯¯t
2Å6AEtÅ2t
2Å6,yAE¯
¯¯¯¯t1
3 1¯
¯¯¯¯t
2Å6AEt¡3t
2Å6.
Pour chaquet, l"ensemble des solutions estSAEn³tÅ2t2Å6,t¡3t
2Å6´o
.1.5.Résolution par inversion de matrice Pour ceux qui connaissent les matrices, le système linéaire axÅbyAEe cxÅdyAEf est équivalent àAXAEYoùAAEÃ
a b c d! ,XAEÃ x y! ,YAEÃ e f! Si le déterminant de la matriceAest non nul, c"est-à-dire siad¡bc6AE0, alors la matriceAest inversible et A¡1AE1ad¡bcÃ
d¡b¡c a!
et l"unique solutionXAE¡xy¢du système est donnée parXAEA¡1Y.
Systèmes linéaires7
Exemple 3
Résolvons le système
xÅyAE1 xÅt2yAEtsuivant la valeur du paramètret2R.Le déterminant du système est
¯¯1 1
1t2¯¯AEt2¡1.
Premier cas.t6AEÅ1ett6AE¡1.Alorst2¡16AE0. La matriceAAE¡1 11t2¢est inversible d"inverse
A¡1AE1t
2¡1¡t2¡1¡1 1¢. Et la solutionXAE¡xy¢est
XAEA¡1YAE1t
2¡1Ã
t2¡1¡1 1!Ã
1 t! AE1t2¡1Ã
t2¡t t¡1!AEÃ
ttÅ11tÅ1! Pour chaquet6AE§1, l"ensemble des solutions estSAE©¡ttÅ1,1tÅ1¢ª.Deuxième cas.tAE Å
1.Le système s"écrit alors :
xÅyAE1 xÅyAE1 et les deux équations sont identiques. Il y a une infinité de solutions :SAE©(x,1¡x)jx2Rª.Troisième cas.tAE¡
1.Le système s"écrit alors :
xÅyAE1 xÅyAE ¡1 , les deux équations sont clairement incompatibles et doncSAE?.Mini-exercices 1. Tracer les droites et résoudre le système linéaire x¡2yAE ¡1¡xÅ3yAE3
de trois façons différentes : substitution, méthode de Cramer, inverse d"une matrice. Idem avec(2x¡yAE4
3xÅ3yAE ¡5.
2. Résoudre suivant l avaleur du paramètre t2R:(4x¡3yAEt
2x¡yAEt2.
3. Discuter et résoudre suivant la valeur du paramètret2R: tx¡yAE1 xÅ(t¡2)yAE ¡1.Idem avec
(t¡1)xÅyAE12xÅtyAE ¡1.2.Théorie des systèmes linéaires
2.1.Définitions Définition 1
On appelleéquation linéairedans les variables (ouinconnues)x1,...,xptoute relation de la forme a1x1Å¢¢¢ÅapxpAEb,(1.1)
oùa1,...,apetbsont des nombres réels donnés.Systèmes linéaires8
Remarque
-Il importe d"insister ici sur le fait que ces équations linéaires sontimplicites, c"est-à-dire
qu"elles décrivent des relations entre les variables, mais ne donnent pas directement les valeurs que peuvent prendre les variables. Résoudreune équation signifie donc la rendreexplicite, c"est-à-dire rendre plus appa- rentes les valeurs que les variables peuvent prendre. On peut aussi considérer des équations linéaires de nombres rationnels ou de nombres complexes.SoitnÊ1 un entier.Définition 2Unsystème denéquations linéaires àpinconnuesest une liste denéquations linéaires.On écrit usuellement de tels systèmes ennlignes placées les unes sous les autres.Exemple 4
Le système suivant a 2 équations et 3 inconnues : x1¡3x2Åx3AE1
¡2x1Å4x2¡3x3AE9La forme générale d"un système linéaire denéquations àpinconnues est la suivante :
8>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:a11x1Åa12x2Åa13x3Å ¢¢¢ Åa1pxpAEb1(Ãéquation 1)
a21x1Åa22x2Åa23x3Å ¢¢¢ Åa2pxpAEb2(Ãéquation 2)
............AE... a i1x1Åai2x2Åai3x3Å ¢¢¢ ÅaipxpAEbi(Ãéquationi) ............AE... a n1x1Åan2x2Åan3x3Å ¢¢¢ ÅanpxpAEbn(Ãéquationn) Les nombresaij,iAE1,...,n,jAE1,...,p, sont lescoefficientsdu système. Ce sont des données. Les nombresbi,iAE1,...,n, constituent lesecond membredu système et sont également des données.Il convient de bien observer comment on a rangé le système en lignes (une ligne par équation)
numérotées de 1 ànpar l"indicei, et en colonnes : les termes correspondant à une même inconnue
xjsont alignés verticalement les uns sous les autres. L"indicejvarie de 1 àp. Il y a doncpcolonnes
à gauche des signes d"égalité, plus une colonne supplémentaire à droite pour le second membre.
La notation avec double indiceaijcorrespond à ce rangement : lepremierindice (icii) est lenuméro deligneet lesecondindice (icij) est le numéro decolonne. Il est extrêmement important
de toujours respecter cette convention.Dans l"exemple
4 , on anAE2 (nombre d"équations = nombre de lignes),pAE3 (nombre d"inconnues= nombre de colonnes à gauche du signe =) eta11AE1,a12AE¡3,a13AE1,a21AE¡2,a22AE4,a23AE¡3,
b1AE1 etb2AE9.Systèmes linéaires9
Définition 3Unesolutiondu système linéaire est une liste depnombres réels (s1,s2,...,sp) (unp-uplet)
tels que si l"on substitues1pourx1,s2pourx2, etc., dans le système linéaire, on obtient une égalité. L"ensemble des solutions du systèmeest l"ensemble de tous cesp-uplets.Exemple 5Le système
x1¡3x2Åx3AE1
¡2x1Å4x2¡3x3AE9
admet comme solution (¡18,¡6,1), c"est-à-dire x1AE¡18,x2AE¡6,x3AE1.
Par contre, (7,2,0) ne satisfait que la première équation. Ce n"est donc pas une solution du système.En règle générale, on s"attache à déterminer l"ensemble des solutions d"un système linéaire. C"est
ce que l"on appellerésoudrele système linéaire. Ceci amène à poser la définition suivante.Définition 4
On dit que deux systèmes linéaires sontéquivalentss"ils ont le même ensemble de solutions.
À partir de là, le jeu pour résoudre un système linéaire donné consistera à le transformer en
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