[PDF] Polynômes Exercice 6 Quels sont les

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Biblioth`eque d"exercices´Enonc´es

L1Feuille n◦7PolynˆomesExercice 1Effectuer les divisions euclidiennes de

3X5+ 4X2+ 1 parX2+ 2X+ 3,

3X5+ 2X4-X2+ 1 parX3+X+ 2,

X

4-X3+X-2 parX2-2X+ 4.

Exercice 2Effectuer la division selon les puissances croissantes de : X

4+X3-2X+ 1 parX2+X+ 1 `a l"ordre 2.

Exercice 3Trouver les polynˆomesPtels queP+ 1 soit divisible par (X-1)4etP-1 par (X+ 1)4:

1. en utilisant la relation de B´ezout,

2. en consid´erant le polynˆome d´eriv´eP?.

Combien y a-t-il de solutions de degr´e?7?

Exercice 4Effectuer la division deA=X6-2X4+X3+ 1 parB=X3+X2+ 1 :

1. Suivant les puissances d´ecroissantes.

2. `A l"ordre 4 (c"est-`a-dire tel que le reste soit divisible parX5) suivant les puissances croissantes. Exercice 5Effectuer la division euclidienne deX5-7X4-X2-9X+ 9 parX2-5X+ 4. Exercice 6Quels sont les polynˆomesP?C[X] tels queP?diviseP?

Exercice 7Calculer pgcd(P,Q) lorsque :

1.P=X3-X2-X-2 etQ=X5-2X4+X2-X-2,

2.P=X4+X3-2X+ 1 etQ=X3+X+ 1.

Exercice 8D´eterminer le pgcd des polynˆomes suivants : X

5+ 3X4+X3+X2+ 3X+ 1 etX4+ 2X3+X+ 2,

X

4+X3-3X2-4X-1 etX3+X2-X-1,

X

5+ 5X4+ 9X3+ 7X2+ 5X+ 3 etX4+ 2X3+ 2X2+X+ 1.

Exercice 9Calculer le pgcdDdes polynˆomesAetBd´efinis ci-dessous. Trouver des polynˆomes

UetVtels queD=AU+BV.

1.A=X5+ 3X4+ 2X3-X2-3X-2 etB=X4+ 2X3+ 2X2+ 7X+ 6.

2.A=X6-2X5+ 2X4-3X3+ 3X2-2XetB=X4-2X3+X2-X+ 1.

Exercice 10D´ecomposer dansR[X], sans d´eterminer ses racines, le polynˆomeP=X4+ 1, en produit de facteurs irr´eductibles. 1 Exercice 11Pourn?N?, quel est l"ordre de multiplicit´e de 2 comme racine du polynˆome nX n+2-(4n+ 1)Xn+1+ 4(n+ 1)Xn-4Xn-1 Exercice 12Pour quelles valeurs deale polynˆome (X+ 1)7-X7-aadmet-il une racine multiple r´eelle?

Exercice 13DansR[X] et dansC[X], d´ecomposer les polynˆomes suivants en facteurs irr´eductibles.

1.X3-3.

2.X12-1.

Exercice 14Factoriser dansR[X] :

1.X6+ 1.

2.X9+X6+X3+ 1.

Exercice 15Trouver un polynˆomePde degr´e?2 tel que

P(1) =-2 etP(-2) = 3 etP(0) =-1

Exercice 16Trouver un polynˆomePde degr´e minimum tel que

P(0) = 1 etP(1) = 0 etP(-1) =-2 etP(2) = 4

2

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦7Polynˆomes1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦7PolynˆomesCorrection 11.A= 3X5+ 4X2+ 1,B=X2+ 2X+ 3, le quotient deAparBest

3X3-6X2+ 3X+ 16 et le reste-47-41X.

2.A= 3X5+ 2X4-X2+ 1,B=X3+X+ 2 le quotient deAparBest 3X2+ 2X-3 et

le reste est 7-9X2-X.

3.A=X4-X3-X-2,B=X2-2X+4, le quotient deAparBestX2+X-2 de reste

6-9X. Correction 2X4+X3-2X+ 1 = (X2+X+ 1)(2X2-3X+ 1) +X3(2-X). Correction 3Les solutions sont les polynˆomes de la forme

P=116(5X7-21X5+ 35X3-35X) +A(X-1)4(X+ 1)4

o`uAest un polynˆome quelconque; une seule solution de degr´e?7.

Correction 41. QuotientQ=X3-X2-X+ 1, resteR=X.

2. QuotientQ= 1-X2-X4, resteR=X5(1 + 2X+X2).

Correction 5SoientA=X5-7X4-X2-9X+ 9,B=X2-5X+ 4, le quotient deApar

BestX3-2X2-14X-63, le reste ´etant 261-268X.

Correction 6Ce sont les polynˆomes de la formeλ(X-a)k,k?N,λ,a?C. Correction 71. pgcd(X3-X2-X-2,X5-2X4+X2-X-2) =X-2.

2. pgcd(X4+X3-2X+ 1,X3+X+ 1) = 1.

Correction 81. pgcd(X5+ 3X4+X3+X2+ 3X+ 1,X4+ 2X3+X+ 2) =X3+ 1.

2. pgcd(X4+X3-3X2-4X-1,X3+X2-X-1) =X+ 1

3. pgcd(X5+ 5X4+ 9X3+ 7X2+ 5X+ 1,X4+ 2X3+ 2X2+X+ 1) = 1.

Correction 91.D=X2+ 3X+ 2 =A(118X-16) +B(-118X2+19X+518).

2.D= 1 =A(-X3) +B(X5+X3+X+ 1).

Correction 10

x

2+⎷2x+ 1??

x

2-⎷2x+ 1?

Correction 11L"ordre de multiplicit´e est 2.

Correction 12Poura=164; la racine multiple est-12. 1

Correction 131.?

X

3-3 = (X-3⎷3)(X2+3⎷3X+3⎷9)

= (X-3⎷3)(X+3⎷32-i⎷33⎷32)(X+3⎷32+i⎷33⎷32). 2.? ?????X

12-1 = (X-1)(X+ 1)(X2+ 1)(X2-X+ 1)(X2+X+ 1)×

(X2-⎷3X+ 1)(X2+⎷3X+ 1)

= (X-1)(X+ 1)(X-i)(X+i)×?X-1+i⎷32??X-1-i⎷32??X--1+i⎷32??X--1-i⎷32?×?X-⎷3+i2??X-⎷3-i2??X--⎷3+i2??X--⎷3-i2?.

Correction 141.X6+ 1 =-(X2+ 1)?X2+X⎷3 + 1??-X2+X⎷3-1?.

2.X9+X6+X3+1 =-(X2+ 1)(X2-X+ 1)?X2+X⎷3 + 1??-X2+X⎷3-1?(X+ 1).

Correction 15Utiliser la formule d"interpolation de Lagrange!P=13(X2-4X-3). Correction 16Utiliser la formule d"interpolation de Lagrange!P=12(3X3-4X2-X+ 2). 2quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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