[PDF] Chapitre 14 NOMBRES RÉELS Enoncé des exercices

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Chapitre 14

NOMBRES RÉELS

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 14.3Soitf(x) =x

2+ 2x+ 1

x2+ 2x+ 4déterminersupRfetinfRf. Exercice 14.5Soientxetydes réels, montrer que : Exercice 14.6Montrer que pourn≥1etx1,x2,···,xndes réels positifs on a n? k=1 (1 +xk)≥1 + n? k=1 xk En déduire que pourn≥1eta1,a2,···,andes réels supérieurs à1,on a n+ n? k=1 ak≥1 + n? k=1 ak

Exercice 14.7Soitnun entier non nul, donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter-

miner le nombre de chiffres den. Comment obtenir le premier chiffre et le dernier chiffre den(en utilisant la partie entière).

Exercice 14.8Calculer, pour(m,n)?Z2,E?n+m2?

+E?n-m+ 12? Exercice 14.9Montrer que pourxréel etn≥1,on aE?E(nx)n? =E(x)

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS

Exercice 14.10Soit la fonctionfdéfinie par

f(x) =E(2x)-2E(x)

Calculerf(x)pourx??

0,1 2? puis pourx??12,1?

Exercice 14.11

1. Soitx?R, calculerE(x) +E(-x).

2. Soit

p qune fraction irréductible avecq >0,montrer que q-1? k=1 E? kpq? =(p-1)(q-1)2

On pourra utiliser le fait que sia

1,···,an-1sontn-1réels alors?n-1

k=1ak=?n-1 k=1an-k. Exercice 14.12Soita?Rque dire de la parité de l"entierE? a+12? +E? a-12?

Exercice 14.13Montrer que?x?R,E?x+1

2 ?+E(x+ 1) +E?2x+1 2 ?=E(4x+ 1). Exercice 14.14Montrer les résultats suivants (qui sont dans le cours, sanspreuve)

1. Soitx?RalorsE(x+ 1) =E(x) + 1.

2. Soient(x,y)?R

Exercice 14.15Soitx?RcomparerE(x)etE(-x).

x=E(x) +aety=E(y) +b, en précisant dans quel(s) intervalle(s) se trouventaetb.

Exercice 14.18RésoudreE(2x+ 3) =E(x+ 2)(Indication, à l"aide de la caractérisation de la partie entière,

déterminer un intervalle dans lequel se trouve les solutions, puis étudier les deux fonctionsx?-→E(2x) + 1et

x?-→E(x)).

2Les techniques

Exercice 14.19Montrer que

3?2 +⎷5-

3?-2 +⎷5 = 1

Exercice 14.20Montrer que(n!)2=

n? k=1 k(n-k+ 1).

En déduire que sin≥1, on a⎷

Exercice 14.21Soitnun entier supérieur ou égal à3.

1. Montrer que?k? ?2,...,n?,1

2. En déduire que?k? ?2,...,n?,C

kn -2/23-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS3. LES EXOTIQUES

3. Etablir alors que?n?N?,?

1 +1n?

n

Exercice 14.22Montrer que?x?R,?n?N?,

n-1? k=0 E?x+k n ?=E(nx) Exercice 14.23On définit la fonctiong:R→Rpar?x?R,g(x) =|x|1 +|x|, montrer que Exercice 14.24SoitAune partie non vide et bornée deR, montrer quesup (x,y)?A2|x-y|= supA-infA.

Exercice 14.25RésoudrexE(x) =x2-E(x)2.

Exercice 14.26Montrer que pour toutn?N,n≥3, on aE?n(n+ 1)2(2n-1)? =E?n+ 14?

3Les exotiques

Exercice 14.27Soienta=11···1211···13etb=11···1411···15où le nombre de1est égal à2002,compareraetb

Calculernen fonction dek.

Exercice 14.29Soienta,b,ctrois réels de[0,1], montrer que l"un des trois réelsa(1-b), b(1-c), c(1-a)est

inférieur ou ègal à 1 4. Exercice 14.30Montrer que six >1etx?R\Qalors pourn≥1,E?E(nx)x? =n-1 Exercice 14.31On considère la suite1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6.... Donner une formule simple pour calculer le énième terme. (Indication, on noteu nle énième terme de la suite. Soitk?N?donné, on posef(k)le premier rang pour lequel u f(k)=k(et doncuf(k)-1=k-1). Calculerf(k)puis chercher une CNS surnpour queun=k)

Exercice 14.32Soienta < bdeux entiers tels que si les réelsxetysont dans l"intervalle[a,b]alors1x+1yy est

également. Détermineraetb.

Exercice 14.33 (Olympiades Panafricaines 2005)Soitx?R, on définit{x}=x-E(x), résoudreE(x){x}=

2005x.

Exercice 14.34Calculer la somme

n2? k=1

E?⎷k?

(pour mémoire, n-1? i=1 i2=n(2n-1)(n-1)6).

Exercice 14.35Résoudre l"équation

E ?x+ 1 3? +E?x+ 23? =E?x+ 12? +x-12

Exercice 14.36ComparerE??E(x)?

etE(⎷x)pourx≥0. -3/23-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

4. LES OLYMPIQUESCHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS

Exercice 14.37On considère la suite(un)n?Ndéfinie parun=?1 +?

1 +1n?

2 +?1 +? 1-1n? 2 oùn≥1.Calculer n? k=1 1 uk.

4Les olympiques

Exercice 14.38Montrer l"égalité

3?

2000 + 1998 +⎷19980005 +

3?

2000 + 1998-⎷19980005 =

3⎷1999

où

3⎷xdésigne l"unique réel dont le cube vautx.

Exercice 14.39Soienta,b,ctrois réels compris entre0et1, montrer que a

Discuter le cas d"égalité.

Exercice posé dans la revue Tangenten

◦69.

Exercice 14.40 (Olympiades des pays Baltes (Baltic Way) 1995)Soienta,b,cetdquatre réels strictement

positifs, montrer que a+c a+b+b+db+c+c+ac+d+d+bd+a≥4

Exercice 14.41 (The 1991 Asian Pacific Mathematical Olympiad)Soienta1,...,anetb1,...,bn2nréels stric-

tement positifs tels quea

1+a2+···+an=b1+···+bn, montrer que

a 2 1 a1+b1+a 2 2 a2+b2+···+a 2 n an+bn≥a1+a2+···+an 2

Exercice 14.42 (Olympiades Austro-polonaise 1996)Les nombres réelsx,y,zettvérifientx+y+z+t= 0et

x

2+y2+z2+t2= 1.

Exercice 14.43 (Baltic Way 1995)Soienta,b,ctrois réels tels que|a| ≥ |b+c|,|b| ≥ |a+c|et|c| ≥ |a+b|.

Montrer quea+b+c= 0.

Exercice 14.44 (Baltic Way 1997)Soientx1,...,xndes réels, on notealeur moyenne arithmétique, montrer que

(x

Exercice 14.45 (Olympiades polonaises 1995)Soienta,b,c,dquatre nombres irrationnels positifs tels quea+b=

1. Montrer quec+d= 1?? ?n?N,E(na) +E(nb) =E(nc) +E(nd) Exercice 14.46Démontrez qu"il existe un unique réelatel que ?n?N ?,E(aE(na))-E(na) =n-1 On pourra utiliser l"exercice "les exotiques" 14.30. -4/23-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS5. LE GRENIER

Exercice 14.47 (Olympiades ex URSS)Montrer que pourn≥2,on a E n?+E?2⎷n?+···+E?n⎷n?=E(log2n) +E(log3n) +···+E(lognn)

Exercice 14.48 (Adapté du Putnam 2007)

1. Soitk?N?,montrer que pour tout entiern?N, on a

k-1? i=0 E?n k? -n-ik? = 0

2. En déduire qu"il existe des polynômesP

0(X),···,Pk-1(X)(qui dépendent dek) tels que pour tout entiern

dansN E?n k? k=P0(n) +E?nk?

P1(n) +···+E?nk?

k-1Pk-1(n)

Les déterminer pourk= 2.

5Le grenier

Exercice 14.49RésoudreE(⎷x) =E?x2?

-5/23-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

5. LE GRENIERCHAPITRE 14. NOMBRES RÉELS

-6/23-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

Chapitre 8

NOMBRES RÉELS

Solution des exercices

1Les basiques

Exercice 8.1n! =

n? k=1 k= n? k=2 n? k=2

Exercice 8.2f(x) =x(2n-x)est un trinôme du second degré a coefficient dominant positif,il est maximal lorsque

f

Remarque :Retenir que le produit de deux nombres dont la somme est constante est maximal quand ces deux nombres

sont égaux.

Ensuite sin≥2,on peut écrire

(2n!) = 1×2× ··· ×2n= 2n×[(2n-1)×1]×[(2n-2)×2]× ··· ×[(2n-(n-1))×(n-1)]×n

2n-2×n= 2n2n. L"inégalité est encore vraie sin= 0oun= 1.

Exercice 8.3f(x) =x

2+ 2x+ 2

Montrons quesup

Rf= 1. En effet1est bien un majorant def,et siε >0, on peut trouverxtel que1-ε < 1-3 x2+ 2x+ 4. Il suffit de prendrextel quex

2+ 2x+ 4≥1εce qui est vrai dès quex >12εcarx

2+ 2x+ 4≥2x.

Déterminonsinf

Rf. Pour cela on minore1-2x2+ 2x+ 4,on majore donc1x2+ 2x+ 4,ce qui en définitive revient à minorerx

2+2x+4 = (x+ 1)2+3. En conclusionf(x)≥1-23=f(-1) =13. On a doncminRf=f(-1) =13= infRf.

Exercice 8.4

les deux inégalités, on a le double du résultat demandé.

2. On a(1 +|x-1|)(1 +|y-1|) =|x-1|+|y-1|+|x-1||y-1|+ 1.Il s"agit donc de prouver que

Ce qui s"écrit

ou encore

Or la seconde inégalité triangulaire donne

1. LES BASIQUESCHAPITRE 8. NOMBRES RÉELS

aveca=xy-1, b=x+y-xy-1,on aa+b=xy-1 +x+y-xy-1 = (x-1) + (y-1)d"où

Exercice 8.5

n? k=1 (1 +xk) = (1 +x1)(1 +x2)···(1 +xn) = 1 + (x

1+x2+···+xn) + (x1x2+x1x3+···) + (x1x2x3+···) +···= 1 +

n? k=1 xk+ (···) >0. En utilisant ce qui vient d"être prouvé, on a n? k=1 ak= n? k=1 (1 + (ak-1)????) =xk ≥1 + n? k=1 (ak-1) = 1-n+ n? k=1 ak. Exercice 8.6Sikest le nombre de chiffre den?N?, alors 10

Par définition, on ak=E?

ln(n) ln(10) + 1. Pour le dernier chiffre : sin=a+ 10boùaest le dernier chiffre, alorsb=E? n 10 ?eta=n-10×E?n 10

Pour le premier chiffre, sinàk=E?

ln(n) ln(10) + 1chiffres alors le premier chiffre estE? n

10k+1?=E?

n

10E(ln(n)

ln(10))?

Exercice 8.7Si on examine quelques cas particuliers (le faire), on conjecture que le résultat vautn.

On sépare en deux cas, suivant la parité dem+n.

Sim+nest pair alors

m+n

2?Zetn-m

2=n+m

2-m?Z.

Puisque

n-m

2+1, on aE?n+m

2 ?+E?n-m+1 2 ?=n+m 2+n-m

2=n.On peut aussi utiliser le résultat

suivant : sip?Z, E(p+x) =p+E(x), avecp= n-m

2?Zetx=1

2.

Sim+nest impair alors

m+n-1

2?Zetn-m+1

2=n+m+1

2-m?Z. Puisquen+m-1

2+ 1on a

E? n+m 2 ?+E?n-m+1 2 ?=n+m-1

2+n-m+1

2=n.

Autre solution :La fonctionf(n) =E?

n+m 2 ?+E?n-m+1 2 ?-nest2-périodique (c"est facile à vérifier), il suffit donc de vérifier quef(0) =f(1) = 0. Maisf(0) =E? m 2 ?+E?1-m 2 ?est une fonctiong(m)qui est aussi2-périodique de la variablem. On vérifie donc queg(0) =E(0) +E? 1 2 ?= 0et queg(1) =E?1 2 ?+E(0) = 0. Puisf(1) = E? 1+m 2 ?+E?1-m+1 2 ?-1 =E?1+m 2 ?+E?-m 2 ?est une autre fonctionh(m)qui est aussi2-périodique de la variable m. On termine donc en constatant queh(0) =E? 1 2 ?+E(0) = 0eth(1) =E(1) +E?-1 2 ?= 1-1 = 0.

Exercice 8.8PosonsX=E(nx)n,on veut montrer queE(x)est la partie entière deX.Ce qui revient à établir que

Or Par croissance de la partie entière, on a d"après(1) Attention, la croissance (non stricte) de la partie entière donne -8/23-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 8. NOMBRES RÉELS1. LES BASIQUES

i n< E(x) + 1donne le résultat. Remarque 2 :Voici une autre preuve. Soitf(x) =E?E(nx) n? -E(x),on af(x+ 1) =E?E(nx+n)n?

E(x+ 1) =E?E(nx) +n

n? -E(x)-1 =E?E(nx)n+ 1? -E(x)-1 =f(x).La fonctionfest donc1-périodique. n<1et ainsif(x) = 0sur[0,1[. La fonctionfest1-périodique et nulle sur[0,1[,elle est donc identiquement nulle.

Exercice 8.9Six??

0,12? ,alors2x?[0,1[etf(x) = 0-0 = 0,six??12,1? ,on a2x?[1,2[etf(x) = 1-0 = 1. Puisf(x+ 1) =E(2x+ 2)-2E(x+ 1) =E(2x) + 2-2E(x)-2 =f(x), fest donc1-périodique.

Exercice 8.10

1. Soitf(x) =E(x) +E(-x),la fonctionfest1-périodique carf(x+ 1) =E(x+ 1) +E(-x-1) =E(x) +

1 +E(-x)-1 =f(x).Or six?]0,1[,on af(x) = 0-1 =-1etf(0) = 0ainsif(x) =-1surR\Zet

f(n) = 0sin?Z. En conclusionE(-x) =-E(x)six?ZetE(-x) =-E(x)-1six /?Z.

2. On utilise l"indication donnée,

q-1? k=1 E? kpq? q-1? k=1 E? (q-k)pq? q-1? k=1 E? p-kpq? =p(q-1) + q-1? k=1 E? -kpq? Ainsi 2 q-1? k=1 E? kpq? q-1? k=1 E? kpq? q-1? k=1 E? -kpq? +p(q-1) =p(q-1) + q-1? k=1 (-1) =p(q-1)-(q-1) = (p-1)(q-1) ce qui donne le résultat.

Exercice 8.11Si on posef(a) =E?

a+12? +E? a-12? ,alorsf? a+12? = 2E(a) + 1est un nombre impair.

Ainsif(a) = 2E?

a-1 2? -1est un entier impair!

Exercice 8.12Soitf(x) =E?x+1

2 ?+E(x+ 1) +E?2x+1 2 ?-E(4x+ 1). On af(x) =E?x+1 2 ?+E(x) + E?2x+ 1 2 ?-E(4x).. Pourx?R, on a f x+1 2? =E(x+ 1) +E? x+12? +E?

2x+ 1 +12?

-E(4x+ 2) =E(x) +E? x+1 2? +E?

2x+12?

-E(4x) =f(x)

Ainsifest1

2-p&riodique. Il suffit de prouver quef= 0sur?0,

1 2 ?. Or six??0,1 4 ?, on a

E(x) = 0,x+1

2?? 0,32? =?E? x+12? = 0 2x+1

2?[0,1[ =?E?

2x+12?

= 0et4x?[0,1[ =?E(4x) = 0 -9/23-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

1. LES BASIQUESCHAPITRE 8. NOMBRES RÉELS

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