[PDF] LALGEBRE ET EN PARTICULIER LE CALCUL LITTERAL DE LA 6

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Algèbre Animation pédagogique de l"inspection régionale de mathématiques Alain DIGER mai 2003

L"ALGEBRE ET EN PARTICULIER

LE CALCUL LITTERAL

DE LA 6

ème à la 2de

Document de synthèse du travail conduit

pendant les journées d"animation pédagogique destinées aux coordonnateurs des collèges de l"académie d"Orléans-Tours Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques

Année scolaire 2002-2003

Ce document comporte 36 pages auxquelles il faut ajouter 12 pages d"annexes

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PLAN DU DOCUMENT

1. Présentation

1.1. Objectifs du présent article ................................................. page 4

1.2. Le rôle des coordonnateurs ................................................. page 4

1.3. Le point de vue adopté ....................................................... page 5

2. Eléments à prendre en compte

2.1. Des documents récents ...................................................... page 7

2.2. L"enseignement du calcul : une révolution qui s"accélère .............. page 8

2.3. La classe de 6

ème marque le début de l"enseignement de l"algèbre .... page 9

2.4. Des évaluations permettant de dresser un bilan des débuts de

l"apprentissage de l"algèbre .................................................. page 10

2.5. La classe de 5

ème, niveau initiatique essentiel au

raisonnement algébrique ...................................................... page 12

2.6. Le point de vue " vertical » sur le calcul littéral ......................... page 13

3. La progression proposée

3.1. Présentation ................................................................... page 14

3.2. Explicitation de certains choix ............................................. page 14

3.3. Le chapitre 0 : " Raisonner en mathématiques » ........................ page 16

3.4. Le chapitre 2 : " Calculs sur les nombres décimaux » .................. page 17

3.5. Le chapitre 4 : " Additions et soustractions de nombres relatifs » .... page 18

3.6. Le chapitre 6 : " Nombres en écriture fractionnaire » .................. page 20

3.7. Le chapitre 10 : " Expressions littérales » ................................ page 21

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4. Des situations de classe

4.1. Sit Pb1 : Une activité de première rencontre avec

la lettre nombre généralisé ................................................... page 23

4.2. Dms C1 et Dms C2 : construction de l"addition

et de la soustraction des nombres décimaux relatifs ..................... page 26

4.3. Sit Pb2 : des programmes de calcul pour travailler

sur les expressions littérales ................................................ page 31

Annexes

Annexe 1 : documents supports du travail en atelier (études d"erreurs) Annexe 2 : proposition de progression en cinquième Annexe 3 : documents relatifs au chapitre 0 " Démontrer en mathématiques » Annexe 4 : fiche d"institutionnalisation finale du chapitre 10 " Expressions littérales »

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1. Présentation

1.1. Objectifs du présent article

Comme l"an dernier à propos de la symétrie axiale, cet article vise à fournir une

synthèse du travail effectué lors des huit journées d"animation pédagogique qui ont réuni

successivement les coordonnateurs de mathématiques des différents départements de l"académie, cette fois autour du thème de l"algèbre. Chacun des coordonnateurs trouvera donc ici une synthèse du travail auquel il a

participé. Cette synthèse est élargie. D"abord parce que chaque journée d"animation a présenté

ses caractéristiques propres qui ont participé à l"enrichissement de ce document. Ensuite parce

que, comme toujours en pareil cas, eu égard à l"ampleur du thème abordé, le temps disponible

sur chaque réunion a imposé des limites au travail qui a pu être conduit. Ce document permet

d"alimenter un peu plus la réflexion. Il inclut notamment des propositions pour travailler sur le test d"égalité en cinquième.

1.2. Le rôle des coordonnateurs

Une des fonctions de cet article est aussi d"encourager et faciliter la tâche de démultiplication, souvent ardue, qui est celle des coordonnateurs dans leur établissement. Force est de constater que le travail collectif au sein des équipes pédagogiques de

mathématiques reste très inégal. Pourtant chacun semble bien conscient que la discipline que

nous enseignons nécessite à la fois une cohérence forte et des temps d"apprentissage souvent

longs, dépassant largement l"année scolaire, sur des grands thèmes comme celui dont il est

question ici. L"approche " verticale » proposée devrait inciter à construire une démarche

visant à installer collectivement une stratégie d"enseignement du calcul littéral sur les quatre

années du collège. Si on ne peut attendre qu"une situation idéale s"installe rapidement partout,

il reste que nous faisons appel au sens des responsabilités de chacun des coordonnateurs pour

que cet article parvienne effectivement à tous les collègues de son établissement. Pour être

plus précis, il nous semble que les tâches minimum suivantes pourraient faire l"objet d"un consensus :

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i ) s"assurer que chaque collègue a eu connaissance et accès aux quatre articles diffusés à ce jour dans la boîte des coordonnateurs ; ii ) s"assurer que ces quatre articles sont disponibles au CDI ou ailleurs à la portée de tous les collègues. (on peut ajouter à ces documents ceux qui ont servi de support à l"installation des programmes actuels en particulier celui de 6

ème 1. On trouve dans ce

document une proposition, " Les règles du débat mathématique »

2, pour aborder la

démonstration. Ces règles du débat concernent essentiellement le raisonnement géométrique.

L"annexe 3 propose une version modifiée pour accorder une plus grande place au raisonnement algébrique ; iii ) proposer systématiquement aux nouveaux professeurs de mathématiques nommés

dans l"établissement l"accès à ces documents, tout particulièrement lorsque ces nouveaux

nommés se trouvent être des professeurs débutants, et encore plus particulièrement lorsque

ces professeurs débutants le sont sans avoir bénéficié au préalable d"une formation professionnelle.

1.3. Le point de vue adopté

Comme l"an dernier encore, une partie importante de ce document est consacrée à une proposition d"organisation de l"enseignement sur une année particulière. Il s"agit toujours, après avoir pris en compte des contraintes ambitieuses, de montrer l"existence possible d"une

telle organisation. Il ne s"agit évidemment pas de fournir un modèle à suivre mais plutôt de

proposer une voie à explorer, susceptible d"enrichir la réflexion et de fournir des solutions alternatives à celles généralement retenues dans les manuels. L"an dernier, s"agissant de la symétrie axiale, le choix de privilégier le niveau sixième allait de soi pour tout le monde. Cette année, s"agissant du calcul littéral, le choix de

privilégier le niveau cinquième n"apparaissait pas aussi évident a priori. Il s"agit déjà d"un

résultat fort, qui s"est imposé au cours des différents ateliers qui ont été organisés dans les

réunions de coordonnateurs : contrairement à ce que pourrait laisser penser une lecture de surface des programmes, le niveau cinquième constitue bien le socle sur lequel l"édifice du calcul littéral se construira dès la classe de quatrième.

1 Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques - MAFPEN. Document sur le nouveau programme

de sixième. Académie d"Orléans-Tours, janvier 1996, 93 p.

2 Pressiat André. Initiation au raisonnement déductif en 6è-5è, p 37-41

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Enfin, ébaucher une progression annuelle est un geste professionnel très impliquant. Il amène à faire des choix, comme celui fait ici, d"accorder une place privilégiée aux programmes de calcul. Il sollicite les conceptions personnelles et on pourra les retrouver au travers des différents points déjà listés l"an dernier : · la nature spiralée de la progression qui permet d"éclairer les grands thèmes par des entrées diverses et d"allonger la durée disponible pour la réflexion et la maturation ; · la place et la forme des révisions pour lesquelles tout systématisme est évité. L"expérience montre en effet que des révisions systématiques, d"abord ne sont pas efficaces, mais surtout hypothèquent gravement la mise en place d"une progression annuelle cohérente. Il s"agit donc là d"un premier écueil à éviter absolument ; · la place réservée au raisonnement dans les exercices mais aussi dans le cours, en particulier pour justifier les techniques employées ; · le recours à des dispositifs d"enseignement variés, de l"activité ouverte à l"exposé magistral ; · la mise en place volontariste de devoirs à la maison ; · une gestion de l"hétérogénéité reposant aussi souvent que possible sur des activités pouvant être exploitées à des niveaux cognitifs successifs ; · le souci de présenter le savoir nouveau dans des situations problématisées où ce savoir apparaîtra indispensable, ce qui légitimera son apparition ; · le souci de travailler sur le fond et les concepts avant de travailler sur la forme ou les techniques.

Il s"agit d"un deuxième écueil majeur à éviter sur lequel nous allons nous arrêter un instant

car il est particulièrement sensible dans l"enseignement de l"algèbre. Le travail technique ne peut pas faire avancer l"apprentissage d"un élève dans le cas où ses connaissances conceptuelles sont insuffisantes. Là encore le piège se referme sur le plan horaire : le temps

investi dans des exercices techniques est en général excessif et improductif parce que le temps

investi dans l"approche conceptuelle a été insuffisant. Le document d"accompagnement des programmes de la classe de première

3 souligne bien ce phénomène. Il nomme " gammes » ces

exercices techniques répétitifs (page 10 du document cité) dont il souligne certes le caractère

indispensable, mais aussi la nécessité qu"il y a à les mettre en oeuvre de façon raisonnée. Cette

3 Ce document est disponible sur le cédérom " accompagnement des programmes de lycée rentrée 2002 », édité

par le Scéren (CNDP) et distribué à deux exemplaires dans les collèges.

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raison commande d"abord de ne pas les proposer aux élèves trop prématurément : les bases

conceptuelles, le sens doivent être installés auparavant. Dans ces conditions, la longueur de ce

travail n"a aucune raison d"être excessive mais il faut pour cela se garder de vouloir faire

jouer à ces exercices techniques un rôle d"installation du sens des notions en jeu, rôle que ces

exercices sont incapables de tenir. Dans la suite, ce document reprendra ce terme de

" gammes » pour désigner ces exercices techniques répétitifs et proposera, ce sera un enjeu

essentiel, des situations d"enseignement visant à permettre au préalable une installation aussi

réussie que possible des concepts concernés.

2. Eléments à prendre en compte

2.1. Des documents récents

La parution de nouveaux programmes en amont du collège, au cycle 3 de l"école, mais

aussi en aval, au lycée, intéresse doublement le professeur de collège. D"abord parce que leur

connaissance est nécessaire pour mettre en cohérence le plan d"enseignement sur le collège. Ensuite parce que ces nouveaux textes marquent une évolution forte en particulier sur l"enseignement du calcul. Les rapports produits par la Commission de Réflexion sur l"Enseignement des Mathématiques

4, et notamment celui concernant le calcul, inscrivent ces

évolutions dans une perspective plus large.

Ces trois documents (programme du cycle 3, programmes du lycée avec pour chacun de riches documents d"accompagnement et rapport de la CREM) constituent des sources d"informations riches et convergentes.

4 Constituée en 1999 à la demande du ministère, la CREM est présidée par le professeur Jean-Pierre Kahane.

Elle a produit un rapport de synthèse et quatre rapports d"étapes sur la géométrie, l"informatique et

l"enseignement des mathématiques, le calcul, les probabilités et statistiques. Ces rapports sont disponibles sur le

site Eduscol ou en livre aux éditions Odile Jacob.

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2.2. L"enseignement du calcul : une révolution qui s"accélère

Commençons par un constat sans concession de la CREM sur l"enseignement du calcul : " Le calcul renvoie à une activité purement mécanique, automatisable, sans

intelligence, il est réduit à sa part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l"idée

d"entraînement purement répétitif. » (CREM. Rapport d"étape sur le calcul, p16) L"absence d"intelligence est évidemment un reproche fort s"agissant d"un enseignement des

mathématiques pour lequel la formation au raisonnement est précisément un objectif essentiel.

Outre cette carence qualitative, un tel enseignement se heurte de plus en plus rudement à des réalités qui mettent en cause sa raison d"être : " On estime par ailleurs que, si l"on dispose d"instruments pour effectuer la partie mécanisée du calcul, il n"y a plus rien à apprendre puisque le calcul s"y réduit. » (CREM. Rapport d"étape sur le calcul, p16) Or ces instruments, nos élèves en disposent effectivement : ce sont les calculatrices

numériques et bientôt ce seront les calculatrices formelles. Il est donc urgent, si on veut éviter

que l"enseignement de l"algèbre ne perde son sens et sa légitimité, de prendre enfin ces réalités en compte. Mais alors quelle direction donner à cet enseignement ?

La CREM fournit une réponse claire :

" Il nous semble tout à fait essentiel de mettre mieux en évidence la fonction

généralisatrice du calcul algébrique et sa valeur d"outil de preuve. Ceci peut se faire très tôt

avec des situations très simples, en se limitant à des objets familiers à l"élève... »

Une telle ambition peut surprendre voire faire naître des craintes : cela signifie-t-il que nos élèves ne doivent plus apprendre à calculer ? (CREM. Rapport d"étape sur le calcul, p16) Le document d"accompagnement des programmes de terminale, dont la portée est générale

pour l"enseignement des mathématiques et non limitée au cycle terminal, fournit une réponse

sans appel :

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" La maîtrise du calcul reste un objectif de base de l"enseignement des

mathématiques... faciliter l"acquisition de réflexes qui tout à la fois libèrent la pensée et

procurent confiance en soi. L"acquisition de ces réflexes doit cependant respecter l"intelligence de calcul et répondre à un besoin avéré sur le long terme... » (accompagnement des programmes de terminale, p10) Ainsi donc apprendre à calculer reste bien un enjeu majeur mais il doit s"inscrire plus

visiblement dans une formation générale dont l"objectif essentiel est, pour les mathématiques,

l"apprentissage de la rationnalité.

Tout le travail présenté dans la suite vise ainsi à montrer que chaque règle de calcul qui

apparaît répond à un besoin d"une part, se construit rationnellement d"autre part. On

n"oubliera pas non plus de situer autant que possible le travail des élèves dans un contexte qui

sollicite leurs capacités de recherche, leur intérêt, leur créativité... Bref tout ce qui peut être

une manifestation de cette intelligence de calcul que la CREM appelle de ses voeux.

2.3. La classe de 6

ème marque les débuts de l"enseignement de l"algèbre

Roland CHARNAY

5 soulignait que du cycle 3 à la classe de 6ème " la progression

n"est pas marquée par une répartition des notions entre école et collège, mais plutôt par

l"évolution des niveaux de conceptualisation, de formulation et des méthodes de résolution. »

Ceci constitue une particularité du programme de la classe de sixième. Elle peut conduire certains élèves, mais aussi des collègues, à sous estimer les difficultés et l"importance de ce programme de sixième. Ces thèmes de travail inchangés peuvent donner l"illusion dangereuse d"une banale reprise des contenus de l"école. En réalité, sur chaque

thème, la mathématisation progresse fortement. C"est le cas sur la symétrie axiale, où le

travail conduit l"an passé a permis de réfléchir à cette transition entre les pratiques

expérimentales de l"école et les pratiques de démonstration abordées en fin d"année de

sixième, notamment en utilisant la symétrie axiale, cette fois pour étudier mathématiquement

des figures du programme. C"est une évolution tout à fait comparable, mais sans doute encore davantage masquée, qui est à l"oeuvre sur le thème des quotients. A l"idée de partage de

l"unité qui est construite à l"école autour de l"écriture ¾ par exemple, va s"adjoindre en

5 Roland Charnay est professeur à l"IUFM de Lyon et chargé de recherche en didactique des mathématiques à

l"INRP. Il a participé à l"élaboration des nouveaux programmes de l"école ainsi qu"à ceux du collège.

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sixième une représentation algébrique, à savoir : ¾ est l"unique nombre qui vérifie 4 ´ ? = 3.

Comme dans l"exemple précédent de la symétrie axiale, il s"agit là de l"ouverture d"une porte

sur un monde mathématique aux possibilités insoupçonnables pour les élèves. Là encore cette

approche nouvelle autorisera une vraie construction mathématique dans laquelle toutes les règles de calcul trouveront des raisons d"exister et des preuves de leur validité. L"évaluation d"entrée en cinquième de septembre 2002 a montré que ce travail engagé

en sixième sur les quotients est évidemment loin d"être achevé à ce niveau. C"est une force

que le professeur de sixième doit posséder : être conscient que la définition des quotients est

un enjeu fort à long terme et que les difficultés soulevées méritent d"être combattues dans la

durée. De telles difficultés accompagnent d"ailleurs inévitablement toute remise en question

des connaissances antérieures. Mais les surmonter constitue une nécessité pour progresser dans l"apprentissage. En sixième, un autre point du démarrage de l"enseignement de l"algèbre et du calcul

littéral, consiste en l"apprentissage de la substitution dans une expression littérale d"une lettre

par une valeur numérique. Ce travail s"engage fréquemment avec des formules de géométrie,

par exemple celle donnant la longueur du cercle. Il convient d"être conscient de sa grande

importance pour la suite et de développer à chaque occasion qui se présente cette compétence

dans un cadre moins contextualisé que celui de ces formules de géométrie dans lesquelles les

lettres en jeu ont un statut algébrique faible.

2.4. Des évaluations permettant de dresser un bilan des débuts de l"apprentissage de

l"algèbre Le moment de travail en ateliers qui s"est tenu dans chaque réunion de coordonnateurs

s"est appuyé sur trois évaluations et a consisté à analyser les erreurs produites par les élèves.

Ces trois documents figurent dans l"annexe 1. Résumons quelques conclusions obtenues sur ces trois études : L"étude N°1 a permis de rappeler l"importance essentielle de la propriété de

distributivité de la multiplication sur l"addition. Il est apparu que cette propriété n"est pas

maîtrisée autant qu"on pourrait l"attendre par les élèves de collège. En particulier des

confusions avec l"associativité de la multiplication sont fréquentes. L"associativité est une

propriété de la multiplication (et de l"addition) qui est utilisée en acte par les élèves dès

l"école primaire. Cette utilisation est souvent conjointe avec celle de la commutativité par

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exemple dans des calculs réfléchis du type : 2,5 ´ 13 ´ 4. Mais, contrairement à la distributivité de la multiplication sur l"addition qui est institutionnalisée et étudiée

algébriquement en classe de cinquième, cette propriété d"associativité ne sera, elle, jamais

institutionnalisée dans le cursus des études secondaires. On peut d"ailleurs s"interroger au vu

du document extrait du programme de seconde qui figure à la fin de l"annexe 1, pour savoir si

les concepteurs des programmes n"ont pas réalisé qu"il existait là une réelle lacune. Pour

nous, la conclusion est bien qu"il n"est pas souhaitable de laisser perdurer ce vide didactique concernant l"associativité de la multiplication et une proposition sera faite en ce sens dans la suite, au paragraphe 3.3. L"étude N°2 a rappelé l"importance, là encore essentielle, du test d"égalité. En

l"occurrence, il fournissait la procédure la plus efficace pour vérifier que le nombre 2 qui était

proposé n"était pas solution de l"équation, sans qu"il soit nécessaire de la résoudre. On notera

au passage que, s"il n"est pas envisageable de donner une définition formelle de ce qu"est une

équation, ce test d"égalité permet de donner du sens conjointement aux termes d"équation, de

solution et de résoudre : un nombre est solution d"une équation lorsque les deux membres de

l"équation prennent des valeurs égales si on substitue à l"inconnue ce nombre en question. Le

test d"égalité est la clef qui permet d"entrer dans la problématique des équations. Or ces

équations sont indissociables de la résolution de problèmes qui motive l"entrée dans le calcul

littéral. L"étude N°3 attirait l"attention sur un dernier point à nouveau essentiel pour

l"enseignement de l"algèbre : la distinction entre deux aspects qui tendent à s"opposer dans la

nature de toute expression algébrique. Ainsi dans 4 x² + 12 x il faut savoir, si on veut par

exemple substituer la valeur 3 à la variable, que l"opération prioritaire est le carré, puis les

multiplications et enfin l"addition. C"est l"aspect procédural (à relier avec la procédure de

calcul associée) que les élèves connaissent bien car elle est pratiquée très tôt en cinquième

avec les priorités opératoires. L"opération importante est ici la première qu"on doit effectuer

dans l"ordre des priorités de calcul. Par contre si on veut résoudre l"équation 4 x² + 12 x = 0,

il faut reconnaître que 4 x² + 12 x est une somme et penser à transformer cette somme en produit pour achever la résolution. C"est l"aspect structural (à relier avec la structure de l"expression) que les élèves maîtrisent moins facilement car il est classiquement moins

travaillé que l"aspect procédural. Cette fois, l"opération importante est la dernière qu"on doit

effectuer dans l"ordre des priorités opératoires. Cet aspect est à la base de la reconnaissance

de forme d"une expression et donc aussi à la base des transformations de formes qui sollicitent

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cette intelligence de calcul à laquelle la CREM souhaite que l"enseignement s"intéresse davantage.

2.5. La classe de 5

ème , niveau initiatique essentiel au raisonnement algébrique Les trois études d"erreurs précédentes possèdent une caractéristique commune : elles renvoient toutes au programme de la classe de cinquième. En effet, la distributivité de la

multiplication sur l"addition, le test d"égalité et les priorités opératoires qui permettent de

distinguer les deux aspects procédural et structural d"une expression algébrique sont trois éléments contenus dans le programme officiel de cette classe.

Même si quelques éléments algébriques déjà cités précédemment apparaissent en

classe de sixième (la substitution, la définition algébrique des quotients), c"est bien en classe

de cinquième que s"installe le raisonnement algébrique. C"est à ce niveau qu"apparaissent les

expressions littérales et avec elles la lettre outil de preuve et de généralisation. Le test

d"égalité amène, lui, à s"interroger sur la valeur de vérité de certaines égalités et à remettre en

cause le statut du signe d"égalité. Désormais une égalité devra être regardée comme une

assertion dont il convient de se demander si elle est vraie ou fausse. On a déjà signalé que ce

test d"égalité permet de construire le concept d"équation. Il permet également de construire le

concept d"identité : c"est une égalité qui est toujours vraie quelque soit la valeur numérique

qu"on substitue à la variable. C"est ce caractère universel qui donne toute sa force au concept

d"identité et en fait un outil de preuve puissant pour montrer, par exemple, que deux figures dont des dimensions dépendent d"une même variable ont toujours la même aire. Pour que les élèves maîtrisent cet outil il est indispensable qu"ils soient pleinement conscients de ce

caractère universel lorsqu"ils écrivent , par exemple, une identité comme 5 x + 3 x = 8 x :

cette égalité reste vraie quelque soit la valeur choisie pour la lettre x. Comprendre cela

nécessite un travail spécifique qui relève bien du programme de cinquième et qui permettra

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